1 Egzamin z automatów – spis zagadnień by Lucas 0) Wprowadzenie

Egzamin z automatów – spis zagadnień by Lucas
0) Wprowadzenie
- składnia
- notacja BN
- antynomia Grelinga
- słowa: autosemantyczne, heterosemantyczne
1-1) Zbiory
- konstruktor zbioru
- zawieranie się zbiorów
- równość zbiorów
- podzbiór właściwy
- operacje na zbiorach: suma, iloczyn, różnica
- zbiór potęgowy nad A
- moc zbioru
- iloczyn kartezjański
1-2) Relacje
- Określenie relacji
- Własności relacji
- Relacje równoważności, klasy równoważności
- Relacje porządkujące: częściowego, liniowego porządku
- Domknięcia relacji:
- k-ty stopień domknięcia,
- domknięcia: przechodnie, zwrotne i przechodnie,
- niektóre zależności,
- twierdzenie
- Macierze boolowskie relacji
- Algorytm obliczania domknięcia przechodniego
1-3) Łańcuchy
- Symbol
- Alfabet
- Łańcuch
- Konkatencja łańcuchów (+ własności)
- Rewers łańcucha, palindrom
- notacja "potęgowa"
- Długość łańcucha
- złożenie alfabetów
- złożenie zbiorów łańcuchów (+ własności)
- zbiór wszystkich łańcuchów nad alfabetem
1-4) Grafy
- Graf zorientowany
- Funkcje etykietujące
- ścieżka
- Cykl
- graf acykliczny
- drzewo
- cięcie w drzewie
- korona drzewa
- korona cięcia drzewa
1
1-5) Relacje prawostronnie niezmiennicze
- Relacja prawostronnie niezmiennicza
- Relacja indukowana przez język (dowód jej prawostronnej niezmienniczości)
- Definicja relacji równoważności o indeksie skończonym
2-1) Języki
- Definicja języka
- Operacje na językach (w tym domknięcie Kleene'ego)
- homomorfizm (symboli, łańcuchów)
- przeciwobraz homomorficzny
- Iloraz języków
- Przedrostki, przyrostki
- Własność przedrostkowa, przyrostkwa
- Uporządkowanie leksykograficzne
2-2) Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky'ego
- Gramatyka
- Wyprowadzalność
- Język generowany przez gramatykę
- Forma zdaniowa
- Hierarchia Chomsky'ego: klasy 0,1,2,3
3-1) Rozbiór gramatyczny
- Gramatyki rekursywne
- Frazy, fraza prosta, osnowa
- Wyprowadzenia lewostronne i prawostronne, wyprowadzalność bezpośrednia
3-2) Drzewa rozbioru
- Drzewo rozbioru syntaktycznego
- Różne wnioski dla wyprowadzeń, drzew wyprowadzeń, w tym:
- równoważność wyprowadzeń
- niejednoznaczność słowa w gramatyce
- gramatyka niejednoznaczna/jednoznaczna
3-3) Algorytmy parsingu
- Problem rozbioru gramatycznego
- metoda "top-down"
- metoda "bottom-up"
3-4) Przekształcenia gramatyk bezkontekstowych
- symbol nieużyteczny
- symbol nieosiągalny
- gramatyka bez e-produkcji
- Twierdzenie 3.4.1: o przekształcaniu gramatyki do postaci równoważnej
- Algorytm usuwania symboli nieosiągalnych
- Algorytm usuwania symboli nieużytecznych
- Algorytm usuwania e-produkcji
- Usuwanie produkcji łańcuchowych i cykli
- Twierdzenie 3.4.2: też o przekształcaniu gramatyki do postaci równoważnej ;)
- Algorytm usuwania produkcji łańcuchowych i cykli
- Gramatyka prawidłowa
- Gramatyka lewostronnie rekursywna
- Twierdzenie o sposobie usuwania lewostronnej rekursji (bezpośredniej)
- Twierdzenie o sposobie usuwania lewostronnej rekursji (bezpośredniej i pośredniej)
- Algorytm usuwania lewostronnej rekursji (dwa warianty)
2
3-5) Automat ze stosem
- definicja automatu ze stosem
- konfiguracje: początkowa, końcowa
- wyprowadzenia bezpośrednie, pośrednie w automacie
- kiedy słowo/język jest akceptowany przez automat
- twierdzenie o automacie ze stosem i gramatyce bezkontekstowej
- odbicie zwierciadlane
- automat niedeterministyczny/deterministyczny
- automat odtwarzający wywód lewostronny
- automat odtwarzający wywód prawowstronny
- twierdzenie o klasach automatów deterministycznych i niedeterministycznych
3-6) Właściwości języków bezkontekstowych
- Twierdzenie 3.6.1 - postać normalna Chomsky'ego
- Algorytm przekształcania gramatyki bezkontekstowej do postaci normalej Chomsky'ego
- Postać normalna Greibacha
