plik pdf - Krzysztof Piontek

Krzysztof Piontek
Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń
Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu
WSPÓŁCZYNNIK DELTA DLA MODELU WYCENY OPCJI
UWZGLĘDNIAJĄCEGO EFEKT AR-GARCH
WSTĘP
Black i Scholes przy współudziale Mertona przedstawili w 1973 roku wzór na
wartość europejskiej opcji kupna lub sprzedaży wystawionej na akcje spółki nie
wypłacającej dywidendy [1]. Model ten stał się podstawowym podejściem
wykorzystywanym przez praktyków rynków finansowych. Umożliwia on w prosty sposób
wyznaczenie wartości opcji oraz analizę wrażliwości wartości opcji na poszczególne
czynniki ryzyka determinujące jej wartość; wyznaczenie tzw. współczynników greckich [6].
Rozwiązanie zaproponowane przez Blacka i Scholesa, jakkolwiek przełomowe i
bardzo popularne, nie jest pozbawione pewnych wad. Twórcy modelu założyli, że ceny
instrumentu bazowego zmieniają się zgodnie z geometrycznym ruchem Browna, którego
parametry są stałe. Jest to podejście nierealistyczne, gdyż w rzeczywistych szeregach stóp
zwrotu zaobserwowano i udokumentowano szereg specyficznych efektów [9]. Do
najważniejszych obserwowanych odstępstw od założenia o geometrycznym ruchu Browna
zalicza się występowanie grubych ogonów rozkładów stóp zwrotu, skupiania zmienności
(volatility clustering), autokorelacji w szeregach stóp zwrotu, długiej pamięci w szeregach
zmienności (volatility long memory), skośności rozkładów stóp zwrotu oraz efektu dźwigni
(leverage effect). Nieuwzględnienie tych własności szeregów powoduje, że w pewnych
przypadkach, teoretyczne wartości uzyskane z modelu Blacka-Scholesa odbiegają od cen
obserwowanych w rzeczywistości (model cechuje się obciążeniem). Konsekwencją tego są
odmienne od oczekiwanych wartości zmienności implikowanych [6][9]. W przypadku,
gdyby model Blacka-Scholesa wyceniał opcje prawidłowo, to zmienność implikowana
powinna mieć stałą wartość niezależną od współczynnika moneyness1 opcji oraz niezależną
od terminu do wygaśnięcia opcji. Rzeczywista płaszczyzna zmienności charakteryzuje się
efektem "uśmiechu zmienności", czyli zależnością zmienności implikowanej od ceny
wykonania oraz tzw. „strukturą czasowa zmienności”, czyli zależnością zmienności
implikowanej od terminu do wygaśnięcia opcji2. W 1995 roku Duan przedstawił oparte na
procedurze Monte Carlo podejście wyceny opcji, gdy w szeregu stóp zwrotu z instrumentu
bazowego obserwuje się zmienną w czasie warunkowa wariancję oraz warunkową wartość
oczekiwaną – efekty AR-GARCH [2][4]. Model ten, jakkolwiek znacznie bardziej
skomplikowany od modelu Blacka-Scholesa umożliwia uchwycenie efektu „uśmiechu
zmienności implikowanej” oraz struktur czasowych zmienności, które obserwuje się na
rynkach [2][9]. Zasadniczą różnicą pomiędzy tymi modelami jest również fakt, że model
Blacka-Scholesa jest modelem w czasie ciągłym, natomiast modyfikacje podejścia Duana to
1
Porównaj przypis 10.
Zagadnienia te zostaną rozszerzone w dalszej części pracy podczas omówienia modelu wyceny
opcji uwzględniającego efekt autokorelacji, skupiania zmienności, grubych ogonów i dźwigni.
2
2
Współczynnik delta dla modelu… AR-GARCH
modele w czasie dyskretnym. Ma to swoje konsekwencje także przy wyznaczaniu
