ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH Z MATEMATYKI

ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH
Z MATEMATYKI
AUTORZY: Zespół w12i
SPIS TREŚCI
LICZBY RZECZYWISTE………………………………………………………………………….2
FUNKCJE…………………………………………………………………………………………11
CIĄGI……………………………………………………………………………………………...27
GEOMETRIA ANALITYCZNA………………………………………………………………….36
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, STATYSTYKA………………………………….44
1
LICZBY RZECZYWISTE
Zadanie 1.
Przez jakie wyrażenie należy przemnożyć sumę
A)
B)
, aby otrzymać sumę
C)
?
D)
Zadanie 2.
Liczbę
można przedstawić w postaci
A)
B)
C)
D)
Zadanie 3.
jest równa
Liczba
A)
B)
C)
D)
Zadanie 4.
jest równa
Liczba
A) 2
B)
C) 1
D) 4
Zadanie 5.
Liczba
A) ujemna
jest
B) niewymierna
C) dodatnia
D) mniejsza od 1
Zadanie 6.
Suma liczby i
A)
tej liczby jest równa 230. Równaniem opisującym tę zależność jest
B)
C)
2
D)
Zadanie 7.
Liczba
jest równa
A)
B)
C)
D)
Zadanie 8.
Liczbą wymierną nie jest:
A)
B)
C)
D)
Zadanie 9.
Liczba
A) 5
jest podzielna przez
B) 4
C) 6
D) 16
Zadanie 10.
Wskaż nierówność, którą spełnia liczba
A)
B)
.
C)
D)
Zadanie 11.
Wartość wyrażenia
A) 3
B) 1
C) 9
jest równa
D)
Zadanie 12.
Po skróceniu wyrażenie
A) 6
B)
ma postać
C)
D)
3
Zadanie 13.
Liczba 120 jest o 50% większa od liczby . Wynika stąd, że
A)
B)
C)
D)
Zadanie 14.
jest równa
Liczba
A) 2
B)
C) 1
D)
Zadanie 15.
Liczba
A) 12
jest podzielna przez
B) 81
C) 11
D) 9
Zadanie 16.
Wartość wyrażenia
A) 591
B) 276
jest równa
C) 21
D) 27
Zadanie 17.
Wyrażenie
A)
po rozłożeniu na czynniki przyjmuje postać:
B)
C)
D)
Zadanie 18.
Jeżeli
A)
, to liczba
B)
C)
jest równa
D)
Zadanie 19.
Liczba
A)
jest równa
B)
C)
D)
4
Zadanie 20.
jest równa
Liczba
A)
B)
C)
D)
Zadanie 21.
jest równa
Liczba
A)
B)
C)
D)
Zadanie 22.
jest równa
Liczba
A)
B)
C)
D)
Zadanie 23.
jest równa
Liczba
A)
B) 19
C) 0
D) 5
Zadanie 24.
O liczbie wiadomo, że
A)
B)
. Zatem
C)
D)
Zadanie 25.
jest równa
Liczba
A) 2
B)
C) 1
D)
Zadanie 26.
Różnica
A) 2
jest równa
B) 1
C) 3
D) 0
5
Zadanie 27.
jest równa
Liczba
A) -2
B)
C) 4
D) -1
Zadanie 28.
Wyrażenie
A)
jest określone dla wszystkich liczb spełniających warunek
B)
C)
D)
Zadanie 29.
jest równa
Liczba
A) 1
B) 4
C) 2
D) 0
Zadanie 30.
jest równa
Liczba
A)
B) 3
C)
D)
Zadanie 31.
jest równy
Iloczyn
A) 1
B)
C)
D)
Zadanie 32.
Oblicz wartość wyrażenia
.
Zadanie 33.
Oblicz wartość wyrażenia
.
6
Zadanie 34.
Wiedząc, że
i
w zależności od
, wyznacz
Zadanie 35.
Wiadomo, że
w zależności od .
. Wyznacz
Zadanie 36.
Nie używając kalkulatora, porównaj liczby:
oraz
Zadanie 37.
jest równa liczbie
Liczba
A) 2
B) -1
C) 0
D) 1
Zadanie 38.
jest równa
Liczba
A)
B)
C)
D)
Zadanie 39.
jest równa
Liczba
A) 2
B) -1
C) 1
D) -2
Zadanie 40.
Jeśli
A)
oraz
B)
jest równa
, to liczba
C)
D)
7
i .
Zadanie 41.
Maszt o wysokości 26 m rzuca cień o długości 20 m. Miara kąta, jaki tworzy promień słoneczny z
powierzchnią ziemi wynosi około
A)
B)
C)
D)
Zadanie 42.
jest równa
Liczba
A) -8
B) -6
C)
D)
Zadanie 43.
