3. GENEZOWANIE STANU

…celem książek jest zmusić umysł,
żeby myślał po swojemu…
3. GENEZOWANIE STANU
3.1. ROZPOZNAWANIE STANU MASZYNY
W metodologii procesu rozpoznawania stanu maszyny wyróżnia się następujące
formach działania diagnostycznego (rys. 3.1) [4,9,16,20,21,35,50,65]:
a) diagnozowanie - jako proces określania stanu maszyny w chwili b;
b) prognozowanie - jako proces określania przyszłych stanów maszyny d ;
c) genezowanie - jako proces odtwarzania historii stanów maszyny;
Rys. 3.1. Schemat realizacji rozpoznawania stanu maszyn w systemie obsługiwania
co następnie umożliwia:
a) określenie stanu technicznego maszyny w czasie bieżącym na podstawie wyników
badań diagnostycznych. Umożliwia to kontrolę stanu i lokalizację uszkodzeń w
przypadku stanu niezdatności maszyny.
b) przewidywanie stanu maszyny w czasie przyszłym na podstawie niepełnej historii
wyników badań diagnostycznych. Umożliwia to oszacowanie czasu niezawodnego
użytkowania maszyny lub wartości wykonanej przez nią w przyszłości pracy.
c) określenie stanu maszyny w czasie przeszłym na podstawie niepełnej historii wyników
badań diagnostycznych, co umożliwia oszacowanie stanu maszyny w przeszłości.
Stan maszyny S(n) w chwili n można scharakteryzować za pomocą zbioru wartości
parametrów diagnostycznych {yj(); j=1,...,m}. Maszyna w chwili b (ocena stanu maszyny)
znajduje się w stanie zdatności S0, gdy spełniony jest warunek [45,47,59]:
21
S(n) = S0   (j=1,...,m)
[{yj,d}  {yj (b )}  {yj,g}]
(3.1)
gdzie: {yj,d,{yj,g}-zbiory dolnych i górnych wartości granicznych parametrów.
Analogicznie można sformułować warunek zdatności w chwili n+ (zadanie
prognozowania stanu maszyny) [2,4,10,17,59]:
S(n+1 ) = S0   (j=1,...,m)
[{yj,d}  {yj (b+1 )}  {yj,g}],
(3.2)
przy czym elementy zbioru {yj(b+1 )} są nieznane i stąd konieczność ich przewidywania w
założonym przedziale czasu 1. Wielkość 1 oznacza przedział czasu, dla którego realizowany
jest proces prognozowania (wielkość 1 nazywa się także wyprzedzeniem lub „horyzontem
czasowym prognozy”). W ujęciu tym ocenę czasu przejścia maszyny w stan niezdatności
wyznaczają wyniki prognoz parametrów diagnostycznych {yj(b+1)}, sygnalizujące
przekroczenie wartości granicznych.
Podobnie można sformułować warunek zdatności w chwili b-2 (zadanie
genezowania stanu maszyny) [21,55]:
S(n-2 ) = S0   (j=1,...,m)
[{yj,d}  {yj (b-2 )}  {yj,g}],
(3.3)
przy czym niektóre wartości elementów zbioru {yj(b-2)} mogą być nieznane i stąd
konieczność ich przewidywania w założonym przedziale czasu 2. Wielkość 2 oznacza
przedział czasu, dla którego realizowany jest proces genezowania (wielkość 2 nazywa się
„horyzontem czasowym genezy”). W ujęciu tym oszacowanie stanu maszyny lub wartości
wykonanej przez nią w przeszłości pracy wyznaczają wyniki genezowania wartości
parametrów diagnostycznych {yj(b-2).
Główne zadania, które można sformułować przy rozwiązywaniu problemów
genezowania stanu maszyn to [21,55,66]:
a) sformułowanie celu genezowania stanu maszyny;
b) zmiana stanu maszyny w czasie eksploatacji;
c) opis stanu maszyny za pomocą cech stanu oraz zależność pomiędzy cechami stanu i
parametrami diagnostycznymi;
d) rozwiązanie zadania genezowania stanu.
Głównymi problemami pojawiającymi się przy rozwiązaniu tak ujętych zadań jest [55,57]:
a) wybór „najlepszych” parametrów diagnostycznych opisujących aktualny stan i ich
zmiana w czasie eksploatacji maszyny;
b) wyznaczenie wartości genezowanej parametru diagnostycznego dla horyzontu genezy
2, yjG(b-2) za pomocą „najlepszej” metody generowania;
c) oszacowanie stanu maszyny poprzez określenie przyczyny wystąpienia
zlokalizowanego, podczas badania maszyny, uszkodzenia .
Użyte powyżej pojęcie „najlepsze” wiąże się z przyjęciem odpowiednich kryteriów i
rozpatrzenie tych problemów w kategoriach poszukiwania rozwiązania optymalnego, zaś ze
względu na wiele kryteriów oceny wymaga rozpatrzenie tych problemów w kategoriach
rozwiązania polioptymalnego.
22
3.2. WYZNACZANIE ZBIORU PARAMETRÓW DIAGNOSTYCZNYCH
Parametry stanu technicznego maszyny W są wielkościami zmiennymi w czasie
W=f(), bowiem zależą od przebiegu procesów wymuszających starzenie. Zostało ustalone
[4,5,7,16,57], że parametry diagnostyczne mogą odzwierciedlać stan maszyn i zależą od
zmian parametrów stanu i czasu:
Y = Y (W, )
(3.4)
stąd określenie ich umożliwia rozpoznanie stanu technicznego maszyny.
Zbiór parametrów diagnostycznych Y wyróżnia się ze zbioru parametrów
wyjściowych Ywy, które opisują przebieg procesów wyjściowych (procesy robocze i
towarzyszące), zależnych od stanu technicznego obiektu:
Ywy = Ywy (W, )
(3.5)
Wzajemny związek parametrów stanu W i parametrów wyjściowych Ywy pozwala przy
spełnianiu podanych poniżej warunków, parametry wyjściowe ywy  Ywy wstępnie traktować
jako parametry diagnostyczne oraz określić punkty pomiarowe w maszynie.
Warunkami tymi są :
a) warunek jednoznaczności - każdej wartości parametru stanu Wi  W odpowiada tylko
jedna zdeterminowana wartość parametru wyjściowego ywy  Ywy;
b) warunek szerokości pola zmian - największa względna zmiana wartości parametru
wyjściowego ywy  Ywy dla zadanej wartości parametru stanu Wi  W;
c) warunek dostępności pomiaru parametru wyjściowego - charakteryzuje się poprzez
wskaźnik kosztu pomiaru cj lub czasu pomiaru tj, przy czym narzuca się minimalizację
tych wskaźników;
d) warunek mierzalności formułuje się dla funkcji Ywy = Ywy (W, ). Twierdzi się
wówczas, że funkcja Y = Y (W1) jest mierzalna, jeżeli dla każdego n mierzalny jest
zbiór [13,32]:
{ W1 : Yj (W1) < N }
(3.6)
Spełnienie warunków 1  2  3  4 wyróżnia wstępnie ze zbioru YWY zbiór parametrów
diagnostycznych Y.
Na podstawie wyników badań i ustaleń poczynionych w pracach [13,43,45,68,69],
mających na celu potwierdzenie niektórych propozycji zawartych w pracach dotyczących
redukcji informacji diagnostycznej [5,9,17,31,37], uważa się że wyznaczanie zbioru
parametrów diagnostycznych w procesie genezowania stanu maszyn powinno uwzględniać:
a) zdolność odwzorowania zmian stanu maszyny w czasie eksploatacji;
b) ilość informacji o stanie maszyny;
c) odpowiednią zmienność wartości parametrów diagnostycznych w czasie eksploatacji.
Odpowiednie metody i procedury oraz algorytmy uwzględniające te postulaty zostały
przedstawione poniżej.
23
Metoda maksymalnej względnej zmiany parametru diagnostycznego
W metodzie tej wybiera się ten parametr diagnostyczny, który posiada największą
wartość wskaźnika kj. Uwzględnia on średnią prędkość zmiany parametrów w przedziale
czasu (1, b). Określa się go według zależności:
kj =
bj
m
 bj
,
j =1
bj = 1
y j ( i +1 )  y j (i )
K