współczynników greckich [8].
Przyjęcie określonego modelu wyceny opcji umożliwia właśnie wyznaczenie tzw.
współczynników greckich, czyli analizę wrażliwości wartości opcji na poszczególne
czynniki ryzyka (zmiana ceny instrumentu bazowego, zmiana poziomu zmienności,
poziomu wolnej od ryzyka stopy procentowej, upływ czasu). Najpopularniejszym greckim
współczynnikiem jest tzw. współczynnik delta mierzący wrażliwość wartości opcji3 na
zmianę ceny instrumentu bazowego:
∂c
∆=
,
(1)
∂S
gdzie c to oczywiście wartość europejskiej opcji kupna, a S - cena instrumentu bazowego.
Współczynnik ten wykorzystuje się przede wszystkim przy zabezpieczaniu portfela akcji do
określenia optymalnej liczby wystawianych opcji kupna4 oraz w procesie pomiaru ryzyka
(np. pomiaru wartości zagrożonej (VaR)) portfela zawierającego opcje [7]. Im lepszym
modelem wyceny opcji dysponuje inwestor, tym efektywniejsza powinna być procedura
zabezpieczania portfela akcji oraz dokładniejszy pomiar ryzyka portfela opcji.
Celem artykułu jest porównanie wartości współczynników delta uzyskiwanych w
podejściu Blacka-Scholesa ze współczynnikami uzyskiwanymi na podstawie modelu ARGARCH, będącego modyfikacją procedury zaproponowanej przez Duana.
Praca ta jest wstępem do dalszych badań i bardziej zaawansowanych rozważań. W części
empirycznej dokonano estymacji parametrów pewnego modelu klasy AR-GARCH dla
indeksu WIG20 i zaprezentowano analizę uzyskiwanych wartości współczynników delta dla
dwóch rozpatrywanych modeli (Blacka-Scholesa i modyfikacji Duana) w zależności od
wartości wykonania opcji (współczynnika moneyness), terminu do wygaśnięcia oraz
wartości warunkowej wariancji w dniu wyznaczania współczynnika delta (w dniu pomiaru
ryzyka lub zabezpieczania portfela5). Do analiz empirycznych wybrano indeks WIG20 ze
względu, że stanowi od bazę dla najpopularniejszych opcji i warrantów na rynku polskim.
Ze względu na ilustracyjny jedynie charakter przykładu, zaniedbano fakt, że w skład
indeksu wchodzą akcje spółek mogących wypłacać dywidendy. Formalnie należałoby
posłużyć się modelem Mertona zamiast modelem Blacka-Scholesa [6].
1. WARTOŚCI WSPÓŁCZYNNIKA DELTA W MODELU BLACKA-SCHOLESA
Ze względu na ograniczony rozmiar pracy oraz na fakt, iż model Blacka-Scholesa
jest modelem znanym i popularnym, rozdział ten ograniczony zostanie do minimum.
Wartość współczynnika delta dla modelu Blacka-Scholesa uzyskujemy w prosty
sposób wprost z definicji jako pierwszą pochodną cząstkową wartości opcji po cenie
instrumentu bazowego:
3
W podejściu praktycznym zakład się efektywność i równowagę rynków finansowych i delta staje
się miarą wrażliwości rynkowej ceny opcji na zmianę ceny instrumentu bazowego.
4
Zabezpieczenie portfela akcji polega w tym przypadku na wystawieniu (pozycja krótka) 1 ∆ sztuk
opcji kupna na każdą posiadaną (pozycja długa) sztukę akcji [6].
5
Ponieważ wartość współczynnika delta niezależnie od modelu jest pewną funkcją ceny akcji, czasu
do terminu wykonania, stopy procentowej czy zmienności, niezbędne jest oczywiście również
okresowe korygowanie składu zabezpieczonego portfela (rebalancing).
Krzysztof Piontek
∆ tBS {c} = N ( d1 ) , gdzie:
 St
 X
ln 
d1 =
3
(2)
σ 
 
