Liczby naturalne - Sklep WSiP

Autorzy: Helena Lewicka, Marianna Kowalczyk
W podręczniku wykorzystano materiały z publikacji Matematyka wokół nas. Podręcznik.
Klasa 5 autorstwa Heleny Lewickiej i Elżbiety Rosłon, WSiP, Warszawa 2000.
Podręcznik dopuszczony do użytku szkolnego przez ministra właściwego do spraw oświaty
i wychowania i wpisany do wykazu podręczników przeznaczonych do kształcenia ogólnego
do nauczania matematyki, na podstawie opinii rzeczoznawców: dr Marii Borowskiej,
prof. dr. hab. Tadeusza Stanisza, dr Ewy Ogłozy.
Etap edukacyjny: II
Typ szkoły: szkoła podstawowa
Rok dopuszczenia: 2013
Numer ewidencyjny w wykazie:
275/2/e/2013 (dla elektronicznej formy podręcznika)
© Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o.
Warszawa 2013
Wydanie I
ISBN 978-83-02-13900-0
Konsultacja merytoryczno-dydaktyczna: dr Agnieszka Demby
Opracowanie merytoryczne i redakcyjne: Maria Cieńska (redaktor cyklu, redaktor
merytoryczny), Jadwiga H. Odrzywołek (redaktor merytoryczny)
Redakcja językowa: Mirella Hess-Remuszko
Redakcja techniczna: Janina Soboń
Projekt okładki i strony tytułowej: zespół grafików WSiP
Projekt graficzny: Eliza Goszczyńska
Opracowanie graficzne: Eliza Goszczyńska, Joanna Plakiewicz (redaktor graficzny)
Skład i łamanie: Shift_ENTER
Zalecane wymagania systemowe i sprzętowe
Podręcznik elektroniczny w formacie PDF otwierany na komputerach PC i MAC wymaga
zainstalowania bezpłatnego programu Adobe Reader (http://get.adobe.com/reader/);
otwierany na tabletach i telefonach z systemem Apple iOS wymaga zainstalowania
bezpłatnego programu iBooks (do pobrania ze sklepu App Store); otwierany na tabletach
i telefonach z systemem Android wymaga zainstalowania bezpłatnego programu Adobe
Reader (do pobrania z Google Play).
Pomoc techniczna: [email protected]
Materiały, do których masz dostęp, nie mogą być rozpowszechniane publicznie, nie mogą
być przedmiotem dalszego obrotu. Rozporządzanie ich opracowaniem wymaga uzyskania
zgody.
Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne spółka z ograniczoną odpowiedzialnością
00-807 Warszawa, Aleje Jerozolimskie 96
Tel.: 22 576 25 00
Infolinia: 801 220 555
www.wsip.pl
Publikacja, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im
przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym.
Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz,
czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.
Szanujmy cudzą własność i prawo.
Więcej na www.legalnakultura.pl
Polska Izba Książki
Spis treści
Liczby naturalne
Wakacje, wakacje... i po wakacjach ..............................................
Systemy zapisywania liczb .............................................................
Rachunek pamięciowy ....................................................................
Dodawanie i mnożenie ...................................................................
Odejmowanie i dzielenie ................................................................
Kolejność wykonywania działań .....................................................
Rachunek pisemny .........................................................................
Dodawanie i odejmowanie .............................................................
Mnożenie i dzielenie .......................................................................
Podzielność liczb ............................................................................
Zaokrąglanie liczb ...........................................................................
Zadania utrwalające ........................................................................
Sprawdź siebie ................................................................................
7
11
16
16
21
27
31
31
35
40
43
47
48
Figury geometryczne
Punkt, prosta, półprosta, odcinek ..................................................
Rozpoznawanie kątów ....................................................................
Kąty przyległe i kąty wierzchołkowe ...............................................
Symetria w otoczeniu człowieka .....................................................
Zadania utrwalające ........................................................................
Sprawdź siebie ................................................................................
50
55
60
63
67
68
Ułamki zwykłe
Ułamki zwykłe ................................................................................. 70
Rozszerzanie i skracanie ułamków ................................................. 73
Porównywanie ułamków ................................................................. 76
Dodawanie i odejmowanie ułamków o jednakowych
mianownikach ................................................................................. 79
Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach .... 82
Mnożenie ułamków ......................................................................... 87
Obliczanie ułamka danej liczby ...................................................... 90
Dzielenie ułamków .......................................................................... 93
Działania na ułamkach ................................................................... 98
Zadania utrwalające ........................................................................ 101
Sprawdź siebie ................................................................................ 103
Wielokąty
Własności wielokątów .....................................................................
Obwód wielokąta ............................................................................
Figury w skali ..................................................................................
Zadania utrwalające ........................................................................
