Ćwiczenie E3 BADANIE REZONANSU W OBWODZIE RLC

Laboratorium Podstaw Elektroniki
Wiaczesław Szamow
Ćwiczenie E3
BADANIE REZONANSU W OBWODZIE RLC
opr. tech. Krystyna Ługowska
Mirosław Maś
Uniwersytet Przyrodniczo - Humanistyczny
Siedlce 2011
1. Wstęp
Istnieje wiele układów fizycznych, które posiadają tzw. stan równowagi trwałej. Układ
wytrącony ze stanu równowagi trwałej wykonuje drgania, których częstotliwość fo zależy od
konstrukcji tego układu. Takie układy nazywa się oscylatorami a ich drgania oscylacjami.
Wskutek tłumienia (i związanych z tym strat energetycznych) drgania zanikają. Układ można
zmusić do drgań stosując zewnętrzne wymuszenie, ale wówczas układ drga z częstotliwością
f równą częstotliwości siły wymuszającej. Jeżeli częstotliwość f odbiega od częstotliwości
fo drgań własnych układu, to amplituda drgań układu jest niewielka. Oczywiście amplituda
drgań jest największa, gdy częstotliwość f zmian siły wymuszającej pokrywa się z
częstotliwością własną układu tj. gdy f = fo. Zjawisko to nazywa się rezonansem a
częstotliwość, przy której ono zachodzi nazywa się częstotliwością rezonansową. W
ćwiczeniu bada się zjawisko rezonansu zachodzącego w obwodzie RLC pod wpływem
harmonicznie zmiennego napięcia wymuszającego. W skład zestawu pomiarowego wchodzą:
1.
2.
3.
4.
generator funkcyjny SFG-2110
miernik uniwersalny MERATRONIK V 640
obwód RLC w obudowie
2 przewody koncentryczne z wtykami BNC
Przed wykonaniem ćwiczenia sprawdź czy zestaw pomiarowy jest kompletny. Do ćwiczenia
należy przygotować następujące zagadnienia teoretyczne:
•
•
•
•
•
•
•
•
liczby zespolone
oporność elektryczna, prawo Ohma
kondensator, pojemność elektryczna
cewka, indukcyjność cewki
napięcie harmoniczne i jego postać wskazowa
impedancja i zawada
zjawisko rezonansu
dobroć obwodu
3
2. Postać wskazowa napięcia harmonicznego
Drgania w obwodzie elektrycznym polegają na okresowych zmianach napięcia i prądu
płynącego w obwodzie. Najprostszym napięciem okresowym jest napięcie harmonicznie
zmienne w czasie. Zmienia się ono w czasie jak funkcja
U (t ) = U m cos(ωt + ϕ )
(1)
gdzie: Um - amplituda napięcia
ω - częstość kołowa (tzw. pulsacja)
φ - kąt przesunięcia fazowego
Niech T oznacza okres powtarzania się tego napięcia. Odwrotność okresu f = 1/T nazywa
się częstotliwością napięcia. W układzie SI jednostką częstotliwości jest hertz: Hz = 1/s.
Przykładowo, częstotliwość f =1kHz posiada napięcie, którego zmiany powtarzają się 1000
razy na sekundę. Ponieważ funkcja cos ma okres 2π radianów, to okres T, pulsacja ω i
częstotliwość f spełniają związki
ωT = 2π ,
a stąd
ω=
2π
= 2πf
T
Przebieg napięcia harmonicznego ilustruje Rys. 1
Rys. 1
Na osi czasu napięcie (1) jest przesunięte w stosunku do funkcji cos ωt o odcinek czasu
(φ/2π)T.
