ANALIZA STABILNOŚCI PUNKTÓW RÓWNOWAGI NIELINIOWEJ

ELEKTRYKA
Zeszyt 3 (215)
2010
Rok LVI
Grzegorz KIEŁTYKA
Zespół Szkół Technicznych w Bytomiu
Janusz WALCZAK
Instytut Elektrotechniki i Informatyki, Politechnika Śląska w Gliwicach
ANALIZA STABILNOŚCI PUNKTÓW RÓWNOWAGI NIELINIOWEJ
PĘTLI SYNCHRONIZACJI FAZY CZWARTEGO RZĘDU
Streszczenie. Artykuł stanowi kontynuację artykułu [13] i [14]. Przeprowadzono
w nim analizę i podano warunki stabilności punktów równowagi analogowej, nieliniowej
pętli synchronizacji fazy. Pętla ta zawierała filtr dolnoprzepustowy o aproksymacji
Cauera trzeciego rzędu. Analizę stabilności modelu nieliniowego pętli PLL
przeprowadzono z wykorzystaniem pierwszej metody Lapunowa. Uzyskane wyniki
zilustrowano przykładem.
Słowa kluczowe: analiza stabilności, nieliniowa pętla synchronizacji fazy, metody Lapunowa
STABILITY ANALYSIS OF EQULIBRIUM POINTS OF NONLINEAR A
FOURTH ORDER PHASE-LOCKED LOOP
Summary. The paper presents continuation of work [13] and [14]. In the paper has
been made an analysis and was given conditions to the stability of equlibrium points of
nonlinear analog phase-locked loop. The PLL loop was cointained the third order Cauer
lowpass filter. The stability analysis of the loop has been done using the first Lyapunov
method. Presented results were illustrated by example.
Keywords: stability analysis, nonlinear phase-locked loop, Lyapunov methods
1. WSTĘP
W artykule przedstawiono analizę stabilności nieliniowej, analogowej pętli
synchronizacji fazy czwartego rzędu z filtrem o aproksymacji Cauera przy uŜyciu pierwszej
metody Lapunowa. Artykuł stanowi kontynuację prac [13], [14], w której badano stabilność
pętli z filtrem o aproksymacji Butterwortha i Czebyszewa.
94
G. Kiełtyka, J. Walczak
2. MODEL PĘTLI
Pętla PLL (ang. Phase Locked-Loop) składa się z: detektora fazy PD, filtru
dolnoprzepustowego LF o transmitancji F(s) oraz generatora przestrajanego napięciem VCO,
połączonych w pętlę sprzęŜenia zwrotnego. Jest ona układem silnie nieliniowym, której
nieliniowość wynika z typu zastosowanego detektora fazy [2], [4], [5]. W przypadku pętli
analogowej najczęściej wykorzystywanym typem detektora fazy jest układ mnoŜący, który
prowadzi do nieliniowości typu sinusoidalnego [1], [2], [9], [10]. Na rysunku 1a
przedstawiono schemat blokowy pętli, a na rysunku 1b nieliniowy model pętli PLL.
a)
b)
Rys. 1. Nieliniowy model pętli PLL: a) schemat blokowy, b) model nieliniowy
Fig.1. Nonlinear model PLL loop: a) block scheme, b) nonlinear model
Zakłada się, Ŝe sygnały wejściowy oraz wyjściowy pętli są postaci o (1):
us (t ) = U ssin (ωst ),
ug (t ) = U g cos (ϕg (t )),
(1)
gdzie:
Us, Ug – amplitudy sygnału wejściowego i wyjściowego,
ωs – pulsacja sygnału wejściowego,
ϕg(t) – faza chwilowa sygnału wyjściowego,
a generator VCO jest opisany następującym równaniem:
d ϕ g (t )
dt
 k g u f (t ) 
,
= ω o 1 +
ω o 

