1. Transformacja Lorentza

10. Teoria względności
1905 – postulaty Einsteina:
I. Prawa przyrody są identyczne we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.
II. Prędkość światła w próżni jest stała i taka sama we wszystkich inercjalnych układach
odniesienia.
1984 → c = 299 792 458 m/s ⇒ wzorzec metra
Prędkość żadnego ciała przenoszącego energię lub
informację nie może przekroczyć prędkości granicznej
(niezależnie od czasu przyspieszania!). Eksperyment
Bertozziego (1964) – przyspieszanie elektronów.
Szczególna teoria względności dotyczy jedynie
inercjalnych układów odniesienia.
10.1. Transformacja Lorentza.
1893 – hipoteza Fitzgeralda, że wszystkie poruszające się względem eteru przedmioty ulegają
skróceniu w tym samym kierunku, w którym odbywa się ruch przedmiotu.
1895 – Lorentz wzory transformacyjne dla układu poruszającego się:
Z
Z’
1
x' =
v2
1− 2
c
V
Y
X’
X
t' =
Y’
Podstawiając γ =
1
y’ = y
z’ = z
v ⎞
⎛
t − 2 x⎟
⎜
v2 ⎝ c ⎠
1− 2
c
1
otrzymamy dla transformacji odwrotnej wyrażenia:
v2
1− 2
c
x = γ(x’ + v⋅ t’)
(x − vt )
y = y’
z = z’
⎛ x' v ⎞
t = γ ⎜ t '+ 2 ⎟
c ⎠
⎝
Oczywiście gdy v << c to otrzymujemy wzory transformacji Galileusza:
x’ = x – vt
y’ = y
z’ = z
t’ = t
Z postulatów Einsteina wynika konieczność innego niż dotychczas sposobu opisywania czasu
i przestrzeni.
Obserwator siedzący w rakiecie obliczy prędkość
impulsu świetlnego mierząc w czasie t’ przebytą
przez impuls drogę s’. Natomiast dla obserwatora
stojący nieruchomo, impuls w czasie t przebędzie
odcinek s.
s' s
wynika z tego, że s’ < s (droga
=
t' t
przebyta w układzie poruszającym się musi być
krótsza niż w układzie spoczywającym) oraz t’ < t (czas płynący w układzie poruszającym
się musi płynąć wolniej niż w układzie spoczywającym).
Ale: c =
Drugą ważną konsekwencją postulatów Einsteina jest stwierdzenie, że zdarzenia jednoczesne
w jednym układzie odniesienia nie muszą być jednoczesne gdy obserwujemy je z innego
układu !
Światło z lampy umieszczonej w suficie padając na czujniki otwiera drzwi w obu końcach
wagonu. Dla obserwatora poruszającego się drzwi otworzą się jednocześnie, ale dla
obserwatora nieruchomego najpierw otworzą się tylne drzwi (które „doganiają” impuls
świetlny). Obaj maja rację !!
10.2. Kontrakcja długości, dylatacja czasu.
Skrócenie (kontrakcja) długości
y
y’
Pręt jest nieruchomy względem układu O’
poruszającego się z szybkością v względem
spoczywającego układu O.
V
l0
O’
O
z
x1’
z’
x2’
x’
x
Długość odcinka zmierzona w układzie O’ :
l0 = x’2 – x’1 = γ(x2 - v⋅ t) - γ(x1 - v⋅ t)
l0 = γ (x2 – x1) = γ⋅ l
A więc
l=
1
γ
l o - zmierzona w układzie spoczywającym, długość poruszającego się pręta
jest mniejsza od długości zmierzonej w układzie O’.
Jeżeli sytuacje odwrócimy:
y
y’
Pręt nieruchomy w układzie O porusza się w stosunku do
układu O’
V
l0
O
z
x2
x1
l0 = x2 – x1 = γ (x’2 + v⋅ t) - γ(x’1 + v⋅ t)
x’
x
O’
l0 = γ (x’2 – x’1) = γ⋅ l
z’
l=
1
γ
lo
Długość pręta w ocenie obserwatora
poruszającego się względem niego jest
mniejsza.
