Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-)

Poniższe zadania pochodzą ze zbiorów:
a) J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach
b) M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry
Do kolokwium proszę też przejrzeć zadania z ćwiczeń.
Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-)
Zadanie 1 Sprawdź, że działanie ⊕ określone w zbiorze R wzorem a ⊕ b = a + b + 1 jest
przemienne i łączne oraz to, że ma ono element neutralny. Wyznacz te elementy zbioru R, dla
których istnieje element odwrotny i przedstaw ten element odwrotny do a w zależności od a.
Zadanie 2 Sprawdź, że działanie określone w zbiorze R wzorem a b = ab + a + b jest
przemienne i łączne oraz to, że ma ono element neutralny. Wyznacz te elementy zbioru R, dla
których istnieje element odwrotny i przedstaw ten element odwrotny do a (o ile istnieje) przez
a.
Zadanie 3 Zbadaj, czy działanie ∗ określone w zbiorze Q wzorem a ∗ b =
i czy ma ono element neutralny.
a+b
jest łączne
2
√
√
Zadanie 4 Działanie ◦ jest określone w zbiorze R wzorem a ◦ b = ( 3 a + 3 b)3 . Sprawdź,
czy jest ono przemienne i łączne. Znajdź element neutralny tego działania. Wyznacz elementy
odwrotne do tych liczb a ∈ R, które taki element mają.
Zadanie 5 Zbadaj, czy relacja równoległości określona w zbiorze R2 wektorów na płaszczyźnie jest zgodna z działaniem:
a) dodawania wektorów
b) mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Zadanie 6 Niech n ∈ N. Udowodnij, że relacja równoważności ∼ określona w zbiorze Z
przez warunek a ∼ b ⇔ m | a − b jest zgodna z dodawaniem i mnożeniem w zbiorze Z.
Zadanie 7 Sprawdź, że zbiór Z jest grupą względem działania ∗ określonego w zbiorze Z
wzorem
(
a + b dla a ∈ 2Z
a∗b=
a − b dla a 6∈ 2Z
Zadanie 8 Sprawdź, czy zbiór R wraz z działaniem a ◦ b = a + b + 5 tworzy grupę.
Zadanie 9 Sprawdź, czy zbiór R wraz z działaniem a ◦ b = ab − a − b + 2 tworzy grupę.
Zadanie 10 Sprawdź, że zbiór Z tworzy grupę abelową względem działania
a ⊕ b = (−1)a b + (−1)b a.
"
Zadanie 11 Sprawdź, że zbiór M macierzy postaci
#
(−1)a
a
, gdzie a ∈ Z tworzy
0
(−1)a
grupę abelową względem mnożenia macierzy.
Zadanie 12 Niech macierze 1̃, ĩ, j̃, k̃ ∈ SL(2, C) będą określone następująco:
"
1̃ =
#
1 0
, ĩ =
0 1
"
#
i 0
, j̃ =
0 −i
"
#
0 1
, k̃ =
−1 0
"
#
0 i
.
i 0
Zbuduj tabelkę mnożenia macierzy w zbiorze Q8 := ±1̃, ±ĩ, ±j̃, ±k̃, a następnie sprawdź, że
para (Q8 , ·) jest grupą.
Zadanie 13 Niech A bedzie zbiorem wszystkich przedziałów domkniętych < a, b > na prostej, gdzie a ¬ b. Sprawdź, czy A jest grupą względem działania ⊕ określonego w A wzorem
< a, b > ⊕ < c, d >=< a + c, b + d > .
Zadanie 14 Sprawdź, że zbiór C1 = {z ∈ C : |z| = 1} jest grupą względem mnożenia liczb.
Zadanie 15 Utwórz tabelkę działania w podanej grupie
a) Z2 × Z2 ,
b) {−1, 1} × Z3 .
Zadanie 16 Wyznacz wszystkie podgrupy grupy Z10 .