K
(i 1  i )
i =1
(3.7)
y j (1 )  y j , g
gdzie: K - liczebność elementów szeregu czasowego w przedziale (1, b).
Metoda korelacji wartości parametrów diagnostycznych ze stanem maszyny
Metoda polega na badaniu korelacji wartości parametrów diagnostycznych ze stanem
maszyny rj=r(W, yj) (ewentualnie z czasem eksploatacji, (rj = r((, yj)):
K
 (
k 1
rj =
K
 (
k 1

1
K
k
 )( y j ,k  y j )
k
 )
k 1
(y
k 1
K

k
(3.8)
K
2
, yj 
j ,k
1
K
 yj)
2
K
y
k 1
j ,k
(3.9)
gdzie: rj = r(W, yj); j = 1,..., m - współczynnik korelacji między zmiennymi W (stan
maszyny) oraz zmiennymi parametrami yj,
rjn = r(yj, yn); j,n = 1,..., m; jn – współczynnik korelacji między zmiennymi yj i yn.
W przypadku braku danych ze zbioru W zastępowane są one, przy założeniu że
wyznaczenie procedur genezowania stanu maszyny jest realizowane w przedziale zużycia
normalnego, czasem eksploatacji maszyny. Wówczas rj = r(, yj); j=1,..., m; k=1,...,K; (rj współczynnik korelacji między czasem eksploatacji a parametrami yj.
Metoda maksymalnej pojemności informacyjnej parametru diagnostycznego
Istota metody polega na wyborze parametru dostarczającego największą ilość
informacji o stanie maszyny. Parametr diagnostyczny ma tym większe znaczenie w określeniu
zmiany stanu, im silniej jest z nim skorelowany i im słabiej jest skorelowany z innymi
parametrami diagnostycznymi. Zależność tę przedstawia się w postaci wskaźnika pojemności
informacyjnej parametru diagnostycznego hj, który jest modyfikacją wskaźnika odnoszącego
się do zbioru zmiennych objaśniających model ekonometryczny [45]:
r j2
hj =
(3.10)
m
1   r j ,n
j , n 1, j  n
24
K
(y
rj,n =
k 1
K
(y
k 1
yj 
1
K
j ,k
 y j )( y n ,k  y n )
(3.11)
K
j ,k
 y j ) 2  ( y n,k  y n ) 2
k 1
K
 y j ,k ;
k 1
yn 
1
K
K
y
k 1
n,k
(3.12)
gdzie: rj = r(W, yj); j = 1,..., m - współczynnik korelacji między zmiennymi stanu Woraz yj,
rjn = r(yj, yn); j, n = 1,..., m; jn – współczynnik korelacji między zmiennymi yj i yn.
W przypadku braku danych ze zbioru W zastępowane są one, przy założeniu że
wyznaczenie procedur genezowania stanu maszyny jest realizowane w przedziale zużycia
normalnego, czasem eksploatacji maszyny.
Zaletą przedstawionych powyżej metod jest to, że pozwalają wybrać ze zbioru
parametrów wyjściowych jednoelementowe, jak i wieloelementowe zbiory parametrów
diagnostycznych. Zbiór jednoelementowy odnosi się do przypadku, gdy maszyna jest
zdekomponowana na zespoły i konieczny jest wybór jednego parametru diagnostycznego.
Zbiór wieloelementowy otrzymuje się, gdy w przedstawionych procedurach stosuje się mniej
ostre ograniczenie polegające na zakwalifikowaniu do zbioru parametrów diagnostycznych
tych parametrów, których wartości wskaźników są większe (mniejsze) od, przyjętych
odpowiednio dla metody, małych (dużych) liczb dodatnich.
Na podstawie przedstawionych procedur określa się algorytm wyznaczania zbioru
parametrów diagnostycznych maszyn. Zawiera on następujące etapy:
1. Akwizycja danych:
a) zbiór wartości parametrów diagnostycznych w funkcji czasu eksploatacji {yj(k)},
uzyskanych w czasie realizacji eksperymentu bierno – czynnego, gdzie k(1, b);
b) zbiór wartości nominalnych parametrów:{yj(1)} oraz {yjg}- wartości granicznych,
j=1,…, m;
c) zbiór stanów maszyny{k: {si}, k=1, …, K; i=1,…, I}określonych w czasie realizacji
eksperymentu bierno – czynnego, gdzie k(1, b);
d) koszty parametrów diagnostycznych c(yj) = const.
2. Optymalizacja zbioru wartości parametrów diagnostycznych (tylko w przypadku dużej
liczebności zbioru Y, np. m >5). Zbiór parametrów diagnostycznych wyznacza się za pomocą:
a) metody korelacji wartości parametrów diagnostycznych ze stanem maszyny (z czasem
eksploatacji, rj = r(W, yj), (rj = r((, yj));
b) metody ilości informacji parametrów diagnostycznych o stanie maszyny hj.
W celu wyboru zbioru parametrów diagnostycznych wykorzystuje się wartości wag [51,57]:
a) standaryzowane wagi obliczeniowe w1j:
wj
w1j = m
(3.13)
 wj
j 1
25
wj =
1
, dj =
dj
r j* 
rj
(1  r j* ) 2  (1  h *j ) 2
, h *j 
(3.14)