Wniosek – zgodność z I postulatem
Einsteina, że układy inercjalne są sobie
równoważne we wszystkich układach
odniesienia.
Wydłużenie (dylatacja) czasu
y
y’
O’
O
z
V
z’
Zegar jest nieruchomy względem układu O’ ⇒ Δt0
Δt0
W układzie O mierzony jest przedział czasu Δt
x’
x
⎛ x 'v ⎞
Δt = t 2 − t1 gdzie t = γ ⎜ t '+ 2 ⎟
c ⎠
⎝
x' v ⎞ ⎛
x' v ⎞
⎛
Δt = γ ⎜ t ' 2 + 2 ⎟ − γ ⎜ t '1 + 2 ⎟
c ⎠ ⎝
c ⎠
⎝
⇒
Δt = γ (t ' 2 −t '1 )
Czyli Δt = γ⋅ Δt0
Czas trwania zjawiska względem obserwatora w układzie O jest dłuższy.
Cząstki elementarne (o krótkim czasie życia) poruszające się z dużymi prędkościami v ≤ c
mają długi czas życia dla obserwatora w laboratorium.
Pytanie – w znanym paradoksie bliźniąt, dlaczego astronauta wyruszający w kosmos będzie
„młodszy” od bliźniaka pozostającego na Ziemi – skoro dla niego to właśnie Ziemia będzie
się poruszać ?
Przykłady
1. W jaki sposób i z jaką szybkością powinien poruszać się prostopadłościenny kontener o
wymiarach L0 x L0 x 1,5L0 aby nieruchomy obserwator widział go jako sześcian ?
Odp. Ruch zgodny z najdłuższym wymiarem 1,5 L0. Widziana długość L = 1,5 L0 ma być
1,5 L0
v2 4
5
1
równa L0, a więc L =
= L0 stąd γ =
= 1,5 czyli 1 − 2 = ⇒ v 2 = c 2
c
9
9
γ
v2
1− 2
c
Ostatecznie v = 0,75 c
2. Statek kosmiczny porusza się z szybkością 0,7c. na statku ustawiono stół konferencyjny
wzdłuż osi statku. Długość stołu, jak zmierzył podczas lotu astronauta wynosiła 5m.
A. Jaka była długość stołu zmierzona przed odlotem z Ziemi 46 lat wcześniej?
B. O ile krótszy stół widzieliby podczas lotu obserwatorzy z Ziemi?
C. Ile lat wg czasu pokładowego minęło od startu?
Odp. A. O ile stół się nie skurczył ze starości, to w każdym układzie względem którego stół
jest nieruchomy, jego długość wynosi 5.
LS
1
LZ =
Odp. C.
ΔtZ = γ⋅ ΔtS stąd ΔtS = 0,714⋅ 46 lat = 32,84 roku
γ
;
γ
= 1−
0,49c 2
= 0,714
c2
Odp. B.
stąd LZ = 3,57 m
ΔL = 1,43 m
3. W wyniku oddziaływania promieniowania kosmicznego na górne warstwy atmosfery
powstają cząsteczki elementarne mezony π+, których czas życia liczony w układzie własnym
(związanym z cząstką) wynosi 2,6⋅10-8 s (0,924c). Zakładając, że powstające mezony mają
prędkość V = 2,769⋅108 m/s, obliczyć:
A. Czas życia mezonu w układzie związanym z laboratorium na Ziemi.
B. Długość drogi przebytej przez powstały mezon do chwili jego rozpadu mierzonej w
układzie laboratoryjnym oraz w układzie własnym mezonu.