Sprawdź siebie ................................................................................
104
110
114
118
119
Wyrażenia algebraiczne
Rozpoznawanie i zapisywanie wyrażeń algebraicznych ................
Obliczanie wartości wyrażeń algebraicznych .................................
Rozwiązywanie równań ...................................................................
Zadania utrwalające ........................................................................
Sprawdź siebie ................................................................................
120
126
129
135
137
Trójkąty
Trójkąt różnoboczny .......................................................................
Trójkąt równoramieny .....................................................................
Trójkąt równoboczny .......................................................................
Podział trójkątów ze względu na kąty i boki ...................................
Wysokości trójkątów .......................................................................
Zadania o trójkątach .......................................................................
Zadania utrwalające ........................................................................
Sprawdź siebie ................................................................................
138
141
144
146
149
153
157
158
Ułamki dziesiętne
Ułamki o mianowniku 10, 100, 1000 ... ..........................................
Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych ........................
Mnożenie i dzielenie ułamków dziesiętnych przez 10, 100, 1000 ...
Mnożenie ułamków dziesiętnych ....................................................
Dzielenie ułamków dziesiętnych .....................................................
Zadania utrwalające ........................................................................
Sprawdź siebie ................................................................................
160
163
166
169
173
178
180
Czworokąty
Prostokąt .........................................................................................
Równoległobok ...............................................................................
Trapez ..............................................................................................
Klasyfikacja czworokątów – zadania ..............................................
Zadania utrwalające ........................................................................
Sprawdź siebie ................................................................................
181
184
190
194
197
199
Liczby całkowite
Liczby ujemne .................................................................................
Dodawanie liczb całkowitych ..........................................................
Odejmowanie liczb całkowitych .....................................................
Zadania utrwalające ........................................................................
Sprawdź siebie ................................................................................
201
206
210
215
216
Pola figur płaskich
Pole prostokąta i kwadratu .............................................................
Pole równoległoboku i rombu ........................................................
Pole trójkąta ....................................................................................
Pole trapezu ....................................................................................
Zadania utrwalające ........................................................................
Sprawdź siebie ................................................................................
217
221
225
228
231
232
Ułamki dziesiętne o mianowniku 100
Ułamek jako procent .......................................................................
Obliczanie procentu danej wielkości ..............................................
Diagramy procentowe ....................................................................
Zadania utrwalające ........................................................................
Sprawdź siebie ................................................................................
234
238
243
248
250
Graniastosłupy
Prostopadłościan ............................................................................
Graniastosłup prosty .......................................................................
Pole powierzchni graniastosłupa ....................................................
Objętość prostopadłościanu ..........................................................
Zadania utrwalające ........................................................................
Sprawdź siebie ................................................................................
251
254
259
263
269
271
Odpowiedzi do zadań ......................................................................
273
Do Ucznia
Chciałybyśmy, aby ten podręcznik ułatwił Ci poznawanie matematyki,
która jest częścią naszego codziennego życia. Matematyka pomoże Ci
poznać także inne dziedziny wiedzy, realizować własne zainteresowania
i pasje. Układ treści zawartych w podręczniku jest już Ci znany z klasy 4:
arytmetyka występuje tu na przemian z geometrią.
Pod hasłem:
Sowa przypomina
Sowa uczy
powtórzysz wiadomości i umiejętności poznane w klasie
czwartej.
poznasz nowe zagadnienia, które są rozwijane
w rozwiązanych Przykładach.
A to ciekawe!
znajdziesz interesujące wiadomości matematyczne.
Problem
zamieszczone tu zadania są trudniejsze i czasami
wymagają odmiennego spojrzenia. Są tu też zadania
nietypowe, na przykład mające więcej niż jedną
odpowiedź.
Czy umiesz? Sprawdź!
znajdziesz zadania, na podstawie których każdy sam
będzie mógł sprawdzić, czy opanował potrzebne
umiejętności z danego tematu.
Zadania w rozdziałach są ułożone kolejno od bardzo łatwych po coraz
trudniejsze. Staraj się jak najwięcej obliczeń do zadań wykonywać
w pamięci. Aby ułatwić Ci zrozumienie tekstu wszędzie tam, gdzie nie
prowadzi to do nieporozumień, opuściłyśmy słowo miara i długość,
używając zwrotów umownych, np. Odcinek jest równy 2 cm, bok ma 3 cm
lub kąt równy 30°.
W podręczniku znajdziesz m.in. zadania, w których jest za dużo danych.
Tylko jeden raz o tym informujemy. Potem każdy sam musi zdecydować,
które dane są potrzebne.
Jeżeli w zadaniu jest polecenie Uzupełnij..., Wpisz..., Podkreśl..., zadanie to
trzeba przepisać do zeszytu i rozwiązać.