Wiadomo, że
. Zatem liczba
A) niewymierna
jest
C) większa od 2
B) wymierna
Zadanie 44.
należy do przedziału
Liczba
A)
B)
C)
D)
Zadanie 45.
Jeżeli
A)
to liczba jest równa
B)
C)
D) 2
Zadanie 46.
. Wynika stąd, że
Liczba
A)
B)
C)
D)
8
D) mniejsza od 1
Zadanie 47.
Wiadomo, że
A)
równa się
. Wtedy
B)
C)
D)
Zadanie 48.
Wartość wyrażenia
A) -8
B) -2
jest równa
C) -3
D) -3,5
Zadanie 49.
jest równa
Liczba
A)
B)
C)
D)
Zadanie 50.
jest równa
Liczba
A) 6
B)
C) -6
D)
Zadanie 51.
Która z liczb jest równa 2?
A)
B)
C)
D)
Zadanie 52.
Wskaż prawdziwą równość
A)
B)
C)
D)
Zadanie 53.
Wyrażenie
A)
jest określone dla wszystkich liczb spełniających warunek
B)
C)
D)
9
Zadanie 54.
jest równa
Liczba
A) 1
B) 0
C) 2
D) 3
Zadanie 55.
jest równa
Liczba
A)
B)
C)
D) 2
10
FUNKCJE
Zadanie 1.
Na rysunku znajduje się fragment wykresu funkcji kwadratowej
Wskaż zdanie prawdziwe.
A) Wykres funkcji przecina oś
w punkcie
.
B) Dla argumentu 6 funkcja przyjmuje wartość 2.
C) Funkcja jest rosnąca w przedziale
.
D) Funkcja ma dwa miejsca zerowe, należące do przedziału
Zadanie 2.
Jeżeli
A) 0,5
B) 0,495
to liczba
C) 0,99 D) 0,45
jest równa
Zadanie 3.
Na rysunku dany jest wykres funkcji
.
11
, określonej na zbiorze
.
.
Funkcja
A)
jest malejąca w przedziale:
B)
C)
D)
Zadanie 4.
Dana jest funkcja
dla
A)
B)
określona wzorem
. Ta funkcja przyjmuje wartości niedodatnie
C)
D)
Zadanie 5.
Która z podanych prostych nie przecina wykresu funkcji
A)
B)
C)
D)
?
Zadanie 6.
Na rysunku 1 jest przedstawiony wykres funkcji
.
Funkcja przedstawiona na rysunku 2 jest określona wzorem
A)
B)
C)
D)
Zadanie 7.
Wykres funkcji kwadratowej
A)
B)
C)
przecina oś
D)
12
w punkcie
Zadanie 8.
Wskaż wykres funkcji, która w przedziale
ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
Zadanie 9.
Kąt
A)
. Wtedy miara kąta
jest ostry oraz
B)
C)
jest równa
D)
Zadanie 10.
Wiadomo, że kąt jest kątem ostrym i
A)
B)
C)
. Wtedy
D)
Zadanie 11.
Stopień wielomianu
A) 2 B) 3 C) 1 D) 4
jest równy
13
równa się
Zadanie 12.
Wykres funkcji określonej wzorem
i o 2 jednostki w prawo wzdłuż osi
określonej wzorem
A)
B)
C)
D)
przesuwamy o 4 jednostki w dół wzdłuż osi
. Otrzymujemy w ten sposób wykres funkcji
Zadanie 13.
Największą wartość w przedziale
dla argumentu
A) -8
B) 0
C) -3,5
D) -2
funkcja kwadratowa
przyjmuje
Zadanie 14.
Wykres funkcji
A)
B)
C)
przechodzi przez punkty
D)
. Wtedy
Zadanie 15.
Jaki jest wzór funkcji kwadratowej, której wykres przedstawiono na rysunku?
A)
B)
C)
14
D)
Zadanie 16.
Wykres funkcji
A) 14
B)
gdy liczba jest równa
przechodzi przez punkt
C) 4
D) -14
Zadanie 17.
Kąt
A)
jest ostry oraz
B)
. Zatem
C)
D)
Zadanie 18.
Na rysunku 1 jest przedstawiony wykres funkcji
.
Funkcja przedstawiona na rysunku 2 jest określona wzorem
A)
B)
C)
D)
Zadanie 19.
Funkcja
A) nie ma miejsc zerowych
B) ma 2 miejsca zerowe
C) ma 3 miejsca zerowe
D) ma 1 miejsce zerowe
Zadanie 20.
Punkt jest punktem przecięcia się wykresów funkcji
w układzie współrzędnych w ćwiartce
A) drugiej B) pierwszej C) trzeciej D) czwartej
15
i
. Punkt
leży
Zadanie 21.