hj
(3.15)
max r j
max h j
b) jako kryterium wyboru parametrów diagnostycznych przyjęto maksymalizację
wartości wag w1j i wybór według powyższego kryterium.
c) w celu uwzględnienia preferencji użytkownika powinno być możliwe wprowadzenie
wag w2j (wartości standaryzowane) z przedziału (0,1) i wybór według tego kryterium.
3.3. PROCEDURY GENEZOWANIA STANU
Podejmując rozważania na temat genezowania stanu maszyn [21,24,48,55] nie można
wykazać wyższości pewnych metod genezowania nad innymi, bowiem zależy to, jaki obiekt
jest przedmiotem badań oraz jaki jest cel genezowania stanu maszyny. Stosując jednak
kryteria dotyczące wymagań związanych z postacią genezy (wartość genezowana symptomu,
szacowany stan maszyny w przeszłości, wartość wykonanej przez nią w przeszłości pracy lub
inna postać genezy stanu maszyny) oraz wpływem zmiany warunków eksploatacji maszyn i
czynności obsługowych na właściwości eksploatacyjne maszyny, które należy uwzględnić
przy wyborze metody generowania można sformułować problemy występujące w procesie
genezowania stanu technicznego maszyny. Sprowadzają się one do:
a) analizy procesu pogarszania się stanu technicznego maszyny, tzn. określenie tendencji
i dynamiki zmian wartości jej parametrów stanu, wybór stanów w których mogła
znajdować się maszyna, dekompozycja maszyny na układy i zespoły, kryteria wyboru
stanów i prawdopodobieństwo ich występowania, wybór „najlepszych” parametrów
diagnostycznych opisujących zmianę stanu maszyny.
b) wyboru „najlepszej” metody wyznaczania genezy stanu;
c) wykorzystanie informacji uzyskanej z genezowania stanu do analizy przyczyny
zaistnienia stanu maszyny w chwili badania maszyny.
Model genezowania stanu technicznego maszyny
Według ustaleń poczynionych powyżej genezowanie stanu technicznego maszyn
powinno polegać na określeniu (przy niepełnych lub niepewnych danych wartości
parametrów diagnostycznych) trendu zmian wartości parametrów diagnostycznych,
charakteryzującego proces jego pogarszania się w przeszłości, przyrównaniu chwilowych
wartości parametrów diagnostycznych do wartości granicznych i na tej podstawie szacowanie
czasu niezawodnej pracy maszyny w interesującym użytkownika czasie przeszłym
eksploatacji maszyny. Można go także wykorzystać do analizy przyczyn zlokalizowanego w
chwili badania uszkodzenia maszyny.
Rozwiązanie przedstawionych zadań można uzyskać postępując według algorytmu:
1. Niech zjawisko pogarszania się stanu technicznego zespołów maszyny będzie
reprezentowane szeregiem czasowym y=<y1, y2, ..., yb>, to jest zbiorem dyskretnych
obserwacji {y = (); = 1, 2,..., b} niestacjonarnego procesu stochastycznego ().
2. Przy założeniu, że mechanizm zmian wartości procesu stochastycznego w czasie (1,
b) kształtuje trend () zakłócony różnymi oddziaływaniami losowymi ():
26
y = () + ()
(3.16)
gdzie: () - składnik zdeterminowany szeregu czasowego y,
() - trend czynników przypadkowych (warunki terenowe, klimatyczne, jakość
obsługiwań).
konstruuje się takie oszacowanie {p()} dla nieznanej postaci trendu (), które
zapewniałoby odpowiednią dokładność genezy yG(), przy interpolacji (lub aproksymacji)
p() na odcinek czasu pracy maszyny (b, G), G= b-2.
3. Oszacowanie G() wyznacza wówczas wartości obserwowanych parametrów w
genezowanej chwili G, a tym samym genezę stanu technicznego maszyny W(G).
4. Jako dopuszczalny stan eksploatacji maszyny Wdop w przedziale czasu (b,G) przyjmuje
się wartość czasu, dla którego granice przedziału błędu dla poszczególnych genez (y, yG,
G(y,)) określone na podzbiorze y   dostępnych realizacji obserwowanych parametrów
diagnostycznych {yj()} oraz ich genez {yj,G} według przyjętej metody genezowania G(y,)
nie przekraczają wartości granicznych {yj,g}.
5. Dopuszczalny stan techniczny Wdop maszyny wyznacza horyzont genezy jo, dla którego nie
występuje przekroczenie wartości granicznej parametru diagnostycznego {yjg} przez granicę
przedziału błędu genezy wyznaczoną przez promień granicy przedziału błędu rG:
rG = qG
(3.17)