Na końcu każdego rozdziału znajdziesz blok zadań zatytułowany
Zadania utrwalające
, a potem test wielokrotnego wyboru
Sprawdź siebie
Jeżeli rozwiążesz wszystkie zadania utrwalające, to znaczy, że dobrze
zrozumiesz wiadomości zawarte w tym rozdziale. Rozwiązując test, możesz
sprawdzić i ocenić swoją wiedzę.
Życzymy Ci jak najwięcej zapału do rozwiązywania problemów i wiele
zadowolenia z pokonywania trudności.
Autorki
Liczby naturalne
Wakacje, wakacje... i po wakacjach
Poniższe informacje, poznane w klasie czwartej, będą przydatne do
rozwiązywania zadań zawartych w tym podręczniku. Skorzystaj z nich,
gdy zaistnieje taka potrzeba.
Sowa przypomina
Miary czasu
1 godzina – 1 h, 1 minuta – 1 min
1 sekunda – 1 s
doba, kwadrans
Zegar wskazuje 20 minut
po godzinie 1 lub 13
1 h = 60 min
doba to 24 h
1 min = 60 s
kwadrans to 15 min
1 h = 3600 s
1 h to 4 kwadranse
Wskazania zegara można zapisać:
120 lub 1:20, lub 1.20, a po
południu: 1320 lub 13:20,
lub 13.20
Jednostki masy
1 tona – 1 t, 1 kwintal – 1 q
1 kilogram – 1 kg, 1 dekagram – 1 dag
1 gram – 1 g
1 t = 1000 kg
1 t = 10 q
1 q = 100 kg
1 kg = 100 dag
1 kg = 1000 g
1 dag = 10 g
Jednostki masy określa się też jako
jednostki wagi
Pieniądze
1 złoty – 1 zł, 1 grosz – 1 gr
1 zł = 100 gr
Są monety o nominałach: 1 gr, 2 gr, 5 gr,
10 gr, 20 gr, 50 gr, 1 zł, 2 zł, 5 zł
i banknoty o nominałach:
10 zł, 20 zł, 50 zł, 100 zł, 200 zł
7
Sowa uczy
Samochód przejechał 50 km w czasie 1 godziny. Podczas jazdy mógł
na chwilę zatrzymać się, jechać wolniej np. w korku, mógł jechać
też szybciej. Mówimy, że samochód jechał ze średnią prędkością
km .
50 kilometrów na godzinę, co w skrócie zapisujemy 50
h
km
Jeżeli samochód jechał przez 4 godziny ze średnią prędkością 50 h ,
to przejechał 200 km.
50 km
50 km
50 km
50 km
1 h
1 h
1 h
1 h
4 · 50 = 200
Przykład 1
Mateusz z rodzicami wyjechał samochodem
do dziadków o godzinie 6.00 rano. Podróż trwała
km
do godziny 9.00. Samochód jechał ze średnią prędkością 60 h .
Jaka jest odległość od domu Mateusza do domu jego dziadków?
Obliczmy czas jazdy: 9 – 6 = 3. Jazda trwała 3 godziny.
60 km
60 km
60 km
1h
1h
1h
Obliczmy drogę: 3 · 60 = 180
ODPOWIEDŹ. Odległość od domu Mateusza do domu jego dziadków to 180 km.
Przykład 2
Bartek i jego rodzice wyjechali samochodem z domu na wczasy
o godzinie 6.00. Do przejechania mieli 455 km. Po trzech godzinach
jazdy zatrzymali się na śniadanie i spacer po pięknym miasteczku.
Zajęło im to dwie godziny. O godzinie 15.00 zakończyli podróż.
Z jaką średnią prędkością jechał samochód?
Obliczmy, ile czasu Bartek jechał samochodem.
15 – 6 = 9 – Podróż na wczasy trwała 9 godzin.
9 – 2 = 7 – Jazda samochodem trwała 7 godzin.
Obliczmy, ile kilometrów przejeżdżał
samochód w czasie 1 godziny.
455 : 7 = (420 + 35) : 7 = 420 : 7 + 35 : 7 = 60 + 5 = 65
ODPOWIEDŹ. Samochód jechał ze średnią prędkością 65
8
km .
h
1
Wakacje Jurka rozpoczęły się 24 czerwca i zakończyły się 31 sierpnia.
Ile dni trwały wakacje?
2
Robert pojechał pociągiem do rodziny na wakacje. Pociąg jechał
km
przez 4 godziny ze średnią prędkością 60 h . Jak długą trasę pokonał
Robert pociągiem?
3
Młodzież wyjechała autokarem na obóz o godzinie 7.00.
Dojechali na miejsce o godzinie 12.00. Autokar jechał ze średnią
km
prędkością 55 h . Jak długą trasę pokonał autokar?