Odp. A. ΔtL = γ⋅ Δtm Δt L =
Odp.B. SL = v⋅ ΔtL = 18,83 m
2,6 ⋅ 10 −8
1 − 0,924
2
= 6,8 ⋅ 10 −8 s (ponad 2,5 razy dłuższy czas !!)
natomiast w układzie własnym mezonu: Sm = v⋅ Δtm = 7,19m
4. Długość nieruchomego pociągu jest taka sama jak długość tunelu i wynosi L0. Pociąg ten
jedzie z prędkością V = 0,1 c. Czy początek i koniec pociągu miną końce tunelu w tym
samym czasie dla obserwatorów w pociągu i tunelu ? Jak długo trwał przejazd pociągu dla
tych obserwatorów?
Odp. Dla obserwatora stojącego na ziemi długość pociągu będzie mniejsza niż długość tunelu:
Lp < Lt
L p = Lt 1 −
v2
c2
Lp = 0.995⋅ Lt
Lp
Czas przejazdu całego pociągu przez tunel:
tZ =
v
0,1c
c
=
= 0,0501
Lt + L p 1,995Lt
Lt
Lt
+
Lp
+
Lp
Dla obserwatora w pociągu długość tunelu będzie mniejsza niż pociągu:
Lp > Lt
Lt = L p 1 −
v2
c2
stąd Lp = 1.005⋅ Lt
Lp
Czas przejazdu całego pociągu przez tunel:
tp =
v
0,1c
c
=
= 0,0499
Lt + L p 2,005Lt
Lt
Lt
10.3. Prędkość w układach inercjalnych.
Z
V
Y
Względem układu O’ punkt materialny ma szybkość
dx
v1 = 1
dt '
Z’
V1
V2
X’
X
Natomiast względem układu O ma szybkość
Y’
Skoro x = γ⋅ (x’ + vt’)
⎛ x' v ⎞
Natomiast t = γ ⎜ t '+ 2 ⎟
c ⎠
⎝
v2 =
dx
.
dt
to dx = γ⋅ (dx’ + vdt’)
więc
dx '⋅v ⎞
⎛
dt = γ ⎜ dt '+ 2 ⎟
c ⎠
⎝
dx'
+v
dx dx'+vdt '
dt
'
=
=
A zatem v 2 =
dx'⋅v
dx' v
dt
dt '+ 2
1+
dt ' c 2
c
Ostatecznie v 2 =
v1 + v
vv
1 + 12
c
dla v = 0
(układ O’ w spoczynku) v2 = v1
Przykłady
1. Dwa akceleratory dają strumienie cząstek poruszające się w przeciwne strony - każdy z
szybkością v1 = v2 = 0,9c. Obliczyć względną szybkość strumieni cząstek.
Klasyczna superpozycja: vwzgl = v1 + v2 = 1,8 c ⇒ wynik zły !! vwzgl > c
Dodawanie relatywistyczne:
v2 =
v1 + v
1,8c
=
= 0,9945c
v1v
0,81c 2
1+ 2 1+
c
c2
2. Podczas zbliżania rakiety lecącej z szybkością 0,7c
do pewnego układu słonecznego, wystrzelono z niej
sondę, której szybkość względem słońca tego układu
wynosiła 0,8c. Jaka była szybkość sondy względem
rakiety ?
Dane: v = 0,7c;
v2 = 0,8c
Klasyczne dodawanie prędkości: vwzgl = v2 = v + v1
stąd v1 = v2 – v = 0,1c - źle ! Wartość zaniżona!!
Dodawanie relatywistyczne:
0,8c =
0,8c2 – 0,7c2 = (1 – 0,56)v1c a zatem
v1 + 0,7c
0,7c ⋅ v1
1+
c2
stąd po przekształceniu
v1 = 0,23c
10.4. Masa, energia.
II zasada dynamiki w ujęciu relatywistycznym:
Przyrost pędu ciała jest proporcjonalny do wartości działającej na ciało siły wypadkowej i
r Δpr
mv
gdzie wartość pędu ciała wyraża się wzorem: p =
czasu działania siły: F =
Δt
v2
1− 2
c
r
r
Einstein założył, że dla dużych prędkości przestaje być słuszny wzór p = m ⋅ v gdyż
oznaczałoby to, że dowolna siła działając przez odpowiednio długi czas byłaby w stanie
rozpędzić ciało nawet do prędkości przekraczających prędkość światła.