 T
 + r+
2 
 
,
σ T
2
(3)
∆ tBS {c} - wartość współczynnika delta dla opcji kupna (call) w modelu Blacka-Scholesa,
St – cena instrumentu bazowego w chwili t,
X – cena wykonania opcji,
r – wolna od ryzyka stopa procentowa,
σ - zmienność (odchylenie standardowe stóp zwrotu w skali rocznej) kursu
instrumentu bazowego,
T – czas pozostający do terminu wygaśnięcia opcji (jako ułamek roku),
N(d) – wartość dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego dla argumentu
równego d.
Wartość współczynnika delta dla europejskiej opcji sprzedaży ( ∆ t { p} ) można wyznaczyć
(niezależnie od modelu wyceny opcji, korzystając z parytetu kupna/sprzedaży [6] z
zależności:
∆ t {c} − ∆t { p} = 1 .
(4)
Porównane zostaną więc jedynie wartości współczynników delta dla opcji kupna.
W dalszej części pracy, na etapie porównania wyników modelu Blacka-Scholesa i
modelu uwzględniającego efekt AR-GARCH, za oszacowanie zmienności wykorzystywanej
w modelu Blacka-Scholesa podstawiana będzie średnia bezwarunkowa zmienność6 (średnia
długoterminowa zmienność) wynikająca z modelu AR-GARCH (por. wzór (12)). Taką samą
wartość zmienności uzyskalibyśmy wyznaczając odchylenie standardowe stopy zwrotu z
dużej próby (i przeskalowując na okres roczny). Rozwiązanie powyższe zapewnia, że w
obydwu modelach wyznacza się wartości delt przy tym samym poziomie bezwarunkowej
zmienności, co zapewnia porównywalność wyników.
2. WŁASNOŚCI MODELU WYCENY OPCJI UWZGLĘDNIAJĄCEGO
EFEKT AR-GARCH
2.1. Wycena opcji w modelu AR-GARCH
Omawiana tutaj w sposób skrótowy procedura wyceny opcji zaproponowana została
przez Duana przy założeniu, że szereg stóp zwrotu z instrumentu bazowego opisywany jest
modelem GARCH-M(1,1) [2]. Zostało ono jednak szybko uogólnione na inne postaci
6
Przeskalowana oczywiście na okres roczny.
3
4
Współczynnik delta dla modelu… AR-GARCH
warunkowej wartości oczekiwanej oraz warunkowej wariancji7 [10][4][5]. Propozycja
Duana jest uogólnieniem tradycyjnej metody wyceny przy neutralnym podejściu do ryzyka
(risk neutral valuation) [11][6] w przypadku modeli z warunkową wartością oczekiwaną
oraz warunkową wariancją i polega na takiej modyfikacji procesu stóp zwrotu, by dla
każdej chwili, warunkowa wartość oczekiwana stopy zwrotu była równa stopie wolnej od
ryzyka [2][4]. Równoważne jest to temu, iż zdyskontowana przy stopie wolnej od ryzyka
cena instrumentu bazowego jest martyngałem [11]. Parametr λt modyfikujący proces stóp
zwrotu nie jest stały w czasie i podejście to nazwane zostało "wyceną przy punktowej
własności neutralności wobec ryzyka" (Locally Risk-Neutral Valuation Relationship LRNVR) [6]. Także w tym przypadku wprowadza się pojęcia miary P, dla procesu
nieprzekształconego oraz arbitrażowej miary Q, względem której zdyskontowany proces
cen instrumentu bazowego jest martyngałem.
Uwzględnienie zmiennej w czasie wariancji powoduje, tzw. "niezupełność rynku"
(incompletness of market) oraz istnienie w ogólności wielu możliwych miar Q, dla których
spełnione jest założenie braku arbitrażu [11]. Niezbędne staje się założenie o preferencjach
inwestora względem ryzyka i postaci funkcji użyteczności [2].
Do dalszej analizy przyjęto, że szereg stóp zwrotu z instrumentu bazowego może
być dobrze opisany modelem AR(1)-GJR-GARCH(1,1) [9]. Model ten umożliwia opis
grubych ogonów rozkładów, skupiania zmienność, autokorelacji stóp zwrotu oraz efektu
dźwigni, czyli asymetrycznej reakcji inwestorów na dobre i złe wiadomości. Model ten jest
niewątpliwie jednym z najbardziej popularnych (poza oczywiście modelem
geometrycznego ruchu Browna) modeli szeregów stóp zwrotu z akcji i indeksów akcji.
Odpowiednie postaci modelu względem tzw. miary P i Q dane są poniższymi
wzorami [4]8:

 yt = µ + φ1 yt −1 − 0.5ht + ht zt

miara P  zt ∼ N (0,1)