Wykres funkcji określonej na zbiorze liczb rzeczywistych:
A) musi mieć punkt wspólny z osią
,
B) może mieć dwa punkty wspólne z osią
,
C) musi mieć punkt wspólny z osią
,
D) przechodzi przez początek układu współrzędnych.
Zadanie 22.
Wartość wielomianu
A) 12 B) 9 C) -24
jest równa
dla
D) -9
Zadanie 23.
Największa wartość funkcji
A) 2 B) 5 C) 8 D) 1
wynosi
Zadanie 24.
Dany jest wykres funkcji
. Dziedziną funkcji
jest przedział
A)
B)
C)
D)
16
Zadanie 25.
Wartość wyrażenia
A) 1
B)
C)
jest równa
D)
Zadanie 26.
Rysunek przedstawia wykres funkcji
.
Wskaż wykres funkcji
.
Zadanie 27.
Funkcje
A)
przyjmują równą wartość dla
i
B)
C)
D)
17
Zadanie 28.
Na rysunku poniżej przedstawiony jest wykres funkcji liniowej
.
Funkcja to może być określona wzorem
A)
D)
B)
C)
Zadanie 29.
Do wykresu funkcji liniowej
stąd, że
A)
B)
należą punkty
C)
. Wynika
D)
Zadanie 30.
O funkcji wiemy, że tylko dla dwóch argumentów przyjmuje wartość
określona wzorem
A) ma tylko cztery miejsca zerowe
B) może mieć więcej niż pięć miejsc zerowych
C) ma tylko dwa miejsca zerowe
D) ma tylko trzy miejsca zerowe
. Zatem funkcja
Zadanie 31.
Wierzchołek paraboli opisanej wzorem
A) II ćwiartki układu współrzędnych
B) III ćwiartki układu współrzędnych
należy do
18
C) I ćwiartki układu współrzędnych
D) IV ćwiartki układu współrzędnych
Zadanie 32.
Wskaż funkcję, której wykres przecina prostą o równaniu
współrzędnych.
A)
B)
w punkcie o ujemnych
C)
D)
Zadanie 33.
Dziedziną wyrażenia
A)
D)
jest zbiór
B)
C)
Zadanie 34.
Suma wszystkich współczynników wielomianu
wynosi
A) 1
B)
C)
D) 0
(po uporządkowaniu)
Zadanie 35.
Do wykresu funkcji
A)
B)
należy punkt
C)
D)
. Wówczas
Zadanie 36.
Zbiorem wartości funkcji
A)
B)
jest przedział
C)
D)
19
Zadanie 37.
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji liniowej
Funkcja
.
jest określona wzorem
A)
B)
C)
D)
Zadanie 38.
Kąt
jest ostry i
A)
należy do przedziału
. Wtedy liczba
B)
C)
D)
Zadanie 39.
Korzystając z danego wykresu funkcji
A)
, wskaż nierówność prawdziwą
B)
C)
20
D)
Zadanie 40.
Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji
.
Zbiorem wartości tej funkcji jest
A)
B)
C)
D)
Zadanie 41.
Funkcja wykładnicza określona wzorem
A)
B)
jest malejąca dla
D)
C)
Zadanie 42.
Wierzchołek paraboli
A)
B)
leży na prostej o równaniu
C)
D)
Zadanie 43.
jest rosnąca, gdy
Funkcja
A)
B)
C)
D)
Zadanie 44.
Wykres funkcji
A) pokrywają się
B) mają jeden punkt wspólny
i prosta
21
C) mają dwa punkty wspólne
D) są rozłączne
Zadanie 45.
Zbiór wartości funkcji kwadratowej
rysunku przedstawiono wykres funkcji
jest rozłączny z przedziałem
. Na którym
?
Zadanie 46.
Funkcja jest funkcją kwadratową, dla której
będącej wykresem tej funkcji jest prosta
A)
B)
C)
. Osią symetrii paraboli
D)
Zadanie 47.
Wartość wyrażenia
A) 2
B) 3
jest równa
C) 0
D) 1
Zadanie 48.
Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział
A)
B)
C)
D)
Zadanie 49.
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji liniowej
22
.
.
Funkcja
jest określona wzorem
A)
B)
C)
D)
Zadanie 50.
Liczba 1 jest wartością wyrażenia
A)
B)
C)
D)
Zadanie 51.
Dziedziną funkcji
A)
B)
określonej wzorem
C)
jest zbiór
D)
Zadanie 52.
Punkt
A)
należy do wykresu funkcji:
B)
C)
D)
Zadanie 53.
