Ćwiczenia nr 1

1
Formy różniczkowe w R3
literatura:
• W.I. Arnold, Metody matematyczne mechaniki klasycznej, rozdział 7
• L. Górniewicz, R. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, tom 1, rozdział 9
• H. Flanders, Teoria form różniczkowych
• R. Ingarden, A. Jamiołkowski, R. Mrugała, Fizyka statystyczna i termodynamika, rozdział 2
Termodynamika wygląda ciekawiej jeśli zapisze się ją w języku form różniczkowych. Oto
podstawowe definicje dla form w trzech wymiarach.
1.1 Definicje form
0-forma
Jest to po prostu funkcja skalarna f (x, y, z)
1-forma
Jest to kombinacja liniowa form bazowych dx, dy, dz w kartezjańskim układzie współrzędnych
a = ax dx + ay dy + az dz
(1.1)
gdzie składowe formy ax , ay , az są funkcjami współrzędnych x, y, z
Formy bazowe to analogia wersorów na osiach kartezjańskiego układu współrzędnych, a sama
1-forma to inny sposób zapisu wektora.
2-forma
W układzie kartezjańskim można ją zapisać jako:
b = bx dy ∧ dz + by dz ∧ dx + bz dx ∧ dy
1
(1.2)
gdzie składowe formy: bx , by , bz są funkcjami współrzędnych x, y, z. „Daszek”∧ jest operacją
iloczynu zewnętrznego form. Iloczyn zewnętrzny nie jest przemienny, ma on za to następującą
własność:
a ∧ b = (−1)kl b ∧ a
(1.3)
gdzie k jest stopniem formy a, l stopniem formy b. Na przykład dla 1-form bazowych
dx ∧ dy = −dy ∧ dx
(1.4)
dx ∧ dx = 0
(1.5)
stąd wynika, że
3-forma
Jest to w zasadzie także odpowiednik funkcji skalarnej
c = c(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz
(1.6)
4-forma
W przestrzeni trójwymiarowej nie ma ich, bo są tylko trzy formy bazowe dx, dy, dz i na przykład
wyrażenie:
dx ∧ dy ∧ dz ∧ dx = dx ∧ dx ∧ dy ∧ dz = 0
Możemy więc wypisać analogie języka form i analizy wektorowej:
0-forma — to pole skalarne f (x, y, z)
1-format — to pole wektorowe a~ = (ax , ay , az )
2-forma — to pole pseudowektorowe b~ = (bx , by , bz )
3-forma — to pole pseudoskalarne c(x, y, z)
Jeśli rozważymy operację inwersji przestrzennej
2
(1.7)
I : (x, y, z) −→ (−x, −y, −z)
(1.8)
to pod jej działaniem pseudowektor (2-forma) nie zmienia znaku
I : dx ∧ dy −→ (−dx) ∧ (−dy) = dx ∧ dy
(1.9)
Innymi słowy przy odbiciu lustrzanym pseudowektor nie zmienia znaku. Przykładem takiego
~ Podobnie pod działaniem inwersji przepseudowektora jest wektor indukcji magnetycznej B.
strzennej pseudoskalar (3-forma) zmienia znak
I : dx ∧ dy ∧ dz −→ (−dx) ∧ (−dy) ∧ (−dz) = dx ∧ dy ∧ dz
(1.10)
Przykładem pseudoskalara jest objętość zorientowanego równoleglościanu.
1.2 Operacja różniczkowania form
Operację która formalnie polega na dopisaniu litery d nazywamy pochodną zewnętrzną
formy ω. Jeśli ω jest formą stopnia k, to jej pochodna zewnętrzna dω jest formą stopnia k − 1.
Przy wykonywaniu operacji pochodnej zewnętrznej wychodzi się od 0-formy.
df =
∂f
∂f
∂f
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
(1.11)
Pochodna zewnętrzna 0-formy jest równoważna operacji gradientu funkcji skalarnej ∇ f
Pochodna zewnętrzna ma tę wygodną własność, że dwukrotne różniczkowanie daje zero!
ddω = 0
(1.12)
Następująca reguła Leibnitza określa jak różniczkować iloczyn zewnętrzny form.
d(ω1 ∧ ω2 ) = dω1 ∧ ω2 + (−1)k ω1 ∧ ω2
gdzie k jest stopniem formy ω1 (k-formy).