gdzie: q,K - parametr stały wyznaczany z tablicy rozkładu Studenta do wymaganego
poziomu ufności  i K-2 liczby stopni swobody,
G - odchylenie standardowe składnika losowego błędu genezy eG
6. W przypadku systemu obsługiwania wymaganą postacią genezy stanu układów lub
zespołów maszyny jest informacja, czy w czasie (1, b) stan techniczny był stanem
dopuszczalnym Wdop (na jej podstawie można szacować stan maszyny w przeszłości).
Proponuje się także, aby wielkościami dodatkowymi GST (genezy stanu maszyny) były
wartość oczekiwana i promień granicy przedziału błędu genezy rG (rys. 3.2)
GST = < Wdop, rG >
(3.18)
Przedział czasu (1, b) będzie okresem estymacji wartości oczekiwanej błędu genezy
eG i promienia granicy błędu genezy rG, zaś okres czasu b - 2 będzie okresem aktywnej
genezy, tzn. wyznaczenia:
a) wartości genezowanej parametru dla czasu horyzontu genezy 2, yjG(b-2);
b) określenie wartości promienia granicy przedziału błędu genezy rG(b - 2);
c) wyznaczenie ewentualnych czasów {Gi} przejścia maszyny w stan niezdatności.
27
Rys. 3.2. Schemat wyznaczania wartości genezowanej parametru diagnostycznego
Zakładając możliwość ciągłej lub dyskretnej rejestracji zdarzeń (wartości parametrów
diagnostycznych yj, wartości parametrów procesowych maszyny ypj, wartości parametrów
otoczenia yoj, stanów maszyny sk oraz zdarzeń dodatkowych zdn w czasie jej eksploatacji (np.
w trakcie eksperymentu bierno – czynnego) uzyskuje się bazę informacji w postaci macierzy
informacji: wartości parametrów zdarzeń – stany maszyny – czas eksploatacji. W chwili
utraty przez maszynę stanu zdatności będzie prawdopodobnie możliwość, na podstawie
zebranych danych jak i oględzin maszyny, stwierdzić, jaka mogła być przyczyna powstania
stanu niezdatności maszyny.
Wyznaczenie genezowanych wartości parametrów diagnostycznych
Realizacja przedstawionego powyżej algorytmu możliwa jest przy wykorzystaniu
odpowiednich metod wyznaczenia genezowanej wartości parametrów diagnostycznych (tylko
przy notacji dyskretnej zdarzeń w przedziale czasu (1, b), w przypadku notacji ciągłej
ciągłej wyznaczanie wartości genezowanej parametrów diagnostycznych yj nie jest
konieczne). Problem ten można rozwiązać stosując odpowiednio metody aproksymacji lub
interpolacji.
Aproksymacja wartości parametru diagnostycznego
Aproksymacja jest to przybliżanie funkcji Y() zwanej funkcją aproksymowaną inną
funkcją Y() zwaną funkcją aproksymującą. Z wielu metod aproksymacji, na podstawie
analizy literatury i badań wstępnych [3,17,18,47,52,55,60,62] zostały wybrane: aproksymacja
średniokwadratowa punktowa wielomianowa oraz aproksymacja trygonometryczna.
1. Aproksymacja średniokwadratowa punktowa wielomianowa
Dane są punkty czasowe 1, …, i, …, j, …, b parami różne, czyli dla i j  j 
j oraz dane są wartości parametrów diagnostycznych w tych punktach y1, …, yi, …, yb, gdzie
y=f(i), i=1, …, b.
Zadaniem aproksymacji jest więc znaleźć wartości współczynników a0, a1, …, am
wielomianu Ym () stopnia m-tego postaci:
28
m
Ym ()   a j  j ,
(3.19)
j 0
aby błąd średniokwadratowy był najmniejszy czyli:
n
m
i 0
j 0
eG = min B   ( yi   a j ij ) 2
a0 ,a1 ,...,an
(3.20)
Zadanie aproksymacji średniokwadratowej punktowej sprowadza się więc do
rozwiązania m  1 równań o m  1 niewiadomych.
2. Aproksymacja trygonometryczna
Aproksymacja trygonometryczna jest stosowana wówczas, gdy funkcja aproksymowana
jest funkcją okresową a punkty szeregu czasowego Y = {yi()} pochodzące z obserwacji
zmiany wartości parametru diagnostycznego są równoodległe. Funkcja aproksymująca
przyjmuje wówczas postać:
m
2  i
2  i
(3.21)
Y ()  a0   (a i  cos
  bi  sin
)
n
n
i 1
gdzie: n - liczba punktów szeregu czasowego, m - stopień wielomianu trygonometrycznego,
przy czym parametr m musi spełniać warunek n > 2m + 1.
Zagadnienie aproksymacji sprowadza się wówczas do obliczenia wartości współczynników a0
oraz ai, bi (i = 1, 2, ... , m ). Współczynniki te wyznacza się ze wzorów Eulera-Fouriera:
1 n
a0    j
n j 1
2 n
2ij 
 j cos
i=1,2,…,m