Wykres funkcji
A) o 2 jednostki w górę
B) o 2 jednostki w dół
C) o 2 jednostki w lewo
D) o 2 jednostki w prawo
powstaje z przesunięcia wykresu funkcji
23
Zadanie 54.
Dany jest wykres funkcji
A)
. Dziedziną funkcji
B)
C)
jest przedział
D)
Zadanie 55.
Kąt
jest ostry i
A)
B)
. Wówczas
C)
D)
Zadanie 56.
Wykres funkcji kwadratowej
równaniu
A)
B)
nie ma punktów wspólnych z prostą o
C)
D)
Zadanie 57.
Wiadomo, że tangens kąta ostrego
A)
B)
jest równy . Wobec tego:
C)
Zadanie 58.
Funkcja
określona jest wzorem
24
D)
Prawdziwa jest nierówność
A)
B)
C)
D)
Zadanie 59.
Wskaż
A)
, dla którego funkcja liniowa
B)
C)
jest malejąca.
D)
Zadanie 60.
Funkcja przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej liczbę jej dzielników będących liczbami
naturalnymi. Wobec tego
jest równe:
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
Zadanie 61.
Do wykresu funkcji
A)
B)
należy punkt o współrzędnych
C)
D)
Zadanie 62.
Punkt jest punktem przecięcia się wykresów funkcji
układzie współrzędnych w ćwiartce
A) czwartej
B) trzeciej
C) pierwszej
D) drugiej
i
. Punkt
Zadanie 63.
Zbiorem wartości funkcji
A)
B)
jest
C)
D)
Zadanie 64.
Wielomian
A) tylko wartości ujemne
B) wartości niedodatnie
C) wartości nieujemne
D) tylko wartości dodatnie
dla dowolnej liczby rzeczywistej
25
przyjmuje
leży w
Zadanie 65.
Zbiór wartości funkcji kwadratowej
rysunku przedstawiono wykres funkcji
jest rozłączny z przedziałem
?
26
. Na którym
CIĄGI
Zadanie 1.
Suma ciągu arytmetycznego jest określona wzorem
. Drugi wyraz tego ciągu jest
równy
A) 15
B) 12
C) 3
D) 18
Zadanie 2.
Jeśli trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy 4, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy
to drugi wyraz jest równy
A) -8
B) 2
C) -2
D) 8
Zadanie 3.
Wiadomo, że liczba jest liczbą naturalną dodatnią i liczby
początkowymi wyrazami ciągu geometrycznego
, gdzie
A)
D)
B)
C)
są trzema
. Wyraz ogólny tego ciągu to
Zadanie 4.
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy
, a drugi wyraz jest równy . Iloraz
tego ciągu jest równy
A)
B)
C)
D)
Zadanie 5.
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy
ciągu to liczba
A)
B)
C) 7
D) 1
27
, a drugi wyraz
. Różnica tego
,
Zadanie 6.
Na tablicy wypisano kolejne wyrazy pewnego ciągu arytmetycznego
Ile liczb napisano na tablicy?
A) 19
B) 17
C) 20
D) 18
Zadanie 7.
Suma początkowych wyrazów ciągu
ciągu
A) 55
określona jest wzorem
. Piąty wyraz
jest równy
B) 7
C) 19
D) 23
Zadanie 8.
Ciąg
. Ciąg
dany jest wzorem,
A) rosnącym
B) geometrycznym
C) malejącym
jest ciągiem
D) arytmetycznym
Zadanie 9.
W ciągu arytmetycznym
oraz
. Wtedy suma
jest równa
A) 1200
B) 585
C) 600
D) 575
Zadanie 10.
Iloczyn pierwszych 5 wyrazów ciągu geometrycznego danego wzorem
równy
A)
B)
C)
D)
28
, gdzie
jest
Zadanie 11.
Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym
A)
B)
. Wynika stąd, że
C)
D)
Zadanie 12.
Dany jest ciąg arytmetyczny
. Trzydziesty wyraz tego ciągu jest równy
A) -136 B) 104 C) 100 D) -132
Zadanie 13.
Ile wyrazów ma ciąg geometryczny
, w którym
, natomiast ostatni wyraz
jest równy 4000?
A) 6
B) 3
C) 5
D) 4
Zadanie 14.
tworzą rosnący ciąg geometryczny. Liczba
Liczby
A)
B)
C)
może być równa
D)
Zadanie 15.
Suma ciągu arytmetycznego jest określona wzorem
. Drugi wyraz tego ciągu jest
równy
A) 12
B) 20
C) 16
D) 8
Zadanie 16.
Ciąg
określony jest wzorem
, gdzie
wyrazów tego ciągu jest równa
A) 2
B) 3
C) 7
D) 4
29
. Liczba niedodatnich
Zadanie 17.