Zadanie 17 Wyznacz wszystkie podgrupy grupy Φ(10)
Zadanie 18 Niech H1 , H2 bedą podgrupami grupy abelowej G. Udowodnij, że zbiór
H1 + H2 := {h1 + h2 : h1 ∈ H1 , h2 ∈ H2 }
jest podgrupa grupy G oraz, że podgrupa ta jest najmniejszą (w sensie inkluzji) podgrupa grupy
G zawierającą każdą z podgrup H1 , H2 .
Zadanie 19 Niech S bedzie niepustym podzbiorem grupy G. Wykaż, że relacja ∼ określona
w zbiorze G wzorem a ∼ b ⇐⇒ ab−1 ∈ S jest relacją równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy S
jest podgrupa grupy G
Zadanie 20 Wyznacz warstwy grupy Z12 względem poniższej jej podgrupy H:
a) {0, 4, 8},
b) {0, 2, 4, 6, 8, 10}.
Zadanie 21 Wyznacz warstwy grupy Φ(13) względem poniższej jej podgrupy H:
a) {1, 5, 8, 12},
b) {1, 3, 4, 9, 10, 12}.
Zadanie 22 Wyznacz warstwy grupy Φ(36) względem poniższej jej podgrupy H:
a) {1, 13, 25},
b) {1, 17, 19, 35},
c) {1, 5, 13, 17, 25, 29}.
Zadanie 23 Opisz warstwy grupy C∗ względem jej podgrupy R+
Zadanie 24 Niech H i F będą trakimi podgrupami grupy skończonej G, że H ⊂ F . Wykaż,
że
(G : H) = (G : F )(F : H).
Zadanie 25 Wskaż elementy grupy ilorazowej Φ(21)/H, gdzie H = {1, 8, 13, 20} oraz zbuduj tabelkę działania w tej grupie.
Zadanie 26 Wskaż elementy grupy ilorazowej Φ(27)/H, gdzie H = {1, 8, 10, 17, 19, 26}
oraz zbuduj tabelkę działania w tej grupie.
Zadanie 27 Wskaż elementy grupy ilorazowej Φ(20)/H, gdzie H = {1, 19} oraz zbuduj
tabelkę działania w tej grupie.
Zadanie 28 Wskaż elementy grupy ilorazowej Z/4Z oraz zbuduj tabelkę działania w tej
grupie.
Zadanie 29 Wskaż elementy grupy ilorazowej Z/2Z oraz zbuduj tabelkę działania w tej
grupie.
Zadanie 30 Sprawdź, że zbiór H = {I, −I} jest dzielnikiem normalnym grupy GL(n, K).
Symbol I oznacza tu macierz jednostkową, GL(n, K)-zbiór wszystkich macierzy nieosobliwych
stopnia n o elementach z pierścienia K.
Zadanie 31 Sprawdź, że jeśli S jest niżej podanym podzbiorem zbioru R∗ i H = {λI ∈
GL(n, R) : λ ∈ S}, to H jest dzielnikiem normalnym grupy GL(n, R).
a) R∗ ,
b) R+ ,
c) Q∗ ,
d) Q+ .
Zadanie 32 Sprawdź, czy SL(n, K) jest podgrupą grupy GL(n, K). SL(n, K)-zbiór wszystkich macierzy stopnia n o elementach z pierścienia K i wyznaczniku równym 1.
Zadanie 33 Sprawdź, że jeśli S jest niżej podanym podzbiorem zbioru R∗ i H = {A ∈
GL(n, R) : detA ∈ S}, to H jest dzielnikiem normalnym grupy GL(n, R).
a) R+ ,
b) Q∗ ,
c) Q+ .