−
2
 ht = ω +  α1 + α1 I ( zt −1 < 0) zt −1 + β1  ht −1

(5)
 yt = r1 − 0.5ht + ht ηt

ηt ∼ N (0,1)

2
miara Q  ht = ω +  α1 + α1− I (η −λ <0) (ηt −1 − λt −1 ) + β1  ht −1
t −1
t −1



µ + φ1 yt −1 − r1

 λt =
ht

(6)
(
(
)
)
gdzie:
yt - logarytmiczna stopa zwrotu z instrumentu bazowego z okresu [t − 1, t ] (najczęściej
W dalszej części pracy zakłada się, że stopy zwrotu z instrumentu bazowego opisywane są przez
model AR(1)-GJR-GARCH(1,1) z resztami modelu o warunkowym rozkładzie normalnym (por.
wzór (5) oraz [9]).
8
Pojawienie się składnika " −0.5ht " związane jest z faktem, iż rozpatrywane są logarytmiczne stopy
zwrotu (por. lemat Itô np. w [11]).
7
Krzysztof Piontek
5
jednodniowa),
r1 - stopa procentowa wolna od ryzyka w horyzoncie, dla którego wyznaczane są stopy
zwrotu,
µ, φ1, ω, α1, α1-, β1 - parametry procesu stóp zwrotu,
oraz
 1; gdy p = prawda
.
I( p ) = 
 0; gdy p = fałsz
Wycena opcji dla chwili t oparta jest na procedurze Monte Carlo, której przebieg jest
następujący [2][4][5][9][10]:
a. Estymacja parametrów procesu stóp zwrotu względem miary P.
Niezbędna jest też informacja o wartości warunkowej wartości oczekiwanej oraz
warunkowej wariancji w chwili t , które decydują o ,,warunku początkowym''
podczas generowania zbioru trajektorii procesu w etapie b.
b. Wygenerowanie m trajektorii szeregu cen instrumentu bazowego o długości n dni
sesyjnych względem miary Q.
Cenę Si ,n po n dniach (liczba dni do wygaśnięcia opcji) dla i-tej trajektorii uzyskuje
się w oparciu o wzory (6) oraz o zależność:
n
n