Dany jest ciąg geometryczny o wyrazie ogólnym
. Liczba wyrazów tego
, gdzie
ciągu mniejszych od 128 jest równa
A) 5
B) 4
C) 7
D) 6
Zadanie 18.
Dany jest ciąg
, w którym
. Jeśli jest liczbą naturalną
nieparzystą, to:
A)
B)
C)
D)
Zadanie 19.
Ciąg
jest ciągiem geometrycznym o ilorazie
, w którym
. Suma
jest równa
A) 68
B) 34
C) 136
D) 289
Zadanie 20.
Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym
, gdzie
. Liczba wyrazów tego ciągu
mniejszych od 64 jest równa
A) 19
B) 18
C) 21
D) 20
Zadanie 21.
Ciąg
A)
jest arytmetyczny. Wobec tego
B)
C)
D)
30
Zadanie 22.
Dany jest ciąg
o wyrazie ogólnym
A)
. Wówczas
, gdzie
B)
C)
D)
Zadanie 23.
Pierwszy wyraz malejącego ciągu geometrycznego
należy do zbioru
A) -2
jest równy
. Wobec tego iloraz ciągu
B)
C)
, a iloraz tego ciągu
jest równy
D) 2
Zadanie 24.
W ciągu geometrycznym rosnącym
wyraz
jest równy 6, a wyraz
jest równy 48. Wskaż
wzór na -ty wyraz ciągu
A)
B)
C)
D)
Zadanie 25.
Wyraz ogólny ciągu
A) 2 lub -2
B) 1
jest równy
C) -4 lub 4
. Zatem
równa się
D) 0
Zadanie 26.
są trzema początkowymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wówczas
Liczby
trzeci wyraz tego ciągu jest równy:
A) 192
B) 216
C) 24
D) 60
Zadanie 27.
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 9, a różnica wynosi 7. Wyrazem tego ciągu jest
liczba
A) 44
B) 54
C) 19
D) 12
31
Zadanie 28.
W ciągu arytmetycznym mamy
A) 12
B) 16
C) 8
. Oblicz
.
D) 4
Zadanie 29.
Dany jest ciąg geometryczny o wyrazie ogólnym
. Trzeci wyraz tego ciągu jest
równy
A) 135
B) 45
C) -135
D) -45
Zadanie 30.
Krawędzie prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą ciąg arytmetyczny o
pierwszym wyrazie 5 i różnicy 2. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu.
Zadanie 31.
Wykaż, że liczby
są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
Zadanie 32.
Liczby
są w podanej kolejności pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu
arytmetycznego. Oblicz .
Zadanie 33.
Udowodnij że w ciągu geometrycznym o parzystej liczbie wyrazów stosunek sumy wyrazów
stojących na miejscach parzystych do sumy wyrazów stojących na miejscach nieparzystych jest
równy ilorazowi tego ciągu.
32
Zadanie 34.
Długości boków trójkąta
są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie . Wykaż,
że miary kątów trójkąta zbudowanego z odcinków o długościach równych długościom wysokości
trójkąta
są równe miarom kątów trójkąta
.
Zadanie 35.
Dla jakich wartości i liczby
są trzema kolejnymi wyrazami zarówno ciągu
oraz
arytmetycznego, jak i geometrycznego?
Zadanie 36.
Trzeci wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 10, a siódmy 42. Wyznacz pierwszy wyraz i
różnicę tego ciągu.
Zadanie 37.
Znajdź , dla którego liczby
w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.
Zadanie 38.
Wykaż, że jeżeli ciąg
jest arytmetyczny, to ciąg
określony wzorem
jest
geometryczny.
Zadanie 39.
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego
jest równy 6, a iloraz dziesiątego wyrazu i wyrazu
szóstego równy jest 16. Wiedząc że ciąg
nie jest monotoniczny znajdź
A. jego iloraz,
B. jego piąty wyraz,
C. wzór na wyraz ogólny ciągu.
Zadanie 40.
Wykaż, że jeżeli liczby
i
i
tworzą ciąg arytmetyczny, który nie jest stały, to liczby
również tworzą ciąg arytmetyczny.
33
Zadanie 41.
Ciąg
jest ciągiem geometrycznym. Wykaz, że ciąg
jest również ciągiem geometrycznym.
określony wzorem
Zadanie 42.
Liczby
, w podanej kolejności, tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz .
Zadanie 43.
Dany jest ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie
dla której suma częściowa
jest równa 780.
i różnicy
. Wyznacz liczbę ,
Zadanie 44.
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy -5, a suma dwudziestu początkowych wyrazów
tego ciągu jest równa 1230. Wyznacz różnicę tego ciągu.
Zadanie 45.