gdzie:
ωo – pulsacja spoczynkowa generatora VCO,
kg – wzmocnienie generatora VCO,
uf(t) – napięcie sterujące generatorem VCO.
(2)
Analiza stabilności punktów…
95
Filtr dolnoprzepustowy Cauera o pulsacji granicznej ωg oraz o współczynniku falowania
w paśmie podstawowym αs=0,1 dB i zabronionym αp=1 dB jest opisany następującą
transmitancją Laplace’a:
2
 s 
3,3299  + 3,7261
ω 
U (s)
 g
F (s) = f
,
=k
3
2
U d ( s)
 s 
 s 
  + 3,4266  + 1,2644 s + 3,7261
ω 
ω 
ωg
 g
 g
(3)
gdzie:
ωg – pulsacja graniczna filtru dolnoprzepustowego,
k – wzmocnienie filtru dolnoprzepustowego.
Wprowadzając zmienne pomocnicze:
uf = kUx ⇒
duf
dx
= kU ,
dt
dt
dx
d 2 x dy dy
dz d 2 y d 3 x
= y⇒ 2 = ,
=z⇒
=
=
,
dt
dt
dt dt
dt dt 2 dt 3
ϕ = ϕg − ωst , τ = ωst , ϑ = kωsT , U =
kiU sU g
2
,
ω −ω
ρ = , σ = k UωoT , κ = o s ,
ωo
kUωo
kg
(4)
(5)
2
gdzie:
ki – stała układu mnoŜącego,
otrzymuje się równania róŜniczkowe pętli, które po zastosowaniu metody uśredniania stają się
równaniami autonomicznymi [6], [12]:
− ωg3 (3,4266ωg−2 z − ξωg−2sinϕ + 3,7261x + 1,2644ωg−1 y)
z


σωs

(ρx + κ )
d ϕ  1 
x  = 
ϑ
.
dτ   ωs 

y
 y 


z


(6)
ξ = 3,3299ω s2 − 3,7261ω g2 .
(7)
gdzie:
3. ANALIZA STABILNOŚCI PĘTLI
Metoda pośrednia badania stabilności układu nieliniowego polega na wyznaczeniu
punktu lub punktów równowagi układu i sprawdzeniu, czy są one stabilne [3], [6], [12].
96
G. Kiełtyka, J. Walczak
Wyznaczenie punktów równowagi układu polega na przyrównaniu do zera lewych stron
równań stanu układu (6) i rozwiązaniu tak uzyskanego układu równań, aby otrzymać punkty
równowagi dla ϕ∈(-π,π) oraz dla:
(3,3299ω
0≤κ/ρ <
2
s
− 3,7261ωg2
3,7261ω

(z o ;ϕ o1 ; xo ; yo ) =  0;−arc sin
2
g
) = f (ω ,ω )
3,7261ω g2κ
(
s
g
)
;−
(8)
κ 
;0 ,
ρ 
3,3299ω − 3,7261ω ρ


3,7261ω g2κ
κ 
(z o ;ϕ o 2 ; xo ; yo ) =  0;−π + arc sin
;− ;0 .
2
2
3,3299ω s − 3,7261ω g ρ ρ 

2
s
2
g
(
(9)
)
PoniŜej na rysunku 2 przedstawiono połoŜenie punktów równowagi układu.
1
-κ/ρ
z
0.5
0
(z o,φ o2,x o,yo)
-0.5
(z o, φ o1,x o,y o)
-1
10
5
2
1
0
0
-5
-1
-10
φ
-2
x
Rys. 2. PołoŜenie punktów równowagi układu (7) dla y=0
Fig. 2.The location of equlibrium points of system of equation (7) for y=0
Macierz Jacobiego układu równań (6) ma następującą postać:

− 3,4266ω
g

1 
Jo =

0
ωs 

0

1

± ξω g
 1,9538ω g2κ 

1− 


ξρ


0
0
0
2
− 3,7261ω
σρ
ω
ϑ s
0
0
3
g

− 1,2644ω 


,
0


1

0

2
g
(10)
Analiza stabilności punktów…
97
gdzie:
ξ = 3,3299ωs2 − 3,7261ωg2 .
Uzyskane
punkty
równowagi
będą
stabilne,
(11)
jeŜeli
pierwiastki
λ
równania
charakterystycznego (wartości własne) macierzy Jacobiego Jo (10) w badanych punktach
równowagi (zo;ϕo1;xo;yo) będą miały ujemne części rzeczywiste [4], [6], [11]:
det{J o ( zo , ϕ o1,2 , xo , yo ) − λE } = 0.
(12)
Równanie charakterystyczne macierzy Jacobiego (10) [4], [6], [7] i [8]:

− 3,4266ωg

ωs


0

det

0



1



ωs
 1,9538ωg2κ 
ωg

±ξ
1− 


ωs
ξρ


0
2
1
0
0
ωs
0
0
0
ω3
ω2
ωg 3
λ + 1,2644 g2 λ2 + 3,7261 g3 λ m
ωs
ωs
ωs
⇒ λ4 + 3,4266








0 0 1 0


0 0 0 1



ωg3
ωg2 

− 3,7261
− 1,2644


ωs
ωs
 1 0 0 0
σρ
 0 1 0 0
0
 = 0 ⇒
 − λ
ϑ
 3,7261ωg2κ 

σρωgξ 1 − 

ξρ


ϑωs3
2
= 0.
(13)
Równanie (13) naleŜy rozumieć w ten sposób, Ŝe znak minus we wzorze (13) dotyczy
punktu (zo;ϕo1;xo;yo), a znak plus punktu (zo;ϕo2;xo;yo).
Punkt równowagi (zo;ϕo1;xo;yo) jest niestabilny, gdyŜ jeden ze współczynników
wielomianu charakterystycznego (13) jest ujemny. Warunek konieczny stabilności dla punktu
(zo;ϕo2;xo;yo) jest spełniony, gdy:
2
 3,7261ωg2κ 
σρξωg
 > 0.
ωg > 0,
1− 


ϑωs3
ξρ


(14)
Stąd wynika zaleŜność:
2
 3,7261ωg2κ 
3,7261ω g2κ
σρω gξ


1−
>0⇒
< 1.


ϑωs3
ξρ
ξρ


(15)
98
G. Kiełtyka, J. Walczak
Pierwiastki równania (13) moŜna znaleźć korzystając ze wzorów Ferrari. Dla tego typu
równania istnieją cztery pierwiastki. Pierwiastki te mają postać:
λ1, 2,3, 4 = −0,8567
2
ωg
1
C
6
8
3
3
±
±
[
6
,
28
⋅
10
E
−
5
⋅
10
C
B
+ 6 ⋅108 D + 1,84 ⋅1032 Cωg4ϑ 2 −
ω s 6 ⋅10 4 ω s ω s
1
1
− 5,93 ⋅1013 ωg3ϑB 3 ](ϑB 3 C ),
(16)
gdzie:
(1⋅10 ξρ − 3,72⋅10 ω κ )(1⋅10 ξρ + 3,72⋅10 ω κ ) ,
4
A=
4
2
g
4
4
2
g
ξ 2ρ2
3
B = −2ωg (5,65⋅109 ωg2ξ Aσρωs − 5,84⋅1013ωg5ϑ − 3 ⋅ 3(ωg (1,6 ⋅1013ξ 3 A2σ 3 ρ 3ωs3 + 2,65⋅1026σ 2ωs2ωg3ϑξ 2 ρ 2 −
1
− 3,68⋅1027σ 2ωs2ωg7ϑκ 2 + 2,05⋅1022ξ Aσωsωg6ϑ 2 ρ + 5,84⋅1026ωg9ϑ 3 ) / ϑ) 2 )ϑ 2 ,
1
2
1
C = −(−1,88⋅109 ωg2ϑB 3 − 3 ⋅104 ⋅ B 3 + 3,6 ⋅109 ωgϑξ Aσρωs + 1,1⋅1014ωg4ϑ 2 ) /(ϑB 3 ),
D = Cωgϑξ Aσρωs ,
1
E = B 3ωg2ϑ C.
(17)
Pełną klasyfikację punktów osobliwych równań róŜniczkowych n-tego rzędu
przedstawiono w pracy [8]. Z analizy zamieszczonych w pracy [8] warunków stabilności,
w odniesieniu do wyznaczonych wartości własnych (16), wynikają następujące wnioski:
1. Dla wyznaczonych pierwiastków równania (13) istnieją cztery typy punktów równowagi
(9): uogólniony węzeł, uogólnione ognisko, uogólnione siodło i siodło złoŜone.