Si ,n = St exp  nr1 − 0.5 hi ,t + s + ηi ,t + s  .
(7)
s =1
s =1


W etapie tym wykorzystuje się również typowe procedury poprawy własności
metody Monte Carlo, np. odbić lustrzanych czy „empirycznej symulacji
martyngałów [3][4][10].
c. Wycena europejskiej opcji kupna9.
Wartość opcji ct w chwili t równa jest wartości oczekiwanej (względem miary Q)
∑
∑
zdyskontowanej wartości wypłaty opcji. Europejska opcja kupna w chwili
wykonania związana jest z wypłatą równą max [ Sn − X ,0] , gdzie Sn to cena
instrumentu bazowego w chwili wygaśnięcia (rozliczania) opcji, a X, to cena
wykonania opcji:
1 m
(8)
ct = exp ( − nr1 )
max  Si , n − X ,0  ,
m i =1
∑
gdzie m to liczba wygenerowanych trajektorii procesu.
Właściwości tego modelu wyceny opcji znaleźć można w pracach [2][4][9][10].
Rys. 1. prezentuje przykładowe uzyskiwane wartości zmienności implikowanej. Wyraźnie
9
Opcje sprzedaży można wycenić analogicznie lub poprzez parytet kupna-sprzedaży [6].
5
Współczynnik delta dla modelu… AR-GARCH
6
można dostrzec obserwowaną na rynkach finansowych zależność zmienności implikowanej
od ceny wykonania opcji oraz terminu do wygaśnięcia [9]. Kształt "uśmiechu zmienności"
zależy m.in. od siły "efektu dźwigni" w szeregu stóp zwrotu instrumentu bazowego, czyli
wielkości asymetrii w reakcji inwestorów na dopływające do rynku wiadomości dobre i złe.
Wraz ze wzrostem terminu do wygaśnięcia, kształt "uśmiechu zmienności" staje się bardziej
płaski. Dodatkowo wraz ze wzrostem terminu do wygaśnięcia obserwuje się często wzrost
lub spadek zmienności implikowanej dla opcji o tym samym współczynniku moneyness10.
Efekt ten nazywa się "strukturą czasową zmienności implikowanej". Związany jest on z
faktem, że po okresie szczególnie niskiej lub wysokiej zmienności, obserwuje się powrót do
poziomu średniego (por. Rys. 2 oraz [9[).
Rys 1. Płaszczyzna zmienności implikowanej dla modelu AR(1)-GJR-GARCH(1,1)
Źródło: obliczenia własne (por. Piontek (2002)).
Warto zaznaczyć, iż częstym podejściem w ramach wyceny opcji jest wyznaczenie
średniego poziomu zmienności w terminie do wygaśnięcia opcji z prognoz warunkowej
wariancji na kolejne dni [9], a następnie podstawienie uzyskanej wartości do modelu
Blacka-Scholesa. Rozwiązanie to gwarantuje jedynie połowiczną poprawę własności
modelu, gdyż umożliwia uchwycenie struktur czasowych zmienności implikowanej, lecz w
żaden sposób nie ujmuje „uśmiechu zmienności”. W dalszej części pracy takie połowiczne
rozwiązanie nie będzie analizowane.
2.2. Współczynnik delta w modelu wyceny opcji uwzględniającym efekt AR-GARCH
Tak samo jak nie istnieje wzór analityczny na wycenę opcji w modelu AR-GARCH (w
wersji dla czasu dyskretnego), tak samo nie dysponujemy analitycznym wzorem na wartość
współczynnika delta w tym modelu i niezbędne jest stosowanie procedur Monte Carlo.
10
Współczynnik moneyness zdefiniowany został jako:
moneyness =
gdzie
St
,
Xe − rT
St - cena spot akcji w chwili t , X - cena wykonania, r - wolna od ryzyka stopa procentowa
T - czas do wygaśnięcia opcji w latach
w skali roku,
7
Krzysztof Piontek
Wartość współczynnika delta można wyznaczyć oczywiście wprost z definicji
pochodnej jako granicy ilorazu różnicowego według wzoru:
∆ tGARCH {c} =
∂c ( St )
∂St
= lim
ct ( St + ε ) − ct ( St − ε )
2ε
ε →0
.
(9)
W wzorze tym wykorzystano tzw. centralny iloraz różnicowy. Dla małych wartości
ε uzyskuje się dokładne przybliżenia wartości współczynnika delta. Wymaga to jednak
precyzyjnego wyznaczenia dwóch wartości cen opcji, co związane jest z koniecznością
wygenerowania bardzo dużej liczby trajektorii procesu, co znacznie wydłuża czas
niezbędnych obliczeń.
Znacznym ułatwieniem jest możliwość skorzystania z wyprowadzonego przez Duana wzoru
wyrażającego wartość współczynnika delta względem zbioru cen akcji w dniu wygaśnięcia
opcji (względem miary Q dla różnych trajektorii):
 Sn

I ( Sn > X )  .
 St

∆ tGARCH {c} = exp ( − r1n ) E Q 
(10)
W praktyce korzysta się z następującego wzoru:
∆ tGARCH {c} ≅
m
S