Ciąg
jest ciągiem geometrycznym.
a. Oblicz iloraz tego ciągu.
b. Zapisz -ty wyraz tego ciągu w postaci
c. Oblicz sumę ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu.
Zadanie 46.
Wyznacz iloraz niezerowego ciągu geometrycznego, w którym suma 10 początkowych wyrazów
jest 5 razy większa od sumy pierwszych 5 wyrazów.
Zadanie 47.
Współczynniki
funkcji kwadratowej
w podanej kolejności tworzą ciąg
arytmetyczny. Jednym miejscem zerowym jest 2. Punkt o współrzędnych
należy do
wykresy tej funkcji. Znajdź drugie miejsce zerowe oraz wartości współczynników.
34
Zadanie 48.
Wyznacz wszystkie wartości
, dla których pierwiastki wielomianu
są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu
geometrycznego.
Zadanie 49.
Ciąg
jest określony wzorem
jest arytmetyczny.
. Uzasadnij (na podstawie definicji) że ciąg
Zadanie 50.
Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
dla
. Oblicz pierwszy wyraz ciągu i jego iloraz.
35
wyraża się wzorem
GEOMETRIA ANALITYCZNA
Zadanie 1.
Punkt
jest środkiem okręgu przedstawionego na rysunku. Równanie tego okręgu ma postać:
A)
B)
C)
D)
Zadanie 2.
Nierówność
A) koło
przedstawia na płaszczyźnie
B) punkt
C) okrąg
D) zbiór pusty
Zadanie 3.
Wskaż równanie symetralnej odcinka
A)
B)
, gdy
.
c)
D)
36
Zadanie 4.
Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu
A)
B) 2
C)
jest równy
D)
Zadanie 5.
Środkiem okręgu o równaniu
A)
B)
jest punkt
C)
D)
Zadanie 6.
Prosta ma równanie
A)
. Wskaż równanie prostej prostopadłej do .
B)
C)
D)
Zadanie 7.
Punkt
przekątną
jest wierzchołkiem rombu
. Przekątna
A)
. Prosta o równaniu
zawiera
zawiera się w prostej o równaniu
B)
C)
D)
Zadanie 8.
Punkty
są środkami dwóch sąsiednich boków kwadratu
i
tego kwadratu jest równe
A) 100
B) 10
C) 40
D) 25
37
. Pole
Zadanie 9.
Przeciwległe wierzchołki kwadratu mają współrzędne
. Promień
okręgu wpisanego w ten kwadrat jest równy
A)
B)
C)
D)
Zadanie 10.
Wskaż równanie prostej, która zawiera średnicę okręgu o równaniu
A)
B)
C)
.
D)
Zadanie 11.
Prosta ma równanie
. Wskaż równanie prostej prostopadłej do .
A)
B)
C)
D)
Zadanie 12.
Punkt
jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego, którego podstawa
zawarta w prostej o równaniu
. Wysokość opuszczona na podstawę
zawarta w prostej o równaniu
A)
B)
C)
D)
Zadanie 13.
Równanie okręgu wpisanego w romb o wierzchołkach
ma postać
A)
B)
38
jest
jest
C)
D)
Zadanie 14.
Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu
A) 2
B)
jest równy
C)
D)
Zadanie 15.
Prosta o równaniu
A)
jest nachylona do osi
B)
C)
pod kątem . Zatem
D)
Zadanie 16.
jest wierzchołkiem trapezu
Punkt
podstawę
. Podstawa
A)
. Prosta o równaniu
zawiera się w prostej o równaniu
B)
C)
D)
Zadanie 17.
Która z podanych prostych jest styczna do okręgu
A)
B)
C)
?
D)
Zadanie 18.
Które z podanych równań jest równaniem prostej.
A)
B)
C)
D)
39
zawiera
Zadanie 19.
Która z podanych prostych nie ma punktów wspólnych z trzecią ćwiartką układu współrzędnych?
A)
B)
C)
D)
Zadanie 20.
Punkty
są kolejnymi wierzchołkami kwadratu. Obwód tego kwadratu
i
jest równy
A)
B)
C)
D)
Zadanie 21.
Wskaż równanie okręgu stycznego do osi
.
A)
B)
C)
D)
Zadanie 22.
Punkty
są wierzchołkami trójkąta równobocznego
i
tego trójkąta jest równy
A)
B) 45
C) 54
D)
40
. Obwód
Zadanie 23.
Wiadomo, że
jest równe
i punkty
, a pole trójkąta
A)
jest równe
B)
leżą na prostej
i
. Pole trójkąta
. Zatem
C)
D)
Zadanie 24.
Okrąg o równaniu
, ma z prostą
, gdzie
dwa punkty wspólne.
Zatem
A)
B)
C)
D)
Zadanie 25.