Gdy zasilamy napięciem harmonicznym obwód elektryczny złożony z elementów
liniowych, to wszystkie napięcia i prądy występujące w takim obwodzie są również
harmonicznie zmienne w czasie. Mają one tę samą pulsację ω , lecz mogą być przesunięte w
fazie. Amplitudy i kąty przesunięć fazowych napięć i prądów harmonicznych najwygodniej
jest obliczać za pomocą liczb zespolonych. Stosując postać wykładniczą liczb zespolonych,
napięcie harmoniczne da się wyrazić jako część rzeczywistą następującej funkcji zespolonej:
U (t ) = Re U m e j (ωt +ϕ ) = Re U m e jϕ e jωt
4
Liczbę zespoloną
)
U = U m e jϕ
(2)
nazywa się wskazem lub amplitudą zespoloną napięcia harmonicznego. Jak widać, wskaz (2)
zawiera jednocześnie informację o amplitudzie Um i kącie przesunięcia fazowego φ
napięcia (1). Geometrycznie, wskaz interpretujemy jako wektor płaszczyznowy (patrz Rys. 2)
o współrzędnych Umcosφ i Umsinφ.
Rys. 2
) j ωt
Całemu napięciu zespolonemu Ue odpowiada wektor o długości Um , który obraca się
wokół początku układu współrzędnych z prędkością kątową ω. Przy wyznaczaniu wskazów
jωt
napięciowych i prądowych czynnik e jest na końcu obliczeń pomijany.
3.
Opornik, kondensator i cewka
Najprostszymi elementami elektronicznymi są opornik, kondensator i cewka. W teorii
zakłada się, że są to elementy liniowe i że ich parametry nie zależą od wielkości
przykładanych napięć i prądów. Na schematach opornik, kondensator i cewkę oznacza się
odpowiednio symbolami:
Idealny opornik spełnia prawo Ohma
I=
5
1
U
R
które twierdzi, że natężenie prądu przepływającego przez opornik jest proporcjonalne do
napięcia przyłożonego do opornika. Współczynnik proporcjonalności G = 1/R nazywamy
przewodnością, a wielkość R opornością opornika. Oporność w układzie SI mierzy się w
omach: Ω = V / A. Zależność prądu od napięcia dla oporników rzeczywistych jest liniowa
tylko dla dostatecznie małych napięć (duże napięcia mogą opornik nawet uszkodzić). W
zapisie wskazowym prawo Ohma ma postać
)
) U
I =
R
(3)
Jak widać, opornik idealny nie wprowadza przesunięcia fazowego pomiędzy prądem i
napięciem, bo jego opór R wyraża się liczbą czysto rzeczywistą. Prąd płynący przez opornik
wykonuje pracę kosztem energii źródła zasilającego. Praca ta zamienia się na ciepło
rozpraszane w oporniku. Zatem opornik jest elementem stratnym.
Kondensator, w najprostszym przypadku, to układ dwóch przewodników pomiędzy
którymi umieszcza się najczęściej dielektryk. Przewodniki te nazywają się okładkami
kondensatora. Kondensator posiada zdolność gromadzenia ładunku i energii elektrycznej.
Przy tym ładunek q zgromadzony na okładkach jest proporcjonalny do napięcia U na
kondensatorze:
q = CU
Stałą proporcjonalności C nazywa się pojemnością elektryczną kondensatora. Jednostką
pojemności w układzie SI jest farad: F = A ⋅ s / V = Ω-1 ⋅ s. W teorii zakłada się, że
pojemność idealnego kondensatora nie zależy od napięcia, a jedynie od konstrukcji samego
kondensatora. Różniczkując jego ładunek q względem czasu otrzymujemy natężenie prądu
płynącego przez kondensator
i=C
dU
dt
Ponieważ prąd jest tu proporcjonalny do szybkości zmian napięcia, to kondensator dobrze
przewodzi prądy szybkozmienne, a źle prądy wolnozmienne. Różniczkując zamiast U
) j ωt
napięcie zespolone Ue , otrzymujemy związek jaki spełniają wskazy napięciowy i prądowy
dla kondensatora
)
)
I = jω C U
Wielkość 1 / jωC możemy traktować jako „urojoną oporność” kondensatora. Jej moduł
Xc =
6
1
ωC
(4)
nazywa się reaktancją kondensatora. Jak widać „opór” kondensatora maleje ze wzrostem
częstotliwości przykładanego napięcia. Mnożenie przez jedynkę urojoną j oznacza, że
zmiany prądu wyprzedzają w fazie o kąt π/2 zmiany napięcia.