1
exp ( −r1n ) ∑  n ,i I ( S > X ) 
n ,i
m
i =1  St

(11)
(por. wzory (7) i (8)).
Podejścia dane wzorami (9) i (10) prowadzą do tych samych wyników, ale
procedura oparta na ilorazie różnicowym jest znacznie bardziej czasochłonna (aby otrzymać
oszacowania współczynników delta o tym samym błędzie).
Kallsen i Taqqu udowodnili, że podejścia dane wzorami (9) i (10) nie prowadzą do
do końca prawidłowych współczynników delta, co związane jest z faktem, że proces
zmienności warunkowej powraca do długoterminowej średniej [8]. Aby mogła nastąpić
zmiana ceny instrumentu bazowego musi upłynąć jednostka czasu (czas zmienia się
dyskretnie), w czasie której może zmieniać się (powracać do średniej) również wartość
warunkowej zmienności, która jest warunkiem początkowym w procedurze generowania
trajektorii procesu. Powoduje to, że we wzorze na deltę pojawia się kolejny składnik
związany z wrażliwością zmienności procesu na zmianę ceny instrumentu bazowego [8].
Praktyczne wykorzystanie tego rozszerzenia jest już na tyle skomplikowane i wnoszące na
tyle nieistotną popraw, że jest najczęściej zaniedbywane. W dalszej części pracy
wyznaczone zostaną wartości współczynnika delta dla modelu wyceny opcji będącego
modyfikacją procedury Duana według wzoru (11).
Porównanie wartości współczynników delta dla obu modeli dla rożnych warunków
brzegowych przedstawione zostanie w oparciu o przykład empiryczny.
7
8
Współczynnik delta dla modelu… AR-GARCH
3. PRZYKŁAD EMPIRYCZNY
Poniższy przykład empiryczny ma jedynie charakter ilustracyjny. Pozwala on
jednak określić podstawowe różnice i zależności pomiędzy wartościami współczynników
delta uzyskiwanymi dla obu modeli. Przykładowym dniem, dla którego dokonywano
obliczeń był dzień 01-03-2004. Wartość indeksu w tym dniu wynosiła 1783,13. Stopę
wolną od ryzyka w skali roku przyjęto na poziomie 5%. Parametry modelu stóp zwrotu
AR(1)-GJR-GARCH(1,1) względem miary P wyestymowane zostały na podstawie 1500
obserwacji poprzedzających dzień analizy (dziennych logarytmicznych stóp zwrotu).
Tabela 1. prezentuje uzyskane wartości procesu11.
Tabela 1.
Parametry modelu dla indeksu WIG20 względem miary P
współczynnik
wartość
t-value
µ
0,000240
0,4981
ϕ1
0,040575
1,561
ω
6,8318e-6
3,071
α1
0,047878
4,138
α1−
0,034362
2,190
β1
Źródło: obliczenia własne.
0,916612
63,19
Bezwarunkowa wariancja procesu AR(1)-GJR-GARCH(1,1) dana jest następującym
wzorem:
1
ω
V=
.
(12)
2
1 − ϕ1


