14. Teoria względności

14. Teoria względności
14.3. Prędkość w układach inercjalnych.
Z
Względem układu O’ punkt materialny ma szybkość
dx
v1 = 1
dt '
Z’
V
V1
V2
Y
X’
X
Natomiast względem układu O ma szybkość
Y’
v2 =
Skoro x = γ⋅ (x’ + vt’)
 x' v 
Natomiast t = γ  t '+ 2 
c 

dx
.
dt
to dx = γ⋅ (dx’ + vdt’)
więc
dx'⋅v 

dt = γ  dt '+ 2 
c 

dx'
+v
dx
dx'+ vdt '
=
= dt '
A zatem v 2 =
dx'⋅v
dx' v
dt
dt '+ 2
1+
dt ' c 2
c
Ostatecznie v 2 =
v1 + v
vv
1 + 12
c
dla v = 0
(układ O’ w spoczynku) v2 = v1
Przykłady
1. Dwa akceleratory dają strumienie cząstek poruszające się w przeciwne strony - każdy z
szybkością v1 = v2 = 0,9c. Obliczyć względną szybkość strumieni cząstek.
Klasyczna superpozycja: vwzgl = v1 + v2 = 1,8 c ⇒ wynik zły !! vwzgl > c
Dodawanie relatywistyczne:
v2 =
v1 + v
1,8c
=
= 0,9945c
v1v
0,81c 2
1+ 2 1+
c
c2
2. Podczas zbliżania rakiety lecącej z szybkością 0,7c
do pewnego układu słonecznego, wystrzelono z niej
sondę, której szybkość względem słońca tego układu
wynosiła 0,8c. Jaka była szybkość sondy względem
rakiety ?
Dane: v = 0,7c;
v2 = 0,8c
Klasyczne dodawanie prędkości:
vwzgl = v2 = v + v1
stąd
v1 = v2 – v = 0,1c - źle ! Wartość zaniżona!!
Dodawanie relatywistyczne:
0,8c =
0,8c2 – 0,7c2 = (1 – 0,56)v1c a zatem
v1 + 0,7c
0,7c ⋅ v1
1+
c2
stąd po przekształceniu
v1 = 0,23c
14.4. Masa, energia.
II zasada dynamiki w ujęciu relatywistycznym:
Przyrost pędu ciała jest proporcjonalny do wartości działającej na ciało siły wypadkowej i
r ∆pr
mv
czasu działania siły: F =
gdzie wartość pędu ciała wyraża się wzorem: p =
∆t
v2
1− 2
c
r
r
Einstein założył, że dla dużych prędkości przestaje być słuszny wzór p = m ⋅ v gdyż
oznaczałoby to, że dowolna siła działając przez odpowiednio długi czas byłaby w stanie
rozpędzić ciało nawet do prędkości przekraczających prędkość światła.
Ze wzoru Einsteina na pęd wynika, że zgodnie z teoria względności masa ciała rośnie wraz z
prędkością układu, w którym ciało się znajduje. Tak więc wartość masy poruszającego się
obiektu można obliczyć ze wzoru:
m (v ) =
m0
v2
1− 2
c
⇒
m = γ ⋅ m0
gdzie m0 jest tzw. masą spoczynkową – masą ciała mierzoną
w układzie, w którym ciało spoczywa.
Oczywiście, dla v << c m = m0 a wzory na pęd
ciała przybierają postać klasyczną.
Przykłady
1. Sonda, która znalazła się na orbicie
wokółsłonecznej zarejestrowała uderzenia
elektronów pochodzących z wiatru słonecznego, które poruszały się względem słońca z
prędkością 0,8c. Ile razy masa tych elektronów była większa od masy elektronów sondy ?
m0
m=
1−
⇒
0,64c 2
c2
m=
m0
= 1,67 ⋅ m0
0,6
2. Z jaką co najwyżej prędkością może poruszać się pojazd kosmiczny, aby masa
podróżującej nim kosmonautki była maksymalnie o 5% większa od jej (niewielkiej zapewne)
masy spoczynkowej ?
m0
m = 1,05 ⋅ m0 =
1−
1−
⇒
v2
c2
v2
= 0,91 czyli maksymalna prędkość to v = 0,3c.
c2
Związek między masą a energią.
dE k = F ⋅ dx = m
dv
dv
dx = m v ⋅ dt
dt
dt
dE k = mv ⋅ dv = v ⋅ dp
Pęd relatywistyczny
p=
m0 v
1−
podstawiając β =
v2
c2
v
c
dp
=
dv
Czyli