Cewkę wykonuje się np. nawijając miedziany drut na rdzeń ferrytowy. Taki element
ma, między innymi, zdolność magazynowania energii magnetycznej. Jeżeli przez cewkę
płynie prąd zmienny, to wewnątrz niej powstaje zmienne pole magnetyczne. Zmienne pole
magnetyczne, zgodnie z prawem Faraday’a, indukuje w zwojach cewki napięcie elektryczne.
Przy tym dla idealnej cewki
U =L
di
dt
Stałą proporcjonalności L nazywa się indukcyjnością własną cewki. W układzie SI
indukcyjność mierzymy w henrach: H = V⋅ s/A =Ω ⋅ s. Indukcyjność cewki idealnej nie
zależy od natężenia prądu, a jedynie od jej konstrukcji. Różniczkując prąd zespolony Iˆe jωt
otrzymujemy wskazową postać „prawa Ohma” dla cewki
)
)
U = jω L I
(5)
Wielkość jωL można traktować jak „opór urojony” cewki dla napięć harmonicznych. Jego
moduł
X L = ωL
nazywa się reaktancją cewki. Jak widać „opór” cewki rośnie z częstotliwością, a zmiany
napięcia na cewce wyprzedzają w fazie o kąt π/2 zmiany prądu.
Zarówno idealny kondensator jak i idealna cewka są, w przeciwieństwie do opornika,
elementami bezstratnymi. Oznacza to, że pobraną podczas zasilania energię te elementy
oddają w całości podczas rozładowania. W kondensatorach i cewkach rzeczywistych
występują straty energetyczne związane chociażby z opornością ich doprowadzeń.
4. Drgania wymuszone w obwodzie RLC
Gdy dołączymy cewkę do naładowanego kondensatora, to zacznie on rozładowywać
się przez cewkę. Energia elektryczna zmagazynowana w kondensatorze zamienia się w
energię magnetyczną cewki. Z kolei tak naładowana cewka rozładowuje się przez
kondensator i jej energia magnetyczna zamienia się w energię elektryczną kondensatora, lecz
teraz będzie on przeciwnie spolaryzowany. Następnie kondensator znów rozładowuje się
przez cewkę a cewka przez kondensator, na którym napięcie powraca do polaryzacji
wyjściowej. Proces ten powtarza się periodycznie. Można pokazać, że napięcie elektryczne w
takim obwodzie zmienia się harmonicznie w czasie z częstotliwością
fo =
1
2π LC
7
(6)
gdzie C i L oznaczają pojemność kondensatora i indukcyjność cewki. Częstotliwość fo
nazywa się częstotliwością własną obwodu LC.
W obwodzie RLC (tj. złożonym z opornika, cewki i kondensatora) drgania napięcia
będą zanikały z uwagi na straty energetyczne na oporności R obwodu. Aby uzupełnić straty
energetyczne i otrzymać drgania o stałej amplitudzie, obwód RLC zasila się źródłem
napięcia harmonicznego. W ogólności częstotliwość f tego napięcia może być różna od
częstotliwości własnej fo obwodu. Jednak po upływie pewnego czasu napięcie zewnętrzne
wymusi w obwodzie drgania harmoniczne o częstotliwości równej częstotliwości napięcia
zasilającego. W zapisie wskazowym obwód RLC z wymuszeniem harmonicznym ilustruje
Rys. 3
Rys. 3
gdzie kondensator i cewkę reprezentują „opory urojone” 1/jωC i jωL , a U0 jest amplitudą
napięcia zasilającego. Traktując ten obwód jako dzielnik napięcia, prosto dostajemy wskaz
)
U R odpowiadający napięciu na oporniku R.
)
UR =
R
R + jωL +
1
jωC
U0 =
U0
 f
f 
1 + jQ − o 
f 
 fo
Ostatnią równość otrzymuje się wykorzystując wzór (6) , wzór ω = 2πf i wprowadzając
bezwymiarową wielkość
Q=
1 L
R C
(7)
zwaną dobrocią obwodu.