n j 1
n 

2 n
2ij 
bi    j sin
n j 1
n 
gdzie j (j = 1, 2, ... , n) są elementami ciągu (3.21).
Błąd aproksymacji trygonometrycznej można wyrazić zależnością:
ai 
(3.22)
b
eG = B   ( y  y i ) 2
(3.23)
i 1
gdzie: y - wartość funkcji aproksymującej, yi- wartość funkcji aproksymowanej.
Interpolacja wartości parametru diagnostycznego
Załóżmy, że dane są wartości funkcji Y() wartości parametrów diagnostycznych na
zbiorze punktów czasowych 1, …, i, …, j, …, b zwanych węzłami interpolacji.
Zadaniem interpolacji jest wyznaczenie przybliżonych wartości funkcji Y() zwanej funkcją
interpolowaną w punktach nie będących węzłami interpolacji. Funkcja interpolująca jest
funkcją pewnej klasy. Najczęściej będzie to wielomian algebraiczny, wielomian
trygonometryczny, funkcja wymierna lub funkcja sklejana.
Interpolację stosuje się najczęściej, gdy nie znamy analitycznej postaci funkcji Y()
(jest ona tylko stablicowana) lub, gdy jej postać analityczna jest zbyt skomplikowana. W
opracowaniu, na podstawie analizy literaturowej i badań wstępnych 3,17,18,47,52,55,60,62]
została zastosowana interpolacja Lagrange’a oraz interpolacja za pomocą funkcji sklejanych.
29
1. Interpolacja Lagrange’a
Zagadnienie interpolacyjne Lagrange’a charakteryzuje się wymaganiem, aby wartości
funkcji interpolującej równały się wartościom funkcji interpolowanej w n+1 punktach.
Załóżmy, że znamy kilka wartości funkcji Y() dla kilku argumentów 1, …, i, …, j, …,
b, a chcemy dowiedzieć się, jakie są wartości dla innych argumentów. Można tego dokonać
dzięki funkcjom interpolacyjnym. Wymaga się, aby ich wykres przechodził przez węzły
interpolacji (punkty dyskretne, których współrzędne znamy) y1, …, yi, …, yb, a poza nimi
przybliżał jak najlepiej pierwowzór.
Aby znaleźć wartości funkcji w każdym punkcie dziedziny, należy na podstawie
znajomości kilku wartości dyskretnych wyznaczyć wielomian interpolacyjny. Najprostszy jest
wielomian interpolacyjny w sensie Lagrange'a przyjmuje postać:
b
(   o )(  1 )...(  i 1 )(  i 1 )...(   n )
(3.24)
Yn ()   yi*
(i   0 )(i  1 )...(i  i 1 )(i  i 1 )...(i   n )
i 1
Oszacowanie jest w dużym stopniu zależne od rozkładu argumentów punktów dyskretnych
j. Interpolacja w sensie Lagrange'a jest dość dokładna dla większości funkcji ciągłych, zaś
oszacowanie błędu w tej metodzie jest następujące:
M n1
eG = Y (t )  Yi (t ) 
(3.25)
wn1 ()
(n  1)!
gdzie: M  max y n1 () , wn1  (  0 )(  1 )...(  n )
ab
2. Interpolacja za pomocą funkcji sklejanych
W dotychczasowych rozważaniach funkcja była interpolowana jednym wielomianem.
Oczywiście, jeśli wzrasta liczba węzłów wzrasta również stopień wielomianu
interpolacyjnego i może się okazać, że nie będzie on zbieżny do funkcji interpolowanej.
Można inaczej sformułować problem. Niech dane będą węzły uporządkowane następująco:
a = x0 < x1 < x2 < … xn-1 < xn = b
(3.26)
W każdym z przedziałów  x j , x j 1 ) j  0,1,2,..., n  1 funkcję interpolowaną przybliża się
wielomianem stosunkowo niskiego stopnia. Na ogół w każdym przedziale wielomian będzie
różny ale cała funkcja interpolująca powinna być ciągła wraz z odpowiednimi pochodnymi na
odcinku  a, b .
Zagadnienie interpolacyjne za pomocą funkcji sklejanych wymaga, aby ich wykres
przechodził przez węzły interpolacji (punkty dyskretne, których współrzędne znamy) y1, …,
yi, …, yb, a poza nimi przybliżał jak najlepiej pierwowzór za pomocą odpowiednich funkcji
w poszczególnych przedziałach <j, j+1). Na przykład w każdym przedziale <j, j+1)
funkcja sklejana stopnia 3 przyjmuje postać:
Yi ()  a j  b j (   j )  c j (   j ) 2  d j (   j )3 , j  0,1,2,..., n  1 (3.27)
przy czym współczynniki ai , bi , ci , d i wyznacza się następująco:
1. Należy rozwiązać układ równań liniowych o postaci:
30
2
u
 2
0