Zadanie 34 Udowodnij, że zbiór L wszystkich funkcji f : R → R, które są postaci f (x) =
ax + b, gdzie a ∈ R∗ , b ∈ R, tworzy grupę przekształceń zbioru R. Wykaż, że podzbiór H grupy
L utworzony przez wszystkie funkcje postaci f (x) = ax, gdzie a ∈ R∗ jest podgrupą lecz nie
jest dzielnikiem normalnym grupy L natomiast podzbiór F grupy L utworzony przez wszystkie
funkcje postaci f (x) = x + b jest dzielnikiem normalnym grupy L.
Zadanie 35 Niech G będzie grupą i niech H będzie podgrupą grupy G oraz F będzie dzielnikiem normalnym grupy G. Wykaż, że zbiór
HF := {hf : h ∈ H, f ∈ F }
jest podgrupą grupy G.
Zadanie 36 Niech G będzie grupą i niech F będzie podgrupą grupy G oraz H będzie dzielnikiem normalnym grupy G. Wykaż, że zbiór
HF := {hf : h ∈ H, f ∈ F }
jest podgrupą grupy G.
Zadanie 37 Wykaż, że jeśli H oraz F są dzielnikami normalnymi grupy G, to również zbiór
HF := {hf : h ∈ H, f ∈ F }
jest dzielnikiem normalnym grupy G.
Zadanie 38 Udowodnij, że każda grupa cykliczna jest abelowa.
Zadanie 39 Dla każdego a ∈ Q8 (patrz Zadanie 12.) wyznacz podgrupę < a > i określ rza.
Czy grupa Q8 jest cykliczna?
Zadanie 40 Sprawdź, czy dana grupa jest cykliczna:
a) Φ(5),
b) Φ(8),
c) Φ(15),
d) Φ(30).
Zadanie 41 Czy cykliczna jest grupa (Z, ⊕), gdzie działanie ⊕ określone jest wzorem a⊕b =
a + b + 5?
Zadanie 42 Dla każdego a ∈ Z8 wyznacz podgrupę < a > i określ rza.
Zadanie 43 Dla każdego a ∈ Φ(14) wyznacz podgrupę < a > i określ rza. Czy grupa Φ(14)
jest cykliczna?
Zadanie 44 Udowodnij, że dla dowolnych a, b ∈ G zachodzi równość
rza = rz(b−1 ab).
Zadanie 45 Udowodnij, że dla dowolnych a, b, c ∈ G zachodzi równość
rz(abc) = rz(bca) = rz(cab).
Zadanie 46 Udowodnij, że każda grupa, której rząd jest liczba pierwszą, jest cykliczna.
Zadanie 47 Udowodnij, że jeśli rza = n i n ∈ Z, to am = e wtedy i tylko wtedy, gdy n | m.
Zadanie 48 Niech G będzie dowolną grupą i niech a ∈ G. Wykaż, że jeśli rza = n oraz
n
d | n, to rzad = .
d
Zadanie 49 Niech G będzie dowolną grupą cykliczną generowaną przez elenent a rzędu n.
Udowodnij, że element ak jest generatorem grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy liczby k i n są
wzglednie pierwsze.
Zadanie 50 Niech a i b będą takimi elementami grupy G, że ab = ba oraz (rza, rzb) = 1.
Udowodnij, że rz(ab) = rza · rzb.
Zadanie 51 Sprawdź, że dla poniższych macierzy A, B ∈ SL(2, Z) mamy rzA < ∞, rzB <
∞ oraz rz(AB)
= rz(BA)
=
"
#
" ∞:
#
1
2
1 1
A=
,B=
.
−1 −1
−1 0
Zadanie 52 Udowodnij, że obraz homomorficzny grupy cyklicznej jest grupą cykliczną.
Zadanie 53 Udowodnij, że jeśli ϕ : G → F jest homomorfizmem grup oraz ϕ(a) = b i
rza < ∞, to rzb | rza.