Ze wzoru Einsteina na pęd wynika, że zgodnie z teoria względności masa ciała rośnie wraz z
prędkością układu, w którym ciało się znajduje. Tak więc wartość masy poruszającego się
obiektu można obliczyć ze wzoru:
m(v ) =
m0
v2
1− 2
c
m = γ ⋅ m0
⇒
gdzie m0 jest tzw. masą spoczynkową – masą ciała mierzoną
w układzie, w którym ciało spoczywa.
Oczywiście, dla v << c m = m0 a wzory na pęd
ciała przybierają postać klasyczną.
Przykłady
1. Sonda, która znalazła się na orbicie
wokółsłonecznej zarejestrowała uderzenia
elektronów pochodzących z wiatru słonecznego, które poruszały się względem słońca z
prędkością 0,8c. Ile razy masa tych elektronów była większa od masy elektronów sondy ?
m0
m=
1−
⇒
0,64c 2
c2
m=
m0
= 1,67 ⋅ m0
0,6
2. Z jaką co najwyżej prędkością może poruszać się pojazd kosmiczny, aby masa
podróżującej nim kosmonautki była maksymalnie o 5% większa od jej (niewielkiej zapewne)
masy spoczynkowej ?
m = 1,05 ⋅ m0 =
m0
1−
v2
c2
⇒
1−
v2
= 0,91 czyli maksymalna prędkość to v = 0,3c.
c2
Związek między masą a energią.
dE k = F ⋅ dx = m
dv
dv
dx = m v ⋅ dt
dt
dt
dE k = mv ⋅ dv = v ⋅ dp
Pęd relatywistyczny
p=
m0 v
1−
v2
c2
podstawiając β =
v
c
p=
m0 v
1− β 2
dp
=
dv
Różniczkując po v otrzymujemy
Czyli
⎛
β2
2
⎜
m0 1 − β +
⎜
1− β 2
dp
⎝
=
dv
1− β 2
⎛
β2
m0 ⎜ 1 − β 2 +
⎜
1− β 2
⎝
A więc dE k =
1− β 2
Skoro β =
v
c
⇒
dβ 1
=
dv c
⇒
2v
1
m0 v
2
c 2 1− β 2
1− β 2
m0 1 − β 2 +
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠ v ⋅ dv
dv
= dβ
c
Podstawiając otrzymujemy:
⎛
m0 c 2
β2
2
⎜
β ⋅ dβ 1 − β +
dE k =
⎜
1− β 2
1− β 2
⎝
Całkując
3
⎛
⎞
⎟ = m c 2 ⎜ β ⋅ dβ + β dβ
0
3
⎜ 1− β 2
⎟
1− β 2 2
⎠
⎝
(
)
⎞
⎟
⎟
⎠
v
⎡ v c β ⋅ dβ
c
β ⋅ dβ ⎤⎥
+∫
E k = m0 c ⎢ ∫
⎢ 0 1 − β 2 0 (1 − β 2 )3 2 ⎥
⎣
⎦
2
v
⎡
⎤ c
β2
2
2
2
E k = m0 c ⎢ − 1 − β +
+ 2 1− β ⎥
⎢⎣
⎥⎦ 0
1− β 2
Po podstawieniu granic całkowania otrzymujemy:
⎡
⎤
⎤
⎡ v
⎢
⎥
⎥
⎢
2
2
v
1
2⎢
2⎢
c
⎥
E k = m0 c
− 1⎥
+ 1 − 2 − 1 = m0 c
2
2
⎢
⎥
⎢
⎥
c
v
v
⎢ 1− 2
⎥
⎢ 1− 2
⎥
c
c
⎣
⎦
⎦
⎣
Ostatecznie
E k = m0 c 2 (γ − 1) = m0 γ ⋅ c 2 − m0 c 2 = mc 2 − m0 c 2
{
m
Każda zmiana energii związana jest ze zmianą masy - Δm
E0 = m0 c2 – jest to energia spoczynkowa
E = m⋅ c2 – energia całkowita
A więc
ΔE = Δm⋅ c2
E k = Δm ⋅ c 2
Przykłady
1. Wykazać, że relatywistyczna energia kinetyczna przechodzi dla v << c w klasyczną
energię kinetyczną.