3
(1.13)
Zadanie
Znaleźć pochodną zewnętrzną 1-formy.
da = d(ax dx + ay dy + az dz) = dax ∧ dx + day ∧ dy + daz ∧ dz
Ponieważ
ddx = ddy = ddz = 0.
Stąd
∂a
∂a
∂a
∂a
da = ∂ax dy ∧ dx + ∂ax dz ∧ dx + y dx ∧ dy + y dz ∧ dy + z dx ∧ dx + z dy ∧ dx
∂y
∂z
∂x
∂z
∂x
∂y
Ponieważ
dx ∧ dx = dy ∧ dy = dz ∧ dz = 0.
Korzystając z własności typu:
dx ∧ dy = −dy ∧ dx
dostajemy w końcu:
∂ay ∂a ∂a
∂a ∂a z
da =
− x dx ∧ dy +
− y dy ∧ dz + ∂ax − z dz ∧ dx
∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
∂x
Wniosek
Pochodna zewnętrzna 1-formy da jest równoważna rotacji wektora ∇ × a~
Zadanie
Znaleźć pochodną zewnętrzną 2-formy.
∂b
∂b
db = d(bx dy ∧ dz + by dz ∧ dx + bz dx ∧ dy) = ∂bx dx ∧ dy ∧ dz + y dy ∧ dz ∧ dx + z dz ∧ dx ∧ dy
∂x
∂y
∂z
∂b
∂b = ∂bx + y + z dx ∧ dy ∧ dz
∂x
∂y
∂z
Wniosek
Pochodna zewnętrzna 2-formy db jest równoważna operacji dywergencji wektora ∇ · b~
Zbiór form różniczkowych z operacjami iloczynu zewnętrznego i pochodnej zewnętrznej nazywa się algebrą Cartana.
4
Wart wiedzieć jeszce o operacji zwanej gwiazdka Hoodge’a. Dzięki niej można zamienić
wektor (1-formę) na pseudowektor (2-formę) i skalar (0-formę) na pseudo skalar (3-formę).
Forma∗ ω jest forma (n − k)-tego stopnia gdzie n jest wymiarem przestrzeni (u nas n = 3)
Szczegółowe własności gwiazdki Hoodge’a są opisane w punkcie 2.7 książki Flandersa.
Zadanie
Sprawdzić zależności między pochodnymi cząstkowymi (tak zwane tożsamości termodynamiczne):
∂p a) ∂V = 1/
∂p T
∂V T
∂p ∂T
∂V = −1
b)
∂T V ∂V p ∂p T
dla układu termodynamicznego o 2 stopniach swobody, dla którego równanie stanu:
f (p, T, V ) = const
z trzech zmiennych termodynamicznych p, T, V pozostawia dwie niezależne.
Najpierw policzymy pochodne 0-form T (p, V ), p(V, T ) i V (T, p):
dV = ∂V d p + ∂V dT
∂p T
∂T p
∂p ∂p dp =
dV +
dT
T
V
∂V ∂T dT = ∂T d p + ∂T dV
∂p V
∂V p
a) Liczymy dV ∧ dT rozwijając dV :
dV ∧ dT = ∂V d p ∧ dT
∂p T
ponieważ dV ∧ dV = 0
Z kolei rozwijając d p:
∂p dV ∧ dT = ∂V
dV ∧ dT
∂p T ∂V T
Ponieważ dV i dT to formy bazowe musi więc zachodzić
∂p ∂V
=1
∂p T ∂V T
To samo można otrzymać inaczej przyrównując dT = 0 we wzorach na d p i dV.
∂p b) d p ∧ dV =
dT ∧ dV — rozwijając d p
∂T V
∂p ∂V dT ∧ d p — rozwijając dV
d p ∧ dV =
∂T V ∂p T
5
(1.14)
∂p ∂V
∂T dV ∧ d p — rozwijając dT
∂T V ∂p T ∂V p
ale dV ∧ d p = −d p ∧ dV
d p ∧ dV =
wobec czego musi być
∂p ∂V
∂T = −1
∂T V ∂p T ∂V p
Uwaga
W tradycyjnym wykładzie termodynamiki tego typu zadania rozwiązuje się przy pomocy jakobianów.