0

0
gdzie
w1
0
0

0
0
2
w2
0

0
0
u3
2
w3 
0
0






0
0
0
 un 2
0
0
0

0
2
un 1
0 
0 

0 

 
wn 2 

2 
hj
h j 1

u j 1 
w j 1 

h j  h j 1
h j  h j 1




v   s j  2  s j 1  s j 1  s j  : (h  h )
j 1
j
j 1
 h

h j 
j 1


h j   j 1   j
 c1*   v1 
 *  

 c2   v2 
 c3*   v 3 

 =

     
c n* 2  v n  2 
 *  

 c n 1   v n 1 
(3.28)
j  0,1,2,..., n  2
j  0,1,2,..., n  1
yi  y( j )
j  0,1,2,..., n
z którego wyznacza się współczynniki c
*
i
j  1,2,..., n  1 .
2. Współczynniki ci są określone następująco:
c0  cn  0 c j  3c*j
j  1,2,..., n  1
(3.29)
a współczynniki ai , bi , d i oblicza się wg zależności:


a j  s j

s j 1  s j h j
(3.30)
j  0,1,2,..., n  1 .
 (c j 1  2c j )
b j 
h
3
j

c j 1  c j

d j 
3h j

Mając obliczone współczynniki wielomianu, można obliczyć szukaną wartość wielomianu,
zaś błąd interpolacji za pomocą funkcji sklejanych wyznacza się według zależności:
1
eG = Y ()  Yi ()  Mhi2
(3.31)
2
gdzie: M - stała, taka że Yi " ()  M dla każdego   1 ,  n , Yi - funkcja sklejana
trzeciego stopnia z węzłami 1  ...   n taka, że Yi ( j )  Y ( j ) dla j=1,…,n
oraz Yi "(1 )  3M i Yi "( n )  3M ; h j   j 1   j .
Analiza przedstawionych powyżej metod wyznaczania wartości genezowanej
parametrów diagnostycznych oraz odpowiednich dla nich błędów genezy pozwala stwierdzić,
że w celu wyznaczenia wartości genezowanej parametrów diagnostycznych, na podstawie
niepewnych i niepełnych ich wartości z przedziału czasu (1, b), należy wykorzystać:
1. W zakresie metod aproksymacyjnych:
a) aproksymację średniokwadratową punktową wielomianową z błędem genezy rja:
31
rja = eGj = max B  y j , a (k )  y j (k )
k 1, K
b) aproksymację trygonometryczną z błędem genezy rja :
rja = eGj = max B  y j , a (k )  y j (k )
k 1, K
(3.32)
(3.33)
2. W zakresie metod interpolacyjnych:
a) interpolację za pomocą funkcji sklejanych 1, 2 i 3 stopnia dla przedziału czasu (1,
b) o liczebności r1 z błędem genezy rj,int [55,64]:
rj,int = eGj = max B  y j ,int (k )  y j (k )
(3.34)
k 1, r 2
gdzie: r1 = K/2 - ilość punktów do interpolacji wartości szeregu czasowego yj(),
r2 = K/2-1 - ilość punktów do porównania wartości funkcji sklejanych z wartością
rzeczywistą parametru oraz interpolacji wartości szeregu czasowego yj(),
K – liczebność szeregu czasowego.
Szacowanie przyczyny uszkodzenia maszyny
Analiza przyczyny wystąpienia stanu si(TLU) odbywa się poprzez analizę zbioru
zdarzeń, w tym {si(k), i=1,…, 1; k=1, …, K} w przedziale K(1,b) w celu:
a) określenia punktu wspólnego „kanału błędowego” wyznaczonego przez promień
błędu r*j i wartość graniczną parametru diagnostycznego yj*w chwili S(1,b),
dmin=0 (rys. 3.4, rys. 3.6);
b) określenia większej liczby punktów wspólnych „kanału błędowego” (np. n - punktów)
wyznaczonego przez promień błędu r*j i wartości granicznej parametru
diagnostycznego yj* w chwilach S (1,b), ndmin=0 (rys. 3.5);
c) określenia minimalnej odległości „kanału błędowego” od wartości granicznej w chwili
S  (1,b), dmin<0 (rys. 3.5, rys. 3.6);
d) analiza elementów zbioru stanów {si(k), k=1, …, K}i zbioru stanów {si(S)} oraz
zlokalizowanego stanu si(TLU) w celu określenia przyczyny jego wystąpienia.
Rys. 3.4. Interpretacja genezowania stanu maszyny dla jednego punktu wspólnego (d min=0)
32
Rys. 3.5. Interpretacja genezowania stanu dla n punktów wspólnych (n(d min=0)) i dla dmin<0
Rys. 3.6. Interpretacja genezowania stanu dla dmin>0 i jednego punktu wspólnego (dmin=0)
Dla każdego parametru diagnostycznego określana jest ilość „zbliżeń”
aproksymowanej (interpolowanej) wartości parametru diagnostycznego z obliczonym błędem
genezy eGj = max (rj,a, rj,int) do wartości granicznej parametru diagnostycznego yjg (dmin= 0,
ndmin= 0, dmin> 0, dmin< 0) oraz lista określonych stanów {si(k)}.
Analiza ilości „zbliżeń” (wartości minimalne dmin) i odpowiadające im stany
si{si(k)} oraz warunków ich wystąpienia (parametry procesowe, parametry otoczenia oraz
zdarzenia dodatkowe, np. obciążenie, warunki terenowe, warunki klimatyczne, inne)
umożliwia określenie przyczyny stanu si(TLU), stwierdzonego w chwili badania stanu
maszyny b. Wynika to z następujących ustaleń:
a) jeśli znane są stany si{si(k), k(1,b)} i warunki ich wystąpienia w postaci
zbioru zdarzeń oraz pojedynczy punkt wspólny „kanału błędowego” (dmin=0, rys. 3.4)
w chwili S wyróżnia stan si(S)=si(TLU) to wówczas przyczyną wystąpienia stanu
si(TLU) były okoliczności i warunki określone dla stanu si(S) oraz „chwilowe
pojawienie się” się tego stanu w czasie (1,b);
33
b) jeśli znane są stany si{si(k), k(1,b)} i warunki ich wystąpienia w postaci
zbioru zdarzeń oraz wiele punktów wspólnych „kanału błędowego (ndmin=0, dmin<0,
rys. 3.5) w chwili S wyróżnia stan si(S)=si(TLU) to wówczas przyczyną wystąpienia
si(TLU) były okoliczności i warunki określone dla stanu si(S) oraz „narastający
rozwój” tego stanu w czasie (1,b);
c) jeśli znane są stany si{si(k), k(1,b)} i warunki ich wystąpienia w postaci
zbioru zdarzeń oraz odległość minimalna dmin>0 (rys. 3.6) w chwili S wyróżnia stan
si(S)=si(TLU) to wówczas przyczyną wystąpienia si(TLU) były okoliczności i warunki
określone dla stanu si(S) oraz „chwilowe niepełne pojawienie się” się tego stanu w
czasie (1,b);
d) jeśli nie są znane stany si{si(k), k(1,b)} i znane są warunki eksploatacji
maszyny (w postaci zbioru zdarzeń) w przedziale czasu (1,b) oraz wartość
odległości minimalnej dmin= (dmin=0 lub dmin>0 lub dmin<0) chwili S jest zbliżona (z
błędem około 10%) do wartości dmin(si(TLU)) to wówczas jest możliwe określenie
przyczyny wystąpienia stanu si(TLU), bo prawdopodobne są warunki dla chwili S;
e) jeśli nie są znane stany si{si(k), k(1,b)} i nie są znane warunki eksploatacji
maszyny (w postaci zbioru zdarzeń) w przedziale czasu (1,b) oraz wartość
odległości minimalnej dmin= (dmin=0 lub dmin>0 lub dmin<0) w chwili S nie jest
zbliżona (z błędem około 10%) do wartości dmin(si(TLU)) to wówczas nie jest możliwe
określenie przyczyny wystąpienia stanu si(TLU).
Przedstawione opcje określania przyczyny stanu si(TLU) ograniczone są z przyjęciem
wielu uwarunkowań związanych z procesem eksploatacji maszyn.
3.4. ALGORYTM GENEZOWANIA STANU
Realizacja opracowanych powyżej procedur powinna zapewnić:
a) optymalizację zbioru parametrów diagnostycznych Y;
b) genezowanie wartości parametrów diagnostycznych w przedziale czasu (1,b);
c) wyznaczenie przyczyny zlokalizowanego, w trakcie realizacji testu diagnostycznego
TLU , stanu maszyny si (rys. 3.4).
Rys. 3.4. Schemat procedury genezowania stanu w rozpoznawania stanu maszyn
34
Algorytm realizacji procesu genezowania stanu maszyny zawiera następujące etapy
(rys. 3.5):
Rys. 3.5. Schemat procesu genezowania stanu maszyn
A. Akwizycja danych
Podczas akwizycji danych uzyskuje się:
a) zbiór wartości parametrów diagnostycznych w funkcji czasu eksploatacji maszyny
{yj(k)}, uzyskanych w czasie realizacji eksperymentu, gdzie k(1, b);
b) zbiór wartości parametrów diagnostycznych:{yj(1)} – wartości nominalne,{yjg}wartości graniczne, j=1, …, m;
c) zbiór stanów maszyny{k: {si}, k=1, …, K; i=1,…, I} uzyskanych w czasie realizacji
eksperymentu, gdzie k(1, b);
d) zbiór wartości parametrów procesowych maszyny w funkcji czasu eksploatacji
maszyny {ypj(k)}, uzyskanych w czasie realizacji eksperymentu, gdzie k(1, b);
e) zbiór wartości parametrów otoczenia maszyny w funkcji czasu eksploatacji maszyny
{yoj (k)}, uzyskanych w czasie realizacji eksperymentu, gdzie k(1, b);
f) zbiór zdarzeń dodatkowych w funkcji czasu eksploatacji maszyny {zdj(k)},
uzyskanych w czasie realizacji eksperymentu, gdzie k(1, b).
B. Optymalizacja zbioru wartości parametrów diagnostycznych
Zbiór parametrów diagnostycznych wyznacza się za pomocą:
a) metody korelacji wartości parametrów diagnostycznych ze stanem maszyny (z czasem
eksploatacji, rj = r(W, yj), (rj = r((, yj));
b) metody ilości informacji parametrów diagnostycznych o stanie maszyny hj;
a) redukcji zbioru parametrów diagnostycznych za pomocą metody „punktu idealnego” z
grupy metod rozwiązań kompromisowych Pareto;
b) wyznaczenie wartości wagi wj.
35
C. Genezowanie stanu – ustalenie przyczyny wystąpienia, zlokalizowanego w trakcie
realizacji testu TLU, stanu si(TLU):
1. Genezowanie wartości zbioru parametrów diagnostycznych {yj*}, tylko przy notacji
dyskretnej zdarzeń, w przedziale czasu (1, b):