Rozwijamy wyrażenie γ w szereg:
1
1−
⎛ v
= ⎜⎜1 − 2
⎝ c
2
v2
c2
1
v2
1− 2
c
⎞
⎟⎟
⎠
−1
⎛ 1⎞
⎜− ⎟
2 ⎠ ⎛ v2
⎜−
= 1+ ⎝
1! ⎝⎜ c 2
2
⎛ 1 ⎞⎛ 3 ⎞
⎜ − ⎟⎜ − ⎟
⎞ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎛ v 2
⎟⎟ +
⎜⎜ − 2
2
!
⎠
⎝ c
2
⎞
⎟⎟ + ...
⎠
v2 3 v4
= 1+ 2 +
+ ...
8 c4
2c
A więc energia kinetyczna:
⎡
⎤
⎢
⎥
⎛
⎞
v2 3 v4
1
2⎢
E k = m0 c
+ ... − 1⎟⎟
− 1⎥ = m0 c 2 ⎜⎜1 + 2 +
4
⎢
⎥
8c
v2
⎝ 2c
⎠
⎢ 1− 2
⎥
c
⎣
⎦
Ek =
m0 v 2 3 m0 v 4
+
+ ...
2
8 c2
co było do udowodnienia.
dla c >> v
2. Ile powinno wynosić napięcie przyspieszające elektron aby uzyskał on prędkość v = c ?
Ek = Ecałk – E0 =
m0 c 2
1−
2
v
c2
⎡
⎤
⎢
⎥
1
2⎢
U ⋅ e = m0 c
− 1⎥
2
⎥
⎢
v
⎥
⎢ 1− 2
c
⎣
⎦
= m0 c 2
wynika stąd, że jeżeli v → c to U → ∝
3. Spoczywające ciało o masie M rozpada się na dwa, o masach spoczynkowych m01 oraz m02.
Wyznaczyć energie kinetyczne powstałych fragmentów uwzględniając efekty
relatywistyczne.
m01
p
Założenie Fzew = 0
2
Mc
{
= E1 + E 2
en. spoczynkowa
m02
P
B
Gdzie E1 i E2 – energie całkowite
0 = p1 + p2
Skoro E = c m02 c 2 + p 2
p1 = − p 2
więc E 2 = m02 c 4 + c 2 p 2
⇒ p12 = p 22
A zatem
2 4
2 4
E12 − m01
c = E 22 − m02
c
Stąd
2
2
E12 − E 22 = c 4 m01
− m02
(
)
(E1 − E 2 )(E1 + E 2 ) = (E1 − E 2 )Mc 2
(
)
E1 − Mc 2 − E1 =
14243
E2
E1 =
Czyli
E2 =
Ostatecznie
(
2
2
− m02
c 2 m01
M
⇐
E1 − E 2 =
2
2
c 2 (m01
− m02
)
M
)
2
2
c 2 (m01
− m02
)+ M 2c2
2M
2
2
M 2 c 2 − c 2 (m01
− m02
)
2M
[
]
[
]
E k1 = E1 − m01c 2 =
c2
(M − m01 )2 − m022
2M
E k 2 = E 2 − m02 c 2 =
c2
(M − m02 )2 − m012
2M
4. Słońce emituje w ciągu sekundy energię równą 6,5⋅1021 kWh. Przyjmując, że
promieniowanie Słońca jest niezmienne, obliczyć po jakim czasie masa Słońca zmaleje do
połowy.
E = ΔM⋅ c2
oraz E = P⋅ t
Ponieważ
ΔM =
Stąd t =
Mc 2
2P
M
2
przyjmując masę Słońca M = 1,99⋅1030 kg
otrzymujemy: t = 1,23⋅1011 lat - a więc – bez obaw !!