β2
m0  1 − β 2 +

1− β 2
dp

=
dv
1− β 2

β2
2

m0 1 − β +

1− β 2

A więc dE k =
1− β 2
Skoro β =
v
c
⇒
dβ 1
=
dv c
Podstawiając otrzymujemy:
⇒







 v ⋅ dv
dv
= dβ
c
m0 v
1− β 2
2v
1
m0 v
2
c 2 1− β 2
1− β 2
m0 1 − β 2 +
Różniczkując po v otrzymujemy
p=

m0 c 2
β2
2

dE k =
β ⋅ dβ 1 − β +

1− β 2
1− β 2

3


 = m c 2  β ⋅ dβ + β dβ
0
3
 1− β 2

1− β 2 2


(
)




v
vc
c
⋅
d
β
β
β ⋅ dβ 

E k = m0 c ∫
+
 0 1 − β 2 ∫0 1 − β 2 3 2 


2
Całkując
(
)
v

 c
β2
2
2
2
E k = m0 c  − 1 − β +
+ 2 1− β 

 0
1− β 2
Po podstawieniu granic całkowania otrzymujemy:



 v




2
1
v2
2
2
c

E k = m0 c
+ 1 − 2 − 1 = m0 c
− 1
2
2




c
v
v
 1− 2

 1− 2

c
c




Ostatecznie
E k = m0 c 2 (γ − 1) = m0 γ ⋅ c 2 − m0 c 2 = mc 2 − m0 c 2
{
E k = ∆m ⋅ c 2
m
Każda zmiana energii związana jest ze zmianą masy - ∆m
E0 = m0 c2 – jest to energia spoczynkowa
E = m⋅ c2 – energia całkowita
∆E = ∆m⋅ c2
A więc
Przykłady
1. Wykazać, że relatywistyczna energia kinetyczna przechodzi dla v << c w klasyczną
energię kinetyczną.
Rozwijamy wyrażenie γ w szereg:
1
1−
 v
= 1 − 2
 c
2
v2
c2
1
v2
1− 2
c



−1
2
 1
− 
2   v2
−
= 1+ 
1!  c 2
v2 3 v4
= 1+ 2 +
+ ...
8 c4
2c
A więc energia kinetyczna:
 1  3 
 −  − 
  2  2   v 2
 +
 − 2
2
!

 c
2

 + ...







1
v2 3 v4
E k = m0 c 2 
− 1 = m0 c 2 1 + 2 +
+ ... − 1
4


8c
v2
 2c

 1− 2

c


m0 v 2 3 m 0 v 4
Ek =
+
+ ...
2
8 c2
co było do udowodnienia.
dla c >> v
2. Ile powinno wynosić napięcie przyspieszające elektron aby uzyskał on prędkość v = c ?
Ek = Ecałk – E0 =
m0 c 2
1−
2
v
c2
= m0 c 2




1
2
U ⋅ e = m0 c
− 1
2


v
 1− 2

c


wynika stąd, że jeżeli v → c to U → ∝
3. Spoczywające ciało o masie M rozpada się na dwa, o masach spoczynkowych m01 oraz m02.
Wyznaczyć energie kinetyczne powstałych fragmentów uwzględniając efekty
relatywistyczne.
Założenie Fzew = 0
p1
m01
2
Mc
{
= E1 + E 2
en. spoczynkowa
Gdzie E1 i E2 – energie całkowite
0 = p1 + p2
m02
Skoro E = c m02 c 2 + p 2
P
p1 = − p 2
A zatem
2 4
2 4
E12 − m01
c = E 22 − m02
c
Stąd
2
2
E12 − E 22 = c 4 (m01
− m02
)
(E1 − E 2 )(E1 + E 2 ) = (E1 − E 2 )Mc
(
2
2
c 2 m01
− m02
E1 − Mc − E1 =
14243
M
(
2
E2
)
)
2
więc E 2 = m02 c 4 + c 2 p 2
⇒ p12 = p 22
⇐
(
2
2
c 2 m01
− m02
E1 − E 2 =
M
)
Czyli
Ostatecznie
(
)
E1 =
2
2
c 2 m01
− m02
+ M 2c 2
2M
E2 =
2
2
M 2 c 2 − c 2 m01
− m02
2M
(
)
[
]
[
]
E k 1 = E1 − m01c 2 =
c2
(M − m01 )2 − m022
2M
E k 2 = E 2 − m02 c 2 =
c2
(M − m02 )2 − m012
2M
4. Słońce emituje w ciągu sekundy energię równą 6,5⋅1021 kWh. Przyjmując, że
promieniowanie Słońca jest niezmienne, obliczyć po jakim czasie masa Słońca zmaleje do
połowy.
E = ∆M⋅ c2
oraz E = P⋅ t
Ponieważ
∆M =
Stąd t =
Mc 2
2P
M
2
przyjmując masę Słońca M = 1,99⋅1030 kg
otrzymujemy: t = 1,23⋅1011 lat - a więc – bez obaw !!