Lista 3. Równania różniczkowe zwyczajne 2. 1. Narysować portret

Lista 3.
Równania różniczkowe zwyczajne 2.
1. Narysować portret fazowy układu x0 = A x, x = (x1 , x2 )T dla zadanych macierzy A:
1 0
−1 0
3 1
2 1
a. A =
; b. A =
; c. A =
; d. A =
;
0 2
0 2
−1 3
0 2
1 0
−3 0
0 2
e. A =
; f. A =
; g. A =
;
0 12
−2 0
0 −3
3 0
1 0
0 −2
h. A =
; i. A =
; j. A =
.
0 0
0 −1
2 0
2. Narysować portret fazowy układu x0 = A x, x = (x1 , x2 )T na płaszczyźnie Ox1 x2 dla
zadanych macierzy A:
2 1
2 1
1 −4
a. A =
; b. A =
; c. A =
;
1 2
1 3
2 −1
0 2
−1 8
−7 3
d. A =
; e. A =
; f. A =
.
−3 −1
−2 7
−8 3
3. Sklasyfikować punkt krytyczny (0, 0) układów:
a. x01 = 3x1 + 4x2 , x02 = 2x1 + x2 ;
b. x01 = 2x2 − 3x1 , x02 = x1 − 4x2 ;
c. x01 = x2 , x02 = x2 − 2x1 ; d. x01 = x1 − x2 , x02 = 2x1 − x2 ;
e. x01 = 2x2 − 3x1 , x02 = x2 − 2x1 ; f. x01 = 2x1 − x2 , x02 = x1 ;
g. x01 = −2x1 − 5x2 , x02 = 2x1 + 2x2 ; h. x01 = 3x1 − 2x2 , x02 = 4x2 − 6x1 .
4. Dane są układy:
a. x01 = x1 + x2 + 2, x02 = x1 + 2x2 + 3;
b. x01 = x2 + 1, x02 = 3;
c. x01 = 2x1 − 3x2 + 1, x02 = 6x1 − 9x2 ; d. x01 = 2x1 − x2 + 1, x02 = 6x1 + 3x2 ;
e. x01 = 3x1 + 6, x02 = 2x2 − x1 ; f. x01 = x1 − 2x2 − 5, x02 = 2x1 + x2 ;
(a) Wskazać układy, które można sprowadzić do układów liniowych przez odpowiednią
zamianę zmiennych.
(b) Sprowadzić te układy do układów liniowych.
(c) Sklasyfikować ich punkty krytyczne i narysować lokalne portrety fazowe (laboratorium,
laboratorium, lista 4, zad.4.4).
5. Przechodząc do układu dwóch równań pierwszego rzędu, naszkicować globalny portret
fazowy równań:
a. x00 − 4x0 + 3x = 0,
b. x00 + 2x0 + 5x = 0.
Patrz laboratorium, lista 3, zad.3.7.
1