karta kursu - Instytut Matematyki UP

KARTA KURSU
Nazwa
Geometria 2
Nazwa w j. ang.
Geometry 2
Kod
Punktacja ECTS*
5
Zespół dydaktyczny:
Koordynator
dr hab. prof. UP Tomasz Szemberg
dr Maria Robaszewska
dr Justyna Szpond
Opis kursu (cele kształcenia)
Zapoznanie studentów z teorią krzywych i powierzchni algebraicznych drugiego stopnia oraz konstrukcjami
geometrycznymi i ich związkami z algebrą, a także z geometriami nieeuklidesowymi. Kurs stanowi też
wprowadzenie do różniczkowej teorii krzywych.
The purpose of this course is to introduce to students geometry of of curves and surfaces of degree 2,
discuss connections between geometric constructions and algebra and glimpse over non-euclidean
geometries. This course serves also as an introduction to theory of differential curves.
Warunki wstępne
Wiedza
Umiejętności
Kursy
Podstawowe wiadomości z zakresu analizy matematycznej (pochodna), algebry
liniowej (iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy, norma), algebry (ciało, element
algebraiczny, stopień elementu algebraicznego, rozszerzenie algebraiczne, stopień
rozszerzenia), arytmetyki (liczba pierwsza, liczba Fermata), logiki (aksjomat,
twierdzenie, teoria, model).
Potrafi wykonywać działania.
Geometria 1, Algebra liniowa 2, Algebra, Analiza 3
Efekty kształcenia
Efekt kształcenia dla kursu
Wiedza
Umiejętności
Odniesienie do efektów
kierunkowych
W01 zna podstawowe twierdzenia z poznanych działów
matematyki
K_W04
W02 zna przykłady ilustrujące konkretne pojęcia
matematyczne, jak i rozumowania pozwalające obalić
błędne hipotezy
K_W05
Efekt kształcenia dla kursu
Odniesienie do efektów
kierunkowych
1
U01 potrafi w sposób zrozumiały, w mowie i na piśmie
przedstawiać rozumowania matematyczne, formułować
twierdzenia i definicje
K_U01
U02 potrafi zinterpretować układ równań różniczkowych
zwyczajnych w języku geometrycznym
K_U22
Odniesienie do efektów
kierunkowych
Efekt kształcenia dla kursu
Kompetencje
społeczne
K01 potrafi pracować zespołowo; rozumie konieczność
systematycznej pracy nad projektami, które mają
długofalowy charakter
K_K03
Organizacja
Forma zajęć
Ćwiczenia w grupach
Wykład
(W)
Liczba godzin
A
30
K
L
S
P
E
35
Opis metod prowadzenia zajęć
Wykład, zadania tablicowe, praca w grupie, dyskusje. Możliwa realizacja projektów w postaci prac pisemnych
do oddania pod koniec kursu.
W01
W02
U01
U02
K01
Kryteria oceny
X
X
X
X
X
X
X
X
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Inne
Egzamin pisemny
Egzamin ustny
Praca pisemna
(kolokwium,
kartkówka)
Referat
Udział w dyskusji
Projekt grupowy
Projekt
indywidualny
Praca
laboratoryjna
Zajęcia terenowe
Ćwiczenia w
szkole
Gry dydaktyczne
E – learning
Formy sprawdzania efektów kształcenia
x
x
x
x
x
Zaliczenie – na podstawie kolokwiów, kartkówek oraz aktywnego uczestnictwa w
zajęciach a także na podstawie projektów indywidualnych i grupowych, o ile takie będą
realizowane w danym roku akademickim.
2
Uwagi
Wybór konkretnych form sprawdzania wiedzy i umiejętności zależy od prowadzącego
przedmiot w danym roku. Prowadzący może w szczególności zrezygnować z pewnych
form sprawdzania.
Treści merytoryczne (wykaz tematów)
1. Geometria różniczkowa krzywych; parametryzacja dowolna i naturalna krzywej. Krzywizna krzywej i
jej interpretacja geometryczna, okrąg ściśle styczny, promień krzywizny. Prosta styczna i normalna
do krzywej, płaszczyzna ściśle styczna do krzywej. Reper i trójścian Freneta, wzory Freneta.
Skręcenie krzywej i jego interpretacja geometryczna. Równania naturalne krzywej. Badanie kształtu
krzywej gładkiej określonej równaniem parametrycznym.