- Algorytm przekształcania gramatyki bezkontekstowej do postaci Greibacha
- warunek konieczny bezkontekstowości języka, szkic dowodu
- Lemat Ogdena
- Własności zamkniętości języków bezkontekstowych ze względu na podstawienia (def,
twierdzenie, dowód)
- zamkniętość ze względu na sumę teoriomnogościową, złożenie, oraz domknięcie
Kleene'ego
- zamkniętość ze względu na homomorfizmy
- zamkniętość ze względu na przeciwobrazy homomorficzne
- ze względu na co języki bezkontekstowe nie są zamknięte
- Algorytm Cocke'a-Youngera-Kasamiego
4-1) Zbiory regularne, wyrażenia regularne
- Zbiór regularny
- Wyrażenie regularne
- własności wyrażeń regularnych (18 własności)
4-2) Automat skończony
- definicja automatu skończonego
- konfiguracje: początkowa, końcowa
- wyprowadzenia pośrednie, bezpośrednie w automacie
- konfiguracja blokująca
- słowo akceptowalne przez automat
- język akceptowalny przez automat
- własności automatu skończonego, deterministyczny automat Rabina-Scotta
4-3) Przekształcenia automatów skończonych
- algorytm Thompsona (konstrukcja automatu skończonego niedeterministycznego na
podstawie wyrażenia regul.)
- konstrukcja automatu deterministycznego na podstawie automatu niedeterministycznego
- uzupełnienie automatu skończonego
- redukcja automatu skończonego, kiedy automat jest zredukowany, stany: nierozróżnialne,
k-nierozróżnialne
- stan nieosiągalny, usuwanie stanów nieosiągalnych
- łączenie stanów nierozróżnialnych
- twierdzenie o równoważności relacji nierozróżnialności
3
4-4) Własności języków regularnych
- lemat o pompowaniu języków regularnych
- twierdzenie o warunku niepustości automatu skończonego
- twierdzenie o warunku nieskończoności automatu skończonego
- twierdzenie o zamkniętości języków regularnych ze względnu na:
- sumę,
- złożenie,
- domknięcie Kleene'go,
- operację dopełnienia, homomorfizmu
- iloczyn,
- przeciwobrazy homomorficzne
- ilorazy (dzielenie przez dowolne zbiory)
- definicja domknięcia funkcji przejścia automatu skończonego (niedeterministycznego, z eruchami)
- Twierdzenie Myhilla-Nerode'a
4-5) Deterministyczne i zupełne automaty Moore'a i Mealy'ego
- automat deterministyczny i zupełny Moore'a
- automat deterministyczny i zupełny Mealy'ego
- przekształcenie Moore -> Mealy
- przekształcenie Mealy -> Moore
- przekształcenie Moore <-> Rabina-Scotta
4-6) Gramatyki Regularne
- Gramatyka lewostronnie/prawostronnie liniowa
- Gramatyka lewostronnie/prawostronnie regularna
- algorytm przekształcania gramatyki prawostronnie liniowej w prawostronnie regularną
- algorytm przekształcania gramatyki lewostronnie liniowej w lewostronnie regularną
- usuwanie reguł końcowych
- usuwanie symboli nieosiągalnych
- usuwanie symboli nieużytecznych
- ścieżka, ścieżka końcowa, ścieżka wyznaczona przez słowo
- tw. o regularności języka generowanego przez gramatykę prawostronnie regularną
- usuwanie symbolu początkowego z prawych stron produkcji
- warunek konieczny regularności języka
5) Automat liniowo ograniczony i języki kontekstowe
- definicja automatu liniowo ograniczonego
- twierdzenie o klasie języków akceptowanej przez automat liniowo ograniczony
6) Maszyna Turinga
- definicja
- obliczalność funkcji w sensie Turinga
- funkcje rekurencyjne, pierwotnie rekurencyjne
- zbiór rekurencyjny, przeliczalnie rekurencyjny
- numeracja Godla
- akceptowalność języka przez maszynę Turinga
- zamkniętość klasy zbiorów rekurencyjnych ze względu na: sumę, przecięcie, uzupełnienie
- zamkniętość klasy zbiorów rekurencyjnie przeliczalnych ze względu na sumę, przecięcie
7) Rozstrzygalne i nierozstrzygalne problemy lingwistyki
- problem rozstrzygalności przynależności słowa do gramatyki
- twierdzenie o istnieniu języka rekurencyjnie przeliczalnego dla którego problem należenia
nierozstrzygalny
- o rozstrzygalności należenia dla języków kontekstowych
- podsumowanie
4