a) za pomocą metody aproksymacji wartości parametru diagnostycznego yj* w przedziale
czasu (1,b) wraz z promieniem błędu aproksymacji „kanału błędowego” rj,a metodą
średniokwadratową;
b) za pomocą interpolacji wartości parametru diagnostycznego yj* w przedziale czasu
(1,b) wraz z promieniem błędu interpolacji „kanału błędowego” rj,int metodami
(metoda funkcji sklejanych)stopnia drugiego i stopnia trzeciego;
c) wybór metody według minimalnej wartości promienia błędu aproksymacji lub
interpolacji (błąd dopasowania);
2. Szacowanie przyczyny wystąpienia stanu niezdatności si(TLU):
a) określenie zbioru {si (k), i=1,…, 1; k=1, …, K} w przedziale czasu (1, b);
b) określenie punktu wspólnego „kanału błędowego” wyznaczonego przez promień
błędu r*j= max (rja, rji) i wartość graniczną parametru diagnostycznego yj*w chwili
S(1,b), co oznacza że przyczyną wystąpienia zlokalizowanego stanu si było
„chwilowe pojawienie” się tego stanu w czasie (1,b);
c) określenie większej liczby punktów wspólnych „kanału błędowego” wyznaczonego
przez promień błędu rj = max (rj,a, rj,int) i wartości granicznej parametru
diagnostycznego yj* w chwilach s  (1,b) oznacza, że przyczyną wystąpienia
zlokalizowanego stanu si był „narastający rozwój” stanu si w czasie (1,b);
d) w przypadku braku punktów wspólnych określenie minimalnej odległości „kanału
błędowego” od wartości granicznej w chwili S(1,b), co oznacza że
prawdopodobną przyczyną wystąpienia zlokalizowanego stanu si było „chwilowe
niepełne pojawienie się ” się tego stanu w czasie (1,b);
e) analiza elementów zbioru zdarzeń, w tym stanów {si(k), k=1, …, K} i
zlokalizowanego przez TLU stanu si oraz wystąpienia w celu określenia przyczyny jego
wystąpienia w kontekście otrzymanych ewentualnych „punktów wspólnych” lub
minimalnej odległości „zbliżeń”.
Przeprowadzona prezentacja możliwości wyznaczania genezy stanu maszyn pozwala
na sformułowanie następujących wniosków:
1. Wszystkie prezentowane algorytmy pozwalają wyznaczyć optymalne, ze względu na
przyjmowane kryterium, wartości genezowane parametrów diagnostycznych w przedziale
czasu (1,b), przy czym do dalszych badań proponuje się:
a) wykorzystanie metod aproksymacji wartości parametru diagnostycznego yj* (metoda
średniokwadratowa), z promieniem błędu aproksymacji „kanału błędowego” rj,a;
b) wykorzystanie metod interpolacji wartości parametru yj* (metoda funkcji sklejanych
różnych stopni) z promieniem błędu interpolacji „kanału błędowego” rj,int;
b) wybór metody według minimalnej lub maksymalnej wartości promienia błędu
aproksymacji lub interpolacji (błąd dopasowania).
36
2. Przyjmując za podstawową metodę genezowania polegającą na wykorzystaniu
rejestrowanych wartości parametrów diagnostycznych wyróżniono w celu genezowania
wartości parametru diagnostycznego (dla notacji dyskretnej zdarzeń) metody aproksymacyjne
(metoda średniokwadratowa punktowa wielomianowa, metoda trygonometryczna) i metody
interpolacyjne (metoda wielomianowa, metodę funkcji sklejanych 1, 2 i 3 stopnia) oraz
opracowano odpowiadające im algorytmy.
3. Analiza przyczyny wystąpienia stanu si(TLU) poprzez analizę zbioru zdarzeń, w tym stanów
{si(k), k=1, …, K}, i zlokalizowanego przez TLU stanu si w celu określenia przyczyny jego
wystąpienia w kontekście otrzymanych ewentualnych „punktów wspólnych” lub minimalnej
odległości „zbliżeń”.
4. Algorytm realizacji procesu genezowania stanu maszyny zawiera następujące etapy:
a) akwizycja danych i optymalizacja parametrów diagnostycznych;
b) genezowanie wartości zbioru parametrów diagnostycznych {yj*} tylko przy założeniu
niepełnej i niepewnej historii ich wartości w przedziale czasu (1, b),;
c) analiza przyczyny wystąpienia stanu si(TLU) dla notacji ciągłej zdarzeń oraz notacji
dyskretnej zdarzeń.
W celu weryfikacji skuteczności opracowanych procedur genezowania stanu maszyn
należy prowadzić badania stanowiskowe i eksploatacyjne wybranych układów maszyn.
Wyniki badań, w postaci szeregów czasowych (wartości parametrów diagnostycznych w
funkcji czasu eksploatacji) stanowią podstawę do przeprowadzenia badań jakości
dedykowanych obiektowo procedur genezowania stanu maszyn.
37