Pole figury ograniczonej prostymi
A) 9
B) 5
jest równe
i
C) 7
D) 14
Zadanie 26.
jest środkiem odcinka o końcach
Punkt
A)
B)
C)
. Wówczas
i
D)
Zadanie 27.
Wskaż
A)
, dla którego proste
B)
są prostopadłe.
i
C)
D)
41
Zadanie 28.
Prosta ma równanie
. Wskaż równanie prostej równoległej do prostej ,
przechodzącej przez punkt
.
A)
B)
C)
D)
Zadanie 29.
jest środkiem boku
Punkt
równoległoboku
. Wiadomo też, że
oraz
. Wyznacz wierzchołki tego równoległoboku.
Zadanie 30.
Dla jakiej wartości wykres funkcji
ma co najmniej jeden punkt wspólny z okręgiem o
promieniu , którego środkiem jest początek układu współrzędnych?
Zadanie 31.
Dane są punkty
i
. Wyznacz równanie krzywej, utworzonej przez wszystkie punkty
płaszczyzny, których odległość od punktu jest 2 razy większa od odległości od punktu . Jaką figurę
opisuje ta krzywa?
Zadanie 32.
Dane są punkty



i
.
Znajdź takie punkty i aby trójkąty
i
były równoboczne.
Znajdź równanie okręgu wpisanego w romb
.
Oblicz pole figury, którą otrzymamy po usunięciu z rombu
wnętrza wpisanego w niego
koła.
Zadanie 33 .
Napisz równanie okręgu, do którego należą punkty wspólne paraboli
, a którego środek należy do prostej o równaniu
42
i prostej
.
Zadanie 34 .
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach
.
Zadanie 35.
i jego środek
Dany jest jeden koniec odcinka
drugiego końca tego odcinka.
. Wyznacz współrzędne
Zadanie 36.
Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach
,
,
jest prostokątny.
Zadanie 37.
Wyznacz równanie okręgu wpisanego w kwadrat
, gdzie
i
.
Zadanie 38.
Na płaszczyźnie dane są punkty
i
uzasadnienie.
i
(patrz rysunek). Zbadaj, czy punkty
leżą po tej samej stronie prostej
. Podaj odpowiedź i jej
43
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, STATYSTYKA
ZASTOSOWANIA - KOMBINATORYKA
Zadanie 1.
Pan Jakub ma 4 marynarki, 7 par różnych spodni i 10 różnych koszul. Na ile różnych sposobów
może się ubrać, jeśli zawsze zakłada marynarkę, spodnie i koszulę.
A) 280 B) 21 C) 28 D) 70
Zadanie 2.
Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których obie cyfry są parzyste?
A) 25 B) 16 C) 20
D) 24
Zadanie 3.
Na ile sposobów można ustawić na półce 5 tomów encyklopedii tak, aby tomy 3 i 4 stały obok
siebie (w dowolnej kolejności)?
A) 60 B) 24 C) 48
D) 120
Zadanie 4.
Wybieramy jedną liczbę ze zbioru
i jedną liczbę ze zbioru
. Na ile sposobów
można wybrać te liczby tak, aby ich suma była liczbą nieparzystą?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
Zadanie 5.
Liczba sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch spośród pięciu miejsc w kinie, jest
równa
A) 15 B) 20 C) 12 D) 25
44
Zadanie 6.
W karcie dań jest 5 zup i 4 drugie dania. Na ile sposobów można zamówić obiad składający się z
jednej zupy i jednego drugiego dania?
A) 25 B) 16 C) 9 D) 20
Zadanie 7.
Pięć spośród sześciu różnokolorowych kul wkładamy do pięciu ponumerowanych szuflad tak, że
w każdej szufladzie znajduje się jedna kula. Na ile różnych sposobów można to zrobić?
A) 720 B) 126 C) 120 D) 24
Zadanie 8.
Zamawiając pizzę mamy do wyboru 12 dodatków, 2 rodzaje ciasta i 3 rodzaje sosów. Na ile
sposobów możemy zamówić pizzę jeżeli zdecydowaliśmy się wybrać jeden dodatek główny i
jeden dodatek pomocniczy (różny od głównego), oraz jeden sos?
A) 864 B) 29 C) 28 D) 792
Zadanie 9.
Na przyjęciu spotkała się pewna liczba znajomych. Wszyscy znajomi przywitali się podaniem
ręki. Nastąpiło 10 powitań. Ilu przyjaciół się spotkało?
Zadanie 10.
W turnieju karate rozegrano 36 walk. Każdy walczył z każdym dokładnie raz. Ilu zawodników
brało udział w turnieju?
Zadanie 11.