2. JeŜeli spośród wyznaczonych pierwiastków wszystkie części rzeczywiste pierwiastków
mają ten sam znak, wówczas otrzymany punkt równowagi jest uogólnionym węzłem.
Węzeł ten jest stabilny dla ujemnych wartości części rzeczywistych pierwiastków
i niestabilny dla wartości dodatnich.
3. JeŜeli spośród wyznaczonych pierwiastków części rzeczywiste pierwiastków mają róŜne
znaki, wówczas otrzymany punkt równowagi jest uogólnionym siodłem.
4. JeŜeli spośród wyznaczonych pierwiastków przynajmniej jeden jest pierwiastkiem czysto
urojonym (część rzeczywista równa zero), a pozostałe pierwiastki mają części rzeczywiste
tego samego znaku, wówczas otrzymany punkt równowagi jest uogólnionym ogniskiem
(jeŜeli pierwiastki posiadające część rzeczywistą równą zeru mają proste, elementarne
dzielniki pierwszego stopnia) lub uogólnionym siodłem, jeŜeli pierwiastki posiadające
część rzeczywistą równą zeru mają dzielniki stopnia wyŜszego niŜ pierwszy.
Analiza stabilności punktów…
99
5. JeŜeli spośród wyznaczonych pierwiastków przynajmniej jeden jest pierwiastkiem czysto
urojonym, a pozostałe pierwiastki mają części rzeczywiste róŜnych znaków, wówczas
otrzymany punkt równowagi jest siodłem złoŜonym.
Ze wzorów (16) i (17) wynika, Ŝe znaki pierwiastków równania charakterystycznego
zaleŜą w sposób silnie uwikłany od parametrów: σ, ρ, ωs, ωg, υ, κ
pętli PLL. Efektywne
określenie znaków tych pierwiastków jest moŜliwe metodami numerycznymi.
4. PRZYKŁAD
Dla rozwaŜanej pętli czwartego rzędu przy uwzględnieniu warunków (8) i (15) przyjęto
następujące wartości:
U s = 2 V, ω s = 1,2 Hz, U g = 1 V, ω o = 1,3333 Hz, k i = 1,
k g = 1,3333
1
, k = 1, T = 0,8333 s, ω g = 1,5 Hz.
V
Obliczone wartości parametrów κ, ρ, σ, υ, U wynoszą:
ρ = ϑ = 1; σ = 1,111; κ = 0,1; U = 1.
(18)
Obliczone wartości spełniają warunki (8) i (15), poniewaŜ:
ω g = 1,5 > 0,
3,7261ω g2κ
ξρ
= 0,243 < 1.
ϕ ∈ (− π, π ).
Dla wyliczonych parametrów równania pętli (6) przyjmują postać:
 − 3,375 (1,5229 z + 1,5329 sin ϕ + 3,7261 x + 0,8429 y ) 
z
ϕ