)
iθ
Wskaz U R = Ae jest liczbą zespoloną, której moduł A i argument Θ są
odpowiednio amplitudą i kątem przesunięcia fazowego napięcia na oporniku R. Obliczając te
wielkości dla otrzymanego wyżej wyrażenia dostajemy
8
A=
Uo
 f
f 
1 + Q 2  − 0 
f 
 f0
2
,
f
f 
tgΘ = Q o − 
fo 
 f
(8)
5. Krzywa rezonansowa i dobroć obwodu
Zgodnie z (8), jeżeli częstotliwość f napięcia zasilającego znacznie odbiega od
częstotliwości własnej fo obwodu, to drgania w obwodzie mają niewielką amplitudę. Jeżeli
częstotliwość f zbliża się do częstotliwości fo, to drgania wzrastają. Dla f = fo amplituda
drgań jest maksymalna i w obwodzie RLC zachodzi zjawisko rezonansu. Częstotliwość fo,
przy której drgania są maksymalne nazywamy częstotliwością rezonansową. Przy rezonansie
kąt przesunięcia fazowego zeruje się: Θ = 0 i drgania w obwodzie mają fazę zgodną z fazą
napięcia zasilającego. Wykres amplitudy drgań w funkcji częstotliwości nazywa się krzywą
rezonansową, a jej orientacyjny przebieg ilustruje Rys. 4
Rys. 4
Z elektronicznego punktu widzenia, obwód RLC jest filtrem środkowoprzepustowym o 3dB paśmie przenoszenia ∆f jak na Rys. 4 . Im pasmo to jest węższe, tym
bardziej selektywny jest obwód RLC, czyli tym bardziej taki obwód tłumi częstotliwości
różne od częstotliwości rezonansowej fo. Miarą selektywności obwodu jest stosunek
Q' =
fo
∆f
9
(9)
3dB pasmo przenoszenia obwodu dostajemy kładąc we wzorze (8)
 f
f 
Q − 0  = ±1
f

 0 f 
Jeżeli pasmo przenoszenia jest wąskie tj. gdy ∆f << fo , to krzywa rezonansowa w otoczeniu
częstotliwości f0 jest symetryczna i można położyć
f = f0 ±
∆f
2
gdzie znaki ± bierzemy dla górnej i dolnej częstotliwości granicznej pasma przenoszenia.
Stąd dla tych częstotliwości mamy
∆f
f
= 1±
f0
2 f0
f0
=
f
i
∆f
1
≈ 1m
∆f
2 f0
1±
2 f0
Przybliżenie jest uzasadnione, bo z założenia stosunek ∆f/fo <<1. Stąd dla 3dB pasma
przenoszenia dostajemy
Q
∆f
≈1
f0
Oszacowanie to jest tym lepsze im większa jest dobroć układu. A zatem dobroć Q
zdefiniowana wzorem (7) i selektywność Q’ zdefiniowana wzorem (9) pokrywają się dla
obwodów wysokoselektywnych ( w praktyce dla Q > 10). Generalnie, dobroć oscylatorów
elektrycznych jest mniejsza od dobroci oscylatorów mechanicznych. Dlatego np.
częstotliwość generatorów wzorcowych stabilizuje się za pomocą tzw. kwarców, czyli
odpowiednio oszlifowanych kryształów kwarcu. Dobroć Q obwodu rezonansowego z
kwarcem wielokrotnie przewyższa dobroć obwodów RLC. Jednak największą dobroć mają
oscylatory atomowe i cząsteczkowe. Zostało to wykorzystane, między innymi, przy
konstrukcji tzw. zegara amoniakalnego i zegara cezowego.
Wysoka dobroć obwodu oznacza fizycznie, że obwód ma małe straty energetyczne.
Zgodnie z teorią, drgania obwodu RLC po odłączeniu napięcia zasilającego zanikają
wykładniczo w czasie (patrz Rys. 5).
10
Rys. 5
Dobroć obwodu jest tym większa im mniejsze są straty energetyczne. Nietrudno pokazać, że
wyrażenie
Q = 2π
energia calkowita w obwodzie
energia tracona w okresie
pokrywa się z definicją (7). Dla napięć oscylujących naturalną jednostką czasu jest okres T
oscylacji. Niech N oznacza ilość oscylacji, po których amplituda drgań w obwodzie
zmniejsza się np. o 3dB, czyli
−
e
R
NT
2L
=
1
2
Dla małostratnego obwodu RLC można przyjąć, że okres drgań tłumionych wynosi
T = 2π LC , stąd:
R
R
N
NT = N
2π LC = π
2L
2L
Q
Logarytmując poprzednią równość dostajemy w przybliżeniu
Q=
2π
N ≈ 9N
ln 2
(10)
Jak widać, dobroć układu jest proporcjonalna do ilości oscylacji, które układ może wykonać
bez zasilania zewnętrznego. Przykładowo, dla układów o dobroci Q ≈ 10 amplituda drgań
maleje o 3dB po każdej oscylacji. Zatem obwód o takiej dobroci jest „gorszy” niż zwykła
huśtawka.