α1−
1 −  α1 +
+ β1 
2


Długoterminowa zmienność stóp zwrotu w skali roku (wyznaczona na podstawie wzoru
(12) przy uwzględnieniu 252 dni sesyjnych w roku) wynosiła 30,67%. Zmienność
wyznaczana bezpośrednio z 1500 obserwacji stóp zwrotu wynosiła 31,66%. W celu
zapewnienie porównywalności wyników (ze względu na wartość zmienności) w dalszych
obliczeniach opierających się o model Blacka-Scholesa przyjęto, ze stała w czasie
zmienność procesu (geometrycznego ruchu Browna) wynosiła w skali roku właśnie
30,67%. Warunkowa wartość zmienności stóp zwrotu w kolejnych dniach może
przyjmować różne wartości wahając się wokół średniej. Rys. 2. prezentuje wartości
warunkowej zmienności w skali roku w kolejnych dniach w analizowanym okresie oraz
wartość średniej długoterminowej zmienności. Na przykład w dniu 1-03-2004 warunkowa
zmienność w skali roku (wyznaczona na podstawie wartości warunkowej wariancji)
wynosiła 24,46% i była niższa od średniej.
Rysunki 3, 4 oraz 5 prezentują zależności współczynników delta dla obu modeli dla
różnych wartości parametru moneyness, czasu do wygaśnięcia opcji oraz ilorazu
warunkowej zmienności procesu (w dniu wyznaczania parametru delta) do długoterminowej
zmienności. Iloraz ten został zdefiniowany jako:
11
Wszystkie prezentowane wyniki (wartości i rysunki) uzyskano w oparciu o autorskie procedury
oprogramowane w środowisku MATLAB 6.0.
9
Krzysztof Piontek
Φ=
ht
σ
,
(13)
gdzie σ to długoterminowa (bezwarunkowa) zmienność szeregu stóp zwrotu. Dla naszego
przykładu σ w skali roku wynosi 30,67%. Na rysunkach 4 i 5 wartość ilorazuΦ jest taka
sama (ten sam dzień analizy).
Rys. 2. Wartości warunkowej zmienności
procesu stóp zwrotu.
Źródło: obliczenia własne.
Rys. 3. Zależność delt od wartości Φ oraz
moneyness
Źródło: obliczenia własne.
Rys. 4. Zależność delt od parametru
moneyness dla T=1 miesiąc oraz Φ<1.
Źródło: obliczenia własne.
Rys. 5. Zależność delt od parametru
moneyness T=3 miesiące oraz Φ<1.
Źródło: obliczenia własne.
Na podstawie zaprezentowanych wyników oraz wyników, które nie zostały
zamieszczone ze względu na ograniczony rozmiar pracy, można wyciągnąć następujące
wnioski mogące być przydatne np. podczas procedury zabezpieczania portfela.
9
10
Współczynnik delta dla modelu… AR-GARCH
Dla opcji at-the-money (ATM, moneyness=1) wartości współczynników delta pokrywają się
dla obu modeli niezależnie od czasu do wygaśnięcia opcji oraz wartości Φ. Dla opcji in-themoney (ITM, moneyness>1), wartości współczynników delta są wyższe dla modelu ARGARCH od modelu Blacka-Scholesa, gdy Φ<1 oraz są niższe od modelu Blacka-Scholesa,
gdy Φ>1. Dla opcji out-of-the-money (OTM, moneyness<1) obserwuje się zależność
przeciwną. Obrazuje to uwzględnianie w modelu AR-GARCH powrotu warunkowej
zmienności do poziomu średniego. Dla opcji głęboko ITM oraz głęboko OTM różnice w
wartości bezwzględnej współczynników delta stają się nieistotne. Dla opcji OTM istotny
staje się natomiast błąd procentowy wartości delt dla obu modeli, gdy Φ ≠ 1 . Im dłuższy
termin do wygaśnięcia opcji, tym głębiej opcja musi być OTM lub ITM, by różnice
bezwzględne między wartościami delt były pomijalne. Na podstawie powyższych
obserwacji można stwierdzić, iż dla opcji ATM inwestor może wyznaczać w każdym
przypadku parametr delta według modelu Blacka-Scholesa. Dla opcji OTM i ITM wartości
opcji według modelu Blacka-Scholsa są równie wrażliwe na zmianę ceny instrumentu
bazowego, gdy chwilowa zmienność warunkowa równa jest zmienności długookresowej
(średniej). Szczególną uwagę należy zwrócić na opcje będące coraz bardziej OTM, ze
względu na rosnący błąd procentowy mogący być przyczyną nieskuteczności np. strategii
zabezpieczającej.
Przedstawione wnioski mają charakter wstępny. Celem autora w przyszłości jest
pogłębienie rozważań przede wszystkim w kierunku badań empirycznych rynku polskiego i
próby porównania wrażliwości wartości uzyskiwanych z modeli teoretycznych ze zmianami
cen opcji i warrantów w kolejnych dniach na skutek zmiany ceny instrumentu bazowego.
Literatura
[1] Black F., Scholes M. (1973). The pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal
of Political Economy, nr 81, str. 637-654
[2] Duan J. (1995). The GARCH Option Pricing Model. Mathematical Finance, nr 5,
str. 13-32
[3] Duan J., Gauthier G., Simonato J. (1999). Fast Valuation of Derivative Contracts by
Simulation. http://www.rotman.utoronto.ca/~jcduan/emsobol.pdf
[4] Hafner C., Herwartz H. (1999). Option Pricing under Linear Autoregressive Dynamics,
Heteroskedasticity, and Conditional Leptokurtosis. Humboldt-Universität. Berlin.
http://ideas.repec.org
[5] Härdle W., Hafner C. (2000). Discrete time option pricing with flexible volatility
estimation. Finance and Stochastic, nr 4, str. 189-201
[6] Hull J. (1999). Futures, options and other derivatives. Prentive-Hall, New York
[7] Jorion P. (2001). Value at risk: the new benchmark for managing financial risk - 2nd
edition. McGraw-Hill. New York
[8] Kallsen J., Taqqu M. (1998). Option pricing in ARCH-type models. Mathematical
Finance, 8/1, str. 13-26
[9] Piontek K. (2002). Modelowanie i prognozowanie zmienności instrumentów
finansowych. Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu (praca doktorska)
[10] Schmitt Ch. (1996). Option Pricing Using EGARCH Models. ZEW Discussion Paper
nr 96-20. Mannheim. www.zew.de
[11] Weron A., Weron R. (1998). Inżynieria finansowa. WNT, Warszawa