1.3 Formy zamknięte i zupełne
ω jest formą zamkniętą jeśli zachodzi
dω = 0
(1.15)
ω = dτ
(1.16)
czyli jeśli jej pochodna zewnętrzna znika.
ω jest formą zupełną jeśli zachodzi
czyli jeśli istnieje pewna forma τ, dla której ω jest jej pochodną zewnętrzną.
Oczywiście jeśli forma jest zupełna to także jest zamknięta ponieważ
dω = ddτ = 0
(1.17)
W drugą stronę obowiązuje Lemat Poincarégo:
Forma zamknięta jest także zupełna jeśli w obszarze, który rozpatrujemy każda krzywa zamknięta jest ściągalna do punktu. Taki obszar nazywa się jednospójnym, bardziej prosto oznacza to brak dziur.
6
dziura
Przykład krzywej ściągalnej i nieściągalnej do punktu.
Możemy teraz zastosować Lemat Poincareégo do form o różnych stopniach.
dla 1-formy w R3
d A = 0 −→ A = d f
w notacji wektorowej:
∇ × A~ = 0 −→ A~ = ∇ f
Lemat Poincarégo dla 1-form odpowiada twierdzeniu o istnieniu potencjału skalarnego dla pola
bezwirowego. Patrz D.J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, rozdział 1.6
dla 2-formy w R3
d A = 0 −→ A = dB
w notacji wektorowej:
∇ · A~ = 0 −→ A~ = ∇ × B~
Lemat Poincarégo dla 2-form odpowiada twierdzeniu o istnieniu potencjału wektorowego dla
pola bezźródłowego.
1.4 Pierwsza zasada termodynamiki
Należy zauważyć, że w różnych podręcznikach stosuje się różne konwencje co do znaku pracy
i ciepła. Umówmy się co do następującej konwencji:
dQ = dU + dW
7
(1.18)
gdzie dQ jest formą ciepła (ciepło dostarczone do układu), dW jest forma pracy (praca wykonana przez układ). Są to formy niezupełne! Co oznacza, że nie istnieją 0-formy (funkcje
skalarne) Q i W (ciepło i praca), których te formy są pochodnymi.
Z kolei dU czyli zmiana energii wewnętrznej układu jest formą zupełną — pochodną 0-formy
U — energii wewnętrznej.
Uwaga
Często dla podkreślenia, że ciepło i praca są formami niezupełnymi (nie są pochodnymi innych
form) oznacza się je poprzez dodatkowe przekreślenie dQ
¯ i dW
¯ , aby nie traktować symbolu d
jako pochodnej zewnętrznej.
Zadanie
Pokazać, że dla układu termodynamicznego o dwóch stopniach swobody forma ciepła nie jest
zamknięta, czyli ddQ
¯ , 0.
Możemy rozpisując formę pracy dW traktując ją jako pracę mechaniczną:
dQ
¯ = dU + pdV
stąd z reguły Leibnitza
ddV
d(dQ)
¯ = |{z}
ddU + d(pdV ) = d p ∧ dV + p |{z}
=0
=0
Korzystając z równania stanu w postaci p = p(V, T ) możemy obliczyć formę ciśnienia:
∂p ∂p dp =
dV +
dT
∂V T
∂T V
stąd
∂p d(dQ)
¯ =
dT ∧ dV — ponieważ dV ∧ dV = 0
∂T V
Ponieważ dT i dV są formami bazowymi forma ciepła dQ
¯ nie jest formą zamkniętą, chyba że
miałoby być
∂p =0
∂T V
czyli gdy ciśnienie w stałej objętości nie zależałoby od temperatury. Z doświadczenia wiemy
jednak, że zależy. Na przykład dla gazu doskonałego p = RT /V .