2. Krzywe algebraiczne i powierzchnie algebraiczne stopnia 2. Krzywe stożkowe; podstawowe
własności afiniczne i metryczne krzywych stożkowych: środek, średnice, bieguny, biegunowe,
asymptoty, ogniska i kierownice. Czwórka harmoniczna punktów. Stożki, walce, hiperboloidy,
paraboloidy, elipsoidy; podstawowe własności afiniczne i metryczne tych powierzchni. Płaskie
przekroje powierzchni stożkowych. Powierzchnie prostokreślne, powierzchnie obrotowe i
powierzchnie powstałe przez przesuwanie krzywej po krzywej. Klasyfikacja afiniczna i metryczna
krzywych oraz powierzchni stopnia 2.
3. Klasyczne konstrukcje geometryczne, konstruowalność w ujęciu algebraicznym – twierdzenie
Wantzela. Przykłady konstrukcji niewykonalnych środkami klasycznymi (np. podwojenie sześcianu,
kwadratura koła, rektyfikacja okręgu, trysekcja pewnych kątów)., rozwiązanie tych problemów
nieklasycznymi środkami. Twierdzenie Gaussa o konstruowalność wielokątów foremnych
klasycznymi środkami. Konstrukcje wybranych wielokątów foremnych, rozwiązanie problemu z
użyciem kwadratrysy Hippiasza. Przegląd zestawów środków równoważnych klasycznym środkom
konstrukcyjnym. Konstrukcje Mohra-Mascheroniego, konstrukcje steinerowskie.
4. Aksjomatyczna budowa geometrii. Rola i dzieje aksjomatu Euklidesa, informacje o różnych
geometriach.
Wykaz literatury podstawowej
1.
H. S. M. Coxeter, Wstęp do geometrii dawnej i nowej, PWN, Warszawa 1967.
2. R. Hartshorne, Geometry: Euclid and beyond, Springer, New York, 2000.
3. M. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall Inc. Englewood Cliffs,
New Jersey, 1976.
Wykaz literatury uzupełniającej
1. K. Borsuk, Geometria analityczna wielowymiarowa, PWN, Warszawa 1976.
2. M. Bryński, M. Włodarski, Konstrukcje geometryczne, WSiP, Warszawa 1979.
3. J. Gancarzewicz, B. Opozda, Wstęp do geometrii różniczkowej, Wydawnictwo UJ, Kraków 2003.
4. B. Gdowski, Elementy geometrii różniczkowej z zadaniami, Oficyna Wydawnicza Politechniki
Warszawskiej, Warszawa 1999.
5. A. Goetz, Geometria różniczkowa, PWN, Warszawa 1982.
6. Z. Krygowska, Konstrukcje geometryczne na płaszczyźnie, PWN, Warszawa 1958.
7. F. Leja, Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1970.
8. M. Małek, Geometria, Zbiór zadań, GWO, Gdańsk 1994.
9. S. Przybyło, A. Szlachtowski, Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zadaniach, WNT,
3
Warszawa 1993.
10. S. W. Bachwałow, P. S. Modenow, A. S. Parchomienko, Zbór zadań z geometrii analitycznej, PWN,
Warszawa 1961.
11. M. Stark, Geometria analityczna ze wstępem do geometrii wielowymiarowej, PWN, Warszawa, 1972.
12. P. Kajetanowicz, J. Wierzejewski, Algebra z geometrią analityczną, PWN, e-wydanie, Warszawa
2010.
13. M. Kordos, O różnych geometriach, Wydawnictwo "Alfa", Warszawa 1987.
14. J. Oprea, Geometria różniczkowa i jej zastosowania, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.
15. B. Opozda, M. Downarowicz, D. Kwietniak, Algebra liniowa z geometrią, MiMUW, Warszawa 2006.
Bilans godzinowy zgodny z CNPS (Całkowity Nakład Pracy Studenta)
Ilość godzin w kontakcie z
prowadzącymi
Ilość godzin pracy studenta
bez kontaktu z prowadzącymi
Wykład
30
Konwersatorium (ćwiczenia, laboratorium itd.)
35
Pozostałe godziny kontaktu studenta z prowadzącym
15
Lektura w ramach przygotowania do zajęć, rozwiązywanie
zadań domowych
15
Przygotowanie krótkiej pracy pisemnej lub referatu po
zapoznaniu się z niezbędną literaturą przedmiotu
15
Przygotowanie projektu lub prezentacji na podany temat (praca
20
w grupie)
Przygotowanie do egzaminu
Ogółem bilans czasu pracy
Ilość punktów ECTS w zależności od przyjętego przelicznika
15
145
5
4