4
Hania pojechała z rodzicami i bratem na wakacje do Włoch.
km
Podróżowali samolotem, który leciał ze średnią prędkością 650 h .
Lot trwał 2 godziny, więc przelecieli:
A. 1950 km
5
B. 652 km
C. 1300 km
D. 650 km
Do samolotu można wziąć bagaż główny do 20 kg (można też mieć bagaż
podręczny). Przy wyjazdach rodzinnych liczy się łączna waga głównych
bagaży osób wyjeżdżających razem. Czteroosobowa rodzina Hani miała
bagaże główne o wadze: 25 kg 60 dag, 21 kg 30 dag, 17 kg 40 dag,
18 kg 50 dag. Jaka była waga wszystkich bagaży głównych?
Czy waga bagaży rodziny Hani przekroczyła wyznaczony limit?
UWAGA. W zadaniach 6–8 podano więcej informacji niż potrzeba do ich rozwiązania.
Wyszukaj potrzebne dane, aby odpowiedzieć na zadane pytania.
6
Na trzydniową wycieczkę pojechało 20 osób. Za nocleg jednej osoby
płacono 18 zł. Po powrocie z wycieczki okazało się, że nie wykorzystano
wszystkich pieniędzy. Opiekun wycieczki zwrócił każdemu
uczestnikowi po 22 zł i zostało jeszcze 14 zł. Ile
pieniędzy nie wykorzystano podczas wycieczki?
7
Na obozie zorganizowano wycieczkę rowerową.
Pojechało na nią 16 osób. Uczestnicy ruszyli
o godzinie 8.00. Na pierwszy postój i zwiedzanie
zatrzymali się o 10.00. Przejechali w tym czasie
38 km. Z jaką średnią prędkością jechali
uczestnicy wycieczki?
8
Zuzia robiła z babcią zakupy na przetwory zimowe. Kupiły 10 kg
ogórków po 3 zł 40 gr za 1 kg, 2 kg cebuli po 1 zł 60 gr za 1 kg, 6 kg
pomidorów po 2 zł 80 gr za 1 kg. Jaka była łączna waga kupionych
produktów?
9
9
Ania i Ula piekły ciasto. Według przepisu potrzeba było 200 g masła.
Ula przyniosła 25 dag masła. Ile masła trzeba dołożyć lub odjąć, by
było zgodnie z przepisem?
Na podstawie poniższych informacji rozwiąż zadania 10 –14.
Już po wakacjach. W każdą środę Tomek rozpoczyna lekcje o godzinie 8.55.
Oto jego plan lekcji na środę:
10 O której godzinie zakończyła się lekcja języka polskiego?
11
O której godzinie zaczyna się, a o której kończy duża przerwa?
12 O której godzinie rozpoczyna się, a o której kończy wf.?
13 O której godzinie Tomek kończy lekcje w środę?
14 W środę Tomek przebywał w szkole:
A. 6 h 25 min
B. 525 min
C. 5 h 25 min
D. 315 min
Czy umiesz? Sprawdź!
1. Karol kupił 1 kg 20 dag śliwek, a Karolina 1500 g orzechów
laskowych. Co ważyło więcej: śliwki czy orzechy laskowe?
Odpowiedź uzasadnij.
km
2. Pociąg jechał 3 godziny ze średnią prędkością 45 h . Jaką drogę
przejechał ten pociąg?
3. Pociąg wyjechał z Katowic o godzinie 9.15 i przyjechał do Opola
o 10.54. Jak długo trwała podróż tym pociągiem?
10
Systemy zapisywania liczb
Sowa przypomina
System dziesiątkowy
Do zapisywania liczb służą cyfry:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Jest to pozycyjny system zapisu liczb, ponieważ od miejsca
(pozycji) cyfry w liczbie zależy jej wartość.
Miliony
Grupa:
5
8
Tysiące
setki
Rzędy:
4
4
6
Jedności
8
1
dziesiątki
4
8
jedności
System rzymski
Jest 7 znaków, za pomocą których zapisujemy liczby:
I=1
V=5
X = 10
C = 100
D = 500
M = 1000
L = 50
Wartość liczby może być sumą wartości znaków, np.
MDCX = 1000 + 500 + 100 + 10 = 1610
Jeśli znak liczby mniejszej poprzedza znak liczby większej, to
wykonujemy odejmowanie, np.
IV = 5 – 1 = 4
IX = 10 – 1
XLIX = (50 – 10) + (10 – 1) = 49
XL = 50 – 10
CD = 500 – 100 = 400
Oś liczbowa
Na osi liczbowej można zaznaczać liczby.
Tu pierwszą zaznaczoną liczbą na prawo od zera
jest liczba 100, a następną 200, 300 …
11