1.5 Równanie Pfaffa i warunek Frobeniusa
Pierwszą zasadę termodynamiki można zapisać w postaci warunku znikania pewnej 1-formy ω
8
ω = dQ
¯ − dU − dW
¯ =0
(1.19)
Tego typu równanie nazywa się równaniem Pfaffa. Na przykład warunek znikania 1-formy na
płaszczyźnie (x, y) daje równanie równanie Pfaffa:
ω = P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0
(1.20)
dy
P
=−
dx
Q
(1.21)
Stąd formalnie
czyli rozwiązaniem równania Pfaffa jest rodzina krzywych całkowych odpowiadającego mu
równania różniczkowego.
Dla 1-formy zupełnej w R3
ω = df = 0
(1.22)
f (x, y, z) = const
(1.23)
rozwiązanie jest trywialne:
Jest to rodzina powierzchni całkowych równania różniczkowego (1.22).
Najłatwiej rozwiązać równanie Pfaffa
ω=0
(1.24)
dla niezupełnej formy ω znajdując odpowiedni czynnik całkujący λ, gdzie λ(x, y, z) jest funkcją
skalarną, taki, że forma λω będzie już zupełna
λω = d f
(1.25)
Wówczas szukane rozwiązanie określa funkcja f .
Zachodzi następujące twierdzenie Frobeniusa: forma ω ma czynnik całkujący, jeśli spełniony
jest warunek:
9
ω ∧ dω = 0
(1.26)
1.6 Druga zasada termodynamiki
Matematyk Caratheodory w 1909 roku znalazł następujące zastosowanie powyższej teorii do
termodynamiki. Stwierdził, że forma ciepła dQ
¯ nie jest zupełna, ale istnieje dla niej czynnik
całkujący
λ=
1
T
(1.27)
jest to odwrotność temperatury bezwzględnej T mierzonej w Kelwinach. Dość skomplikowany,
ale elementarny dowód równania (1.27) znajduje się w książce:
M.A. Leontoviq, Vvedenie v termodinamiku, § 16.
Jest to nic innego jak druga zasada termodynamiki:
dS =
1
dQ
¯
T
(1.28)
Forma zupełna dS powstała z formy ciepła dQ
¯ jest pochodną zewnętrzną 0-formy entropii S.
Można powiedzieć, że Caratheodory udowodnił drugą zasadę termodynamiki.
Zadanie
Pokazać, że w 2 wymiarach każda forma ma czynnik całkujący.
Dla 1-formy a = ax dx + ay dy liczymy pochodną zewnętrzną
∂a
∂a da = ∂ax dy ∧ dz + y dx ∧ dy = ∂ax − y dx ∧ dy
∂x
∂x
∂x
∂x
stąd
a ∧ da = 0
Warunek Frobeniusa jest tożsamością.
Dla 2-formy a = a(x, y) dx ∧ dy
da = 0
Stąd także a ∧ da = 0
10
Wniosek
Dla układu termodynamiczego o dwóch stopniach swobody istnienie czynnika całkującego dla
formy ciepła jest matematycznie zapewnione. Jest to część dowodu drugiej zasady termodynamiki.
Zadanie
Znaleźć warunek na istnienie czynnika całkującego dla 1-formy w 3 wymiarach.
1-forma: a = ax dx + ay dy + az dz
Jej pochodna zewnętrzna wynosi
da = ( rot a~)x dy ∧ dz + ( rot a~)y dz ∧ dx + ( rot a~)z dx ∧ dy
Stąd warunek Frobeniusa
a ∧ da = ( rot a~)x dx ∧ dy ∧ dz + ( rot a~)y dy ∧ dz ∧ dx + ( rot a~)z dz ∧ dx ∧ dy
= (~
a · rot a~) dx ∧ dy ∧ dz
Wobec czego warunek na istnienie czynnika całkującego dla 1-formy wynosi:
a~ · rot a~ = 0
(1.29)
Zadanie
Sprawdzić warunek Frobeniusa dla formy ciepła w układzie termodynamicznym o dwóch stopniach swobody.
