WYDZIAŁ MATEMATYKI, INFORMATYKI I EKONOMETRII

MATEMATYKA
WYDZIAŁ MATEMATYKI, INFORMATYKI I EKONOMETRII
STUDIA STACJONARNE LICZBA
GEOMETRIA ELEMENTARNA
GODZIN
TEMATYKA ZAJĘĆ
WYKŁAD:
1. Przekształcenie geometryczne. Definicja i własności przekształceń geometrycznych.
Grupa przekształceń. Podstawowe metody budowania grup przekształceń.
2. Izomerie. Definicja i podstawowe własności. Przykłady izomerii na płaszczyźnie i ich
wzory analityczne: symetria środkowa, translacja (przesunięcie równoległe), symetria
osiowa, obrót dokoła punktu o kąt skierowany. Niezmienniki izometrii. Izometrie własne
figur.
3. Symetrie: osiowa (w przestrzeni), płaszczyznowa, środkowa. Niezmienniki symetrii.
Generowanie izometrii symetriami. Symetria osiowa z poślizgiem. Symetria
płaszczyznowa z poślizgiem. Obrót z prostopadłym odbiciem. Ruch śrubowy.
4. Izometrie parzyste i izometrie nieparzyste. Klasyfikacja izomerii ze względu na
przestrzeń punktów stałych oraz liczbę złożeń symetrii hiperpłaszczyznowych.
Podstawowe typy izometrii. Ruchy jako przekształcenia zachowujące orientację.
Skończone grupy izometrii i ich podgrupy.
5. Podobieństwa. Jednokładność. Podstawowe własności i niezmienniki jednokładności.
Podobieństwo. Podstawowe własności i niezmienniki podobieństwa. Rozkład
podobieństwa na izometrię i jednokładność.
6. Przekształcenia afiniczne. Definicja i podstawowe własności przekształcenia afinicznego.
Klasy przekształceń afinicznych. Analityczna postać przekształcenia afinicznego i klas
przekształceń afinicznych - kryteria macierzowe.
7. Konstrukcje geometryczne. Przyrządy i teoretyczne środki konstrukcyjne. Punkty konstruowalne. Zagadnienie konstruowalności. Zadanie konstrukcyjne i jego rozwiązanie
(analiza konstrukcji, opis konstrukcji, dowód poprawności, liczba rozwiązań wraz z dyskusją istnienia rozwiązania). Przykłady zadań konstrukcyjnych.
8. Podstawowe konstrukcje geometryczne (symetralna, dwusieczna, prosta styczna do
okręgu, proste styczne do dwóch okręgów), konstrukcje odcinkowe związane z
twierdzeniem Talesa, konstrukcja średniej geometrycznej, złoty podział odcinka.
9. Zastosowanie przekształceń geometrycznych do rozwiązywania zadań konstrukcyjnych.
Konstruowalność w ujęciu algebraicznym. Przykłady konstrukcji niewykonalnych
środkami klasycznymi (np. podwojenie sześcianu, kwadratura koła, rektyfikacja okręgu,
trysekcja pewnych kątów).
10. Konstruowalność wielokątów foremnych. Konstrukcje wybranych wielokątów foremnych.
Konstrukcje nieklasycznymi środkami: konstrukcje Mohra-Mascheroniego. Konstrukcje
steinerowskie.
11. Metoda aksjomatyczna w geometrii. Pojęcia pierwotne i aksjomaty geometrii
euklidesowej płaskiej. Problemy niesprzeczności i niezależności aksjomatów geometrii
euklidesowej
12. System aksjomatyczny. Grupy aksjomatów według Hilberta.
13. Rola i historia piątego postulatu Euklidesa. Różne postacie aksjomatu Euklidesa o
równoległych.
14. Geometria absolutna, geometria euklidesowa i nieeuklidesowa.
15. Płaszczyzna hiperboliczna: aksjomatyczna definicja płaszczyzny hiperbolicznej. Model
Poincarego płaszczyzny hiperbolicznej. Izometrie w modelu Poincarego. Model Kleina
płaszczyzny hiperbolicznej
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
ĆWICZENIA:
Na ćwiczeniach rozwiązywane będą zadania związane z tematyką poruszaną na wykładzie.
Na zajęcia dotyczące tematyki konstrukcji geometrycznych należy zapoznać się programem
komputerowym C.a.R.
C.a.R skrót od "Compasses and Ruler - program do tworzenia konstrukcji cyrklem i linijką.
Autorem tego programu jest Rene Grothmann. Umożliwił on wszystkim zainteresowanym
używanie swego programu całkowicie nieodpłatnie.
Wersję angielską, niemiecką i polską tego programu można znaleźć na stronie internetowej
autora http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/java/zirkel/doc_en/
lub na stronie http://www.programosy.pl/program,car.html.
Na zajęcia dotyczące geometrii nieeuklidesowej należy zapoznać się programem NonEuclid
(program darmowy).
Strona z programem napisanym w Javie, http://cs.unm.edu/~joel/NonEuclid/NonEuclid.html
do tworzenia konstrukcji w geometrii nieeuklidesowej.
Łączna liczba godzin: 30w+30ć
L. p.
WYKAZ ZALECANEJ LITERATURY
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
I. I. Aleksandrow, Zbiór geometrycznych zadań konstrukcyjnych, PZWS, Warszawa 1964
K. Borsuk, W. Szmielew, Podstawy geometrii,. PWN, Warszawa 1970
R. Doman, Wykłady z geometrii elementarnej, Wyd. Naukowe UAM, Poznań 2001
M. Kordos, L. W. Szczerba, Geometria dla nauczycieli, PWN, Warszawa 1976
H. S. M. Coxeter, Wstep do geometrii dawnej i nowej, PWN, Warszawa 1967
E. Kowalski E, Geometria dla studentów, WSP, Zielona Góra 1990
P. Modenov, A. Parhomenko, Geometric Transformations. Acad. Press, New York, 1965
W. Szmielew, Od geometrii afinicznej do euklidesowej, PWN, 1983
S. I. Zetel, Geometria trójkąta, PZWS, Warszawa 1964
FORMA I WARUNKI ZALICZENIA PRZEDMIOTU
Zaliczenie ćwiczeń: zdobycie minimum 50% punktów z 4 sprawdzianów i 2 kolokwiów. Pozytywna
ocena z wiadomości w czasie prowadzonych ćwiczeń.
Zaliczenie egzaminu: zdobycie minimum 50% punktów z egzaminu pisemnego składającego się z
dwóch części: zadaniowej i teoretycznej.
Opracowała we wrześniu 2010 roku
Krystyna Białek
2