9 b) dla x1 = x0 1, x2 = x0 2, ..., xn = x0 n funkcje te przybierają

9
§ 2. Funkcje uwikłane
b) dla x1 = x01 , x2 = x02 , . . . , xn = x0n funkcje te przybierają odpowiednio
0
0
wartości y10 , y20 , . . . , ym−1
, ym
;
0
0
f1 (x01 , x02 , . . . , x0n ) = y10 , . . . , fm−1 (x01 , x02 , . . . , x0n ) = ym−1
, fm (x01 , x02 , . . . , x0n ) = ym
c) funkcje f1 , f2 , . . . , fm są ciągłe;
d) mają ciągłe pochodne cząstkowe względem wszystkich zmiennych.
D o w ó d przeprowadzimy posługując się indukcją matematyczną. Dla
m = 1, gdy układ sprowadza się do jednego równania, twierdzenie jest prawdziwe – jest to wówczas twierdzenie III. Przypuśćmy teraz, że twierdzenie jest
prawdziwe, gdy układ składa się z m − 1 równań, które określają m − 1 funkcji
uwikłanych; udowodnimy, że jest ono wówczas prawdziwe dla układu m równań.
Ponieważ jakobian J jest w punkcie (x1 , . . . , ym ) różny od zera, więc w ostatniej jego kolumnie co najmniej jeden element jest w tym punkcie także różny
od zera. Niech na przykład
0
∂Fm (x01 , . . . , ym
)
6= 0.
∂ym
W tym przypadku, zgodnie z twierdzeniem III, ostatnie równanie układu
(5) określa ym w pewnym otoczeniu D* punktu (x1 , . . . , ym ) jako jednoznaczną
funkcję pozostałych argumentów
(7)
ym = ϕ(x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , ym−1 ).
Przy tym tożsamościowo względem tych argumentów jest
(8)
Fm (x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , ym−1 , ϕ(x1 , . . . , ym−1 )) = 0
Funkcja ϕ jest ciągła i ma ciągłe pochodne cząstkowe, oprócz tego
(9)
0
0
ϕ(x01 , x02 , . . . , x0n , y10 , y20 , . . . , ym−1
) = ym
.
Podkreślmy, że o ile ograniczymy się do wspomnianego otoczenia D*, to
równanie
Fm (x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , ym ) = 0
jest równoważne równaniu (7) – w otoczeniu D* spełniają je te same układy
wartości zmiennych x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , ym .
Zastępując ostatnie z równań (5) równaniem (7) i podstawiając funkcję ϕ
zamiast ym w pozostałych równaniach tego układu otrzymamy nowy układ złożony już z m − 1 równań z n + m − 1 zmiennymi
Φ1 (x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , ym−1 ) = 0,
(10)
Φ2 (x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , ym−1 ) = 0,
. . . . . . . . . . . .
. . .
Φm−1 (x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , ym−1 ) = 0,
10
VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowanie
tu dla skrócenia wprowadziliśmy oznaczenia (dla j = 1, 2, . . . , m − 1):
(11)
Φj (x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , ym−1 ) =
= Fj (x1 , x2 , . . . , xn , y1 , y2 , . . . , ym−1 , ϕ(x1 , x2 , . . . , ym−1 )).
Jeżeli się nie wychodzi poza otoczenie D*, to układ (5) jest równoważny
z układem (10) z dołączonym równaniem (7). Dlatego też, jeżeli uda nam się
dowieść, że układ (10) w dostatecznie małym otoczeniu d* punktu (x01 , x02 , . . . ,
0
ym−1
) określa m − 1 zmiennych y1 , y2 , . . . , ym−1 jako jednoznaczne funkcje
zmiennych x1 , x2 , . . . , xn :
(12)
y1 = f1 (x1 , x2 , . . . , xn ),
...,
ym−1 = fm−1 (x1 , x2 , . . . , xn ),
to wobec (7) również zmienna ym będzie określona jako jednoznaczna funkcja
tych samych zmiennych
(12a)
ym = fm (x1 , x2 , . . . , xn ) =
= ϕ(x1 , x2 , . . . , xn , f1 (x1 , x2 , . . . , xn ), . . . , fm−1 (x1 , x2 , . . . , xn ))(4 ),
i teza a) będzie w zupełności udowodniona.
Zajmiemy się wobec tego układem (10) i wykażemy, że w otoczeniu punktu
0
(x01 , x02 , . . . , ym−1
) spełnia on założenia analogiczne do 1), 2), 3) i 4). Z własności funkcji Fj i ϕ wynika wobec (11) bezpośrednio, że pierwsze dwa z nich
są spełnione. Założenie 3) wraz z (11) i (9) pokazuje, że istotnie dla j=1, 2, . . . ,
m − 1 jest
0
0
0
0
0
Φj (x01 , . . . , ym−1
) = Fj (x01 , . . . , ym−1
, ϕ(x01 , . . . , ym−1
)) = Fj (x01 , . . . , ym−1
, ym
) = 0.
Pozostaje tylko rozpatrzeć jakobian (analogiczny do J ):
D(Φ1 , Φ2 , . . . , Φm−1 ) =
J* =
D(y1 , y2 , . . . , ym−1 )
∂Φ1
∂y1
∂Φ2
∂y1
..
.
∂Φ1
∂y2
∂Φ2
∂y2
..
.
∂Φm−1
∂y1
∂Φm−1
∂y2
...
...
..
.
...
∂Φ1
∂ym−1
∂Φ2
∂ym−1
..
.
∂Φm−1
∂ym−1
0
i przekonać się, że jest on różny od zera w punkcie (x01 , . . . , ym−1
). W tym
celu przekształćmy wyznacznik J , dodając do elementów jego m − 1 pierwszych
4 Wyjaśniamy, że (n + m − 1)-wymiarowy prostopadłościan otwarty d* musi być tak mały, aby określające go przedziały zawarte były w odpowiednich przedziałach określających
0 ), o którym mowa
(n + m)-wymiarowy prostopadłościan D*. Otoczenie punktu (x01 , . . . , ym
w części a) twierdzenia, będzie wyznaczone przez wszystkie przedziały określające d* wraz z
dołączonym do nich ostatnim z przedziałów określających D*.