Wybierzmy jako zmienne niezależne ciśnienie i objętość. Z pierwszej zasady termodynamiki:
dQ
¯ = dU + dW
¯ = dU + pdV
mamy:
ddQ
¯ = ddU + d(pdV ) = d p ∧ dV
stąd:
ddQ
¯ ∧ dQ
¯ = (dU + pdV ) ∧ d p ∧ dV = dU ∧ d p ∧ dV
Ale energia wewnętrzna musi być funkcją ciśnienia i objętości:
U = U(p, V )
stąd:
11
dU = ∂U d p + ∂U dV
∂p V
∂V p
a więc
dU ∧ d p ∧ dV = 0
Zadanie
Znaleźć wyrażenie na czynnik całkujący dla formy ciepła dQ
¯ w przemianie adiabatycznej
1 mola gazu doskonałego w zmiennych (p, V ).
I zasada termodynamiki:
dQ
¯ = CV dT + pdV
gdzie CV to ciepło molowe w stałej objętości. Równanie stanu gazu doskonałego
pV = RT
Pochodna zewnętrzna temperatury wynosi
1 (p dV + V d p)
dT = R
stąd
C
C C
dQ
¯ = RV (p dV + V d p) + pdV = 1 + RV p dV + RV V d p = 0
Dostaliśmy równanie Pfaffa dla 1-formy dQ
¯ w zmiennych p i V w postaci:
A(p, V ) d p + B(p, V ) dV = 0
Czynnik całkujący daje nam w wyniku pochodną zewnętrzną 0-formy
λ dQ
¯ = df = 0
Rozwiązaniem równania Pfaffa jest krzywa f (p, V ) = const czyli po prostu równanie adiabaty
w płaszczyźnie (p, V ). To równanie znamy z elementarnej termodynamiki.
f (p, V ) = pV κ
Możemy więc obliczyć formę ciśnienia
d f = d p V κ + pκV κ−1 dV
Z drugiej strony
C
λ d f = Rv (p dV + V d p) + pdV
Porównując współczynniki przy d p otrzymujemy czynik całkujący
λ = CR V κ−1
v
a z porównania współczynników przy dV otrzymujemy dodatkowo wzór na współczynnik
adiabaty.
12
κ=
Cv + R
Cv
Zadanie
Układ termodynamiczny złożony z 1 mola gazu o cieple CV 1 i 1 mola gazu o cieple CV 2
rozdzielony jest adiabatycznym tłokiem. Pokazać, że dla formy ciepła dQ
¯ = dQ
¯ 1 + dQ
¯ 2 nie
istnieje czynnik całkujący (nie istnieje jedna temperatura układu).
Równania stanu dla obu gazów
p1V1 = RT 1
p2V2 = RT 2
Z powodu istnienia tłoka musi zachodzić
p1 = p2 = p
Z pierwszej zasady termodynamiki dostajemy
dQ
¯ 1 + dQ
¯ 2 = CV 1 dT 1 + CV 2 dT 2 + p dV1 + p dV2
Różniczkujemy równania stanu:
p dV1 + V1 d p = R dT 1
p dV2 + V2 d p = R dT 2
oraz korzystajmy z zależności
V1 = RT 1 /p
V2 = RT 2 /p
Przy wykorzystaniu powyższych równań forma ciepła układu wynosi:
dQ
¯ = (CV 1 + R) dT 1 + (CV 2 + R)dT 2 − R
p (T 1 + T 2 ) d p
Otrzymaliśmy 1-formę dQ
¯ w postaci:
ω =A dT 1 + B dT 2 + C d p = 0
dla zmiennych niezależnych (T 1 , T 2 , p).
Sprawdzimy teraz warunek Frobeniusa:
ω ∧ dω = 0
hdp
i
d(dQ)
¯ = −Rd p (T 1 + T 2 ) = − R
p (dT 1 + dT 2 ) ∧ d p
stąd
R
dQ
¯ ∧ d(dQ)
¯ = −R
p (CV 1 + R) dT 2 ∧ d p ∧ dT 1 − p (CV 2 + R) dT 1 ∧ d p ∧ dT 2
13
=R
p (CV 1 − CV 2 ) dT 1 ∧ d p ∧ dT 2 , 0
A więc forma ciepła nie ma czynnika całkującego. Jeśli CV 1 = CV 2 to mamy do czynienia z
tym samym gazem po obu stronach tłoka, więc tłok można po prostu usunąć. W przeciwnym
przypadku, w stanie równowagi termodynamicznej obie części układu mają różne temperatury.
14