Z cyfr 1,2,3,4,5,6,7,8 tworzymy liczby sześciocyfrowe. Ile można utworzyć takich liczb w których
cyfra 1 występuje co najmniej trzy razy, a pozostałe cyfry są różne między sobą?
45
Zadanie 12.
Pan Jakub ma 8 marynarek, 5 par różnych spodni i 9 różnych koszul. Na ile różnych sposobów
może się ubrać, jeśli zawsze zakłada marynarkę, spodnie i koszulę.
A) 240 B) 22 C) 360 D) 90
Zadanie 13.
Wybieramy jedną liczbę ze zbioru
i jedną liczbę ze zbioru
. Na ile sposobów
można wybrać te liczby tak, aby ich suma była liczbą parzystą?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
Zadanie 14.
Na ile sposobów można włożyć dwie czapki do pięciu różnych szuflad?
A) 10
B) 25
C) 64
D) 32
Zadanie 15.
Wybieramy liczbę
takich par
A) 2
B) 8
ze zbioru
, że iloczyn
C) 6
oraz liczbę
ze zbioru
. Ile jest
jest liczbą parzystą?
D) 20
Zadanie 16.
Liczba sposobów, na jakie Ula i Ania mogą usiąść na dwóch spośród siedmiu miejsc w teatrze,
jest równa
A) 14
B)
C)
D) 42
46
Zadanie 17.
Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych mniejszych od
, które mają dwie różne cyfry?
A) 45 B) 48 C) 63 D) 58
Zadanie 18.
W kolejce do kasy kinowej ustawiło się sześciu mężczyzn i trzy kobiety. Liczba wszystkich
możliwych ustawień osób w tej kolejce wynosi
A) 6!+3! B) 9! C)
D)
Zadanie 19.
Ile można utworzyć liczb czterocyfrowych podzielnych przez 20, o cyfrach należących do
zbioru
?
A) 168 B) 196 C) 144 D) 126
Zadanie 20.
Na regale można ustawić
A)
B)
C)
książek na 120 sposoby. Zatem
D)
Zadanie 21.
Liczb pięciocyfrowych, które można zapisać tylko za pomocą cyfr 0 i 1, jest
A) 5 B) 10 C) 16 D) 32
47
ZASTOSOWANIA – PRAWDOPODOBIEŃSTWO
Zadanie 1.
Wybieramy liczbę
, że iloczyn
takich par
oraz liczbę
ze zbioru
ze zbioru
. Ile jest
ze zbioru
. Ile jest
jest liczbą nieparzystą?
A) 2 B) 3 C) 20 D) 5
Zadanie 2.
Wybieramy liczbę
, że iloczyn
takich par
oraz liczbę
ze zbioru
jest liczbą nieparzystą?
A) 2 B) 3 C) 20 D) 5
Zadanie 3.
wybieramy losowo jedną liczbę. Niech
Ze zbioru liczb
oznacza
prawdopodobieństwo wybrania liczby będącej wielokrotnością liczby 3. Wówczas
A)
B)
C)
D)
Zadanie 4.
W pewnej szkole 20% uczniów klas trzecich pisało maturę próbną z matematyki, przy czym 90%
spośród piszących otrzymało z próbnej matury więcej niż 35 punktów. Spośród wszystkich
uczniów klas trzecich wybrano losowo jednego ucznia. Prawdopodobieństwo, że wybrano ucznia,
który pisał maturę próbną z matematyki i otrzymał więcej niż 35 punktów jest równe
A) 0,18 B) 0,9 C) 0,45 D) 0,72
48
Zadanie 5.
Prawdopodobieństwo zdarzenia
jest równe , a prawdopodobieństwo sumy zdarzeń
równe . Wobec tego prawdopodobieństwo zdarzenia
A)
B)
C)
i
jest
jest równe
D)
Zadanie 6.
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy
oczek równej trzy wynosi
A)
B)
C)
D)
Zadanie 7.
Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami do gry. Prawdopodobieństwo tego, że suma
wyrzuconych oczek wyniesie co najmniej 5, jest równe
A)
B)
C)
D)
Zadanie 8.
Prawdopodobieństwo zdarzenia
przeciwnego do
A)
B)
C)
jest 7 razy większe niż prawdopodobieństwo zdarzenia
. Wobec tego prawdopodobieństwo zdarzenia
jest równe
D)
Zadanie 9.
Ze zbioru liczb naturalnych zawartych w przedziale
Niech
oznacza prawdopodobieństwo wylosowania liczby będącej wielokrotnością liczby 7.
Wówczas
A)
wybieramy losowo jedną.
B)
C)
D)
49
Zadanie 10.
Zdarzenia losowe
zdarzenia
i
są rozłączne oraz
. Zatem prawdopodobieństwo
może być równe
A