1,3332 ( x + 0,1)
d
.
 x  = 0,8333 
y
dτ  




 y 
z
(19)
Punkty równowagi równania (19) dla ϕ∈(-π,π):
(z o ;ϕ o1 ; xo ; yo ) = (0;0,2358π,−0,1;0),
(z o ;ϕ o 2 ; xo ; yo ) = (0;−1,2358π;−0,1;0).
(20)
100
G. Kiełtyka, J. Walczak
Równanie charakterystyczne układu równań stanu (19):
λ4 + 4,2832λ3 + 1,9756λ2 + 7,2775λ m 3,3655 = 0.
(21)
Pierwiastki tego równania charakterystycznego mają postać:
λ1, 2 = 0 ,1830 ± j1, 2984 ,
λ 3 = − 0 , 4682 ,
λ 4 = − 4 ,1810 dla ( z 0 ; ϕ 01 ; x 0 ; y 0 ),
λ1, 2 = − 0 , 2025 ± j1, 4167 ,
λ 3 = 0 ,3854
λ 4 = − 4 , 2636
dla
(22)
( z 0 ; ϕ 02 ; x 0 ; y 0 ).
W przypadku wyznaczonych punktów równowagi (zo;ϕo1;xo;yo) i (zo;ϕo1;xo;yo) pierwiastki
równania charakterystycznego (21) mają części rzeczywiste róŜnych znaków, a zatem punkty
te są uogólnionym siodłem [8].
5. PODSUMOWANIE
Metody Lapunowa są efektywnym narzędziem badania stabilności układów nieliniowych
układów dynamicznych. W artykule wykorzystano pierwszą metodę Lapunowa do badania
stabilności punktów równowagi pętli PLL czwartego rzędu z filtrem Cauera. W dalszych
pracach zostanie rozpatrzona analiza stabilności omawianej w artykule pętli PLL z wykorzystaniem drugiej metody Lagunowa, a takŜe analiza stabilności pętli wyŜszych rzędów.
BIBLIOGRAFIA
1. Abramovitch D.Y.: Analysis and design of a third order phase-lock loop. Military Comm.
Conf., MILCOM 88, New York 1988. Vol. 2, 23-26 Oct., p. 55 – 459.
2. Best R.: Phase-locked loops. McGraw Hill, New York 1984.
3. Gutowski R.: Ordinary differential equations. WNT, Warszawa 1971(in Polish).
4. Hayashi C.: Nonlinear oscillations in physical systems. McGraw-Hill 1964 (in Polish).
5. JeŜewski M., Szkudliński W.: Synchronized generators and its applications. WNT,
Warszawa 1981 (in Polish).
6. Kudrewicz J.: Dynamic of the phase loop. WNT, Warszawa, 1991 (in Polish).
7. Minorski N.: Nonlinear oscillations. PWN, Warszawa 1967 (in Polish).
8. Nemycki W.W., Stiepanow W.W.: Qualitative theory of differential equations. Moskwa
1947 (in Russian).
Analiza stabilności punktów…
101
9. Shakhguildyan V.V., Sviridenko S.S.: Phase synchronization system study. “IEEE Trans.
on Comm.” 1982, Vol. COM-30, No. 10, p. 2260–2263.
10. Stensby J. L.: Phase locked loops. Theory and applications. CRC Press, New York 1997.
11. La Salle J., Lefschetz S.: Stability by Liapunov’s direct method with applications. PWN,
Warszawa 1966 (in Polish).
12. Struble R.A.: Nonlinear differential equations. PWN, Warszawa 1965 (in Polish).
13. Walczak J., Kiełtyka G.: Asymptotical stability analysis of nonlinear third PLL with
Butterworth lowpass filter. Materiały XIV ZKwE, Poznań 2010, p. 55 – 56.
14. Kiełtyka G., Walczak J.: Stability analysis of nonlinear fourth order phase-locked loop
with Tschebyshev lowpass filter. Materiały XXXIII IC-SPETO, Ustroń 2010, p. 43 – 44.
Recenzent: Prof. dr hab. inŜ. Wojciech Mitkowski
Wpłynęło do Redakcji dnia 19 października 2010 r.
Abstract
Phase-locked loop plays a significant role in electronics, telecommunication and
automation. It is generally applicable to analog and digital modulation and demodulation
systems [5], [10]. The simplest block scheme of analog phase-locked loop consists of: the
phase detector PD, the lowpass filter LF and the voltage control oscillator VCO (Fig.1). The
PLL loop is a strongly nonlinear system and this nonlinearities comes from the type of the
used phase detector [2], [5], [10]. In the analog loop mostly used type of the phase detector is
the multiplier, which leads to nonlinearities of the sinusoidal type [6].
Many publications has been devoted to its analysis, and the majority fit concerns models
of linear loops in the locked state [5] and besides, publications concerning nonlinear loop
analysis usually deals with first and second order loops [5], [10]. Such models are useful in
practice and they are very simplified but they provide no information about the behavior of
the PLL loop in the unlocked state. The analysis of nonlinear phase-locked loop [6] gives
such a information but it is very hard.
In the paper the stability analysis of nonlinear fourth order analog phase-locked loop with
Cauer lowpass filter is presented. Presented stability analysis of the analog PLL loop consist
of several stages. First of all, a derivation of nonlinear nonautonomous differential equation of
the PLL has been done and taking advantage of the averaging method, a corresponding fourth
order autonomous equation has been derived. Further analysis concerned the average equation
(6). Next, the analysis of the nonlinear PLL using the first Lyapunov method has been
performed. The analysis has made possible to evaluate equlibrium points of the system of
equations (6) and determine the conditions of their stability (8) and (15). The paper presents
continuation of work [13] and [14], in which the stability analysis of the nonlinear loop with
102
G. Kiełtyka, J. Walczak
Butterworth and Tschebyshev lowpass filter has been carried out. In the future, the presented
method will be used in stability analysis using the second Lyapunov method and of the
highest order PLL loops.