Zadanie 54 Sprawdź, czy dana funkcja ϕ jest homomorfizmem grup. Jeśli tak, to wyznacz
jądro i obraz tego hohomorfizmu.
a) ϕ : C∗ → C∗ ,
ϕ(z) = |z|,
e) ϕ : R → R,
b) ϕ : R+ → R,
ϕ(a) = loga,
f ) ϕ : R∗ → R∗ ,
c) ϕ : GL(n, R) → R+ ,
d) ϕ : GL(2, R) → R,
ϕ(a) = 5a,
ϕ(A) = |detA|, g) ϕ : R∗ → R∗ ,
ϕ(A) = trA,
h) ϕ : M(2, R) → R,
ϕ(a) = 5a,
√
ϕ(a) = 3 a,
ϕ(A) = detA.
Zadanie 55 Udowodnij, że funkcja ϕ : G → G określona wzorem ϕ(a) = a2 jest homomorfizmem grup wtedy i tylko wtedy, gdy G jest grupą abelową.
Zadanie 56 Sprawdzić, że funkcja ϕGL(n, R) → R∗ określona wzorem ϕ(A) = detA jest
epimorfizmem grup. Wyznacz kerϕ.
Zadanie 57 Niech G będzie grupą, a ϕ : G × G → G funkcją daną wzorem ϕ((a, b)) = ab.
Udowodnij, że φ jest homomorfizmem grup wtedy i tylko wtedy, gdy G jest grupą abelową.
Zadanie 58 Udowodnij, że jeśli funkcja ϕ : G → G0 jest epimorfizmem grup, to każda
podgrupa H 0 grupy G0 jest postaci ϕ(H), gdzie H jest odpowiednią podgrupą grupy G.
Zadanie 59 Niech funkcja ϕ : G → G0 będzie homomorfizmem grup. Udowodnij, że jeśli
H 0 jest dzielnikiem normalnym grupy G0 , to ϕ−1 (H 0 ) jest dzielnikiem normalnym grupy G.
Wywnioskuj stąd, że kerϕ jest podgrupą grupy G.
Zadanie 60 Udowodnij, że funkcja ϕ : Z → Z określona wzorem ϕ(x) = x − 5 jest izomorfizmem grupy (Z, +) na grupę (Z, ⊕), gdzie x ⊕ y = x + y + 5 dla dowolnych x, y ∈ Z.
Zadanie 61 Udowodnij, że grupy M(2, R) i R4 są izomorficzne.
Zadanie 62 Udowodnij, że jeśli funkcja ϕ : G → G0 jest izomorfizmem grup, to funkcja
ϕ−1 : G0 → G jest izomorfizmem grup.
Zadanie 63 Wykaż, że
a) C<1,3> ∼
= C<5,9> ,
c) C<0,1> ∼
= C<0,3> ,
b) C<1,2> ∼
= C<4,7> ,
d) C<1,2> ∼
= C<4,5> .
Zadanie 64 Sprawdź, że dany zbiór M macierzy tworzy grupę względem mnożenia macierzy. Wykaż, że grupa ta jest izomorficzna z grupą Z.
("
a) M =
1 + a −a
a
1−a
#
)
:a∈Z ,
("
b) M =
1 − 2a
4a
−a
1 + 2a
#
)
:a∈Z .
Zadanie 65 Sprawdź, że funkcja ϕ : Z → M określona wzorem
("
ϕ(a) =
(−1)a
a
0
(−1)a
#
)
:a∈Z
jest
(Z,)⊕), gdzie a ⊕ b = (−1)a b + (−1)b a na grupę (M, ·), gdzie
("izomorfizmem grupy
#
(−1)a
a
M=
:a∈Z .
0
(−1)a
Zadanie 66 Udowodnij, że dana grupa nie jest izomorficzna z grupą Q:
a) Z
b) Q∗
Zadanie 67 Korzystając z twierdzenia o izomorfizmie grup wykaż, że:
a) R∗ /{−1, 1} ∼
= R+ ,
c) C/R ∼
= R,
b) R∗ /R+ ∼
= {−1, 1},
d) C∗ /C1 ∼
= R+ .