11
6. Przebieg pomiarów
Stosowany w ćwiczeniu obwód RLC składa się z wymiennego induktora o
indukcyjności 1mH, 5mH lub 20mH. kondensatora nastawnego o regulowanej pojemności
70 ÷ 1470pF i trzech oporności 222Ω, 444Ω, 672Ω, które można wybierać przełącznikiem P.
Całość umieszczono w obudowie, gdzie dwa złącza BNC służą odpowiednio do podłączenia
generatora sinusoidy i woltomierza.
a. Połącz układ pomiarowy jak na Rys. 6.
Rys. 6
Przerywanym prostokątem oznaczono obwód RLC w obudowie. Woltomierz V służy do
mierzenia napięcia UR na wybranej oporności. Oporności 222Ω, 444Ω, 672Ω wybiera się
ustawiając przełącznik P w pozycji 1, 2 i 3 odpowiednio.
UWAGA: Generator do sieci włącza prowadzący zajęcia
b. ustaw oporność R = 222Ω, pojemność C = 1470pF i wyznacz częstotliwość
rezonansową fo obwodu RLC.
c. następnie ustaw amplitudę napięcia generatora tak, aby woltomierz przy rezonansie
wskazał UR = 5V. Zmierz napięcie UR zmieniając częstotliwość generatora następująco:
od 10kHz do 50kHz co 5kHz;
od 50kHz do 70kHz co 2kHz;
od 70kHz do 110kHz co 5kHz,
uzyskane wyniki zapisz w Tab. 1
12
d. powtórz pomiary z punktów b i c dla oporności 444Ω i 672Ω. Wyniki umieść w Tab. 1
Napięcie UR[V] dla oporu
444Ω
672Ω
222Ω
f [kHz]
fo
10
15
…
Tab. 1
e. zmierz częstotliwość rezonansową f0 dla R=222 Ω zmieniając pojemność C w
przedziale 70 ÷ 1470pF, ustawiając pokrętło odpowiednio w pozycji 0 ÷ 10. Wyniki umieść
w Tab. 2
C[pF]
70
95
140
190
270
360
480
650
860
1110 1470
cz. dośw. fo
[kHz]
cz. teor. fo
[kHz]
Tab. 2
7. Opracowanie wyników
1. oblicz częstotliwości rezonansowe f0 dla L = 5mH i pojemności jak w Tab. 2. Oszacuj
błąd w przypadku pojemności 1470pF.
2. na jednym wykresie różnymi kolorami narysuj trzy krzywe rezonansowe dla R = 222Ω,
R =444Ω i R = 672Ω. Wyznacz 3dB pasma przenoszenia i selektywności Q’1, Q’2, Q’3
dla tych oporności.
3. na jednym wykresie narysuj zależność teoretyczną i doświadczalną częstotliwości
rezonansowej od pojemności. Porównaj obie krzywe i wyciągnij wnioski.
4. oblicz dobrocie Q1, Q2, Q3 ze wzoru i oszacuj błędy. Porównaj selektywności z p.3 i
dobrocie z p.4 w formie tabeli.
5. wyciągnij wnioski z pomiarów i obliczeń. Elementy obwodu RLC zostały połączone w
innej kolejności niż na Rys. 6 – narysuj faktyczny schemat tego obwodu.
Literatura
[1] M. Rusek, J. Pasierbiński, Elementy i układy elektroniczne w pytaniach i odpowiedziach,
WNT, Warszawa 2006
[2] D.Halliday, R.Resnick, J.Walker, Kurs fizyki, PWN, tom 3, Warszawa 2003.
[3] Wprowadzenie do laboratorium Podstaw Elektroniki
13