Matematyka Dyskretna – Elektronika 04.03.2016 Lista 2. Relacje

Matematyka Dyskretna – Elektronika
Lista 2. Relacje, funkcje i zasada szufladkowa.
04.03.2016
1. Zbadaj, które z poniższych relacji są zwrotne, symetryczne, przechodnie oraz słabo antysymetryczne.
Które z nich są relacjami równoważności, a które relacjami porządku?
a) prostopadłość na zbiorze prostych;
b) relacja mniejszości na R;
c) relacja podzielności x|y na N+ ;
d) relacja podzielności x|y na Z \ {0};
e) |x| = |y| na R;
f) xy > 0 na R.
2. Rzucamy dwiema kostkami. Dwa rzuty uznajemy za równoważne, gdy suma oczek jest taka sama.
Ile klas abstrakcji wyznacza ta relacja?
3. Narysuj diagram Hassego dla relacji podzielności w zbiorze Dn dzielników liczby n dla: a) n = 10; b)
n = 24; c) n = 36; d) n = 42. W każdym przypadku podaj przykłady łańcuchów i antyłańcuchów
maksymalnych.
4. Wskaż (o ile istnieją) elementy maksymalne, minimalne, największe oraz najmniejsze w poniższym
diagramie Hassego:
rHH
rHH
r
r
Hr
Hr
rH
r
r
r
HH
H
Hr
5. W rodzinie niepustych podzbiorów zbioru {1, 2, . . . , 10} z relacją inkluzji znajdź elementy maksymalne, minimalne, największe oraz najmniejsze. Ponadto, opisz łańcuchy maksymalne oraz wskaż
antyłańcuch o największej liczbie elementów.
6. Niech f : R → R. Wyznacz f (A) oraz f −1 (B) jeżeli:
a) f (x) = 1 − x2 , A = (0, 2], B = [−3, 1); b) f (x) = ⌊x⌋, A = (−1, 7/5], B = {π}.
7. Rzucasz dwiema różnymi kostkami. Przy ilu rzutach możesz mieć pewność, że:
a) powtórzą się liczby oczek na obu kościach;
b) powtórzy się suma oczek?
Czy coś się zmieni, jeżeli kostki będą jednakowe?
8. Przy jak dużej grupie osób można mieć pewność, że znajdą się wśród nich dwie, obchodzące urodziny
tego samego dnia?
9. Dla jakich wartości n następujące zdanie jest prawdziwe: przy dowolnym rozmieszczeniu 61 kul
pomiędzy:
a) cztery szufladki któraś z szufladek zawiera co najmniej n kul;
b) cztery szufladki któraś z szufladek zawiera co najwyżej n kul;
c) n szufladek któraś z szufladek zawiera co najmniej 13 kul?
10. Czy pola szachownicy 5 × 5 można obejść ruchem konika tak, aby obejść wszystkie pola, na każdym
polu być tylko raz i wrócić do punktu wyjścia?
11. Spotkała się pewna grupa osób. Niektóre osoby przywitały się między sobą przez uścisk dłoni, a
niektóre nie. Uzasadnij, że istnieją dwie osoby, które wymieniły taką samą liczbę uścisków.
12. Wykaż, że ostatnie cyfry ciągu Fibonacciego powtarzają się cyklicznie.
13. Danych jest 101 liczb naturalnych z przedziału [1, 200]. Wykaż, że są wśród nich:
a) dwie względnie pierwsze;
b) dwie takie, że jedna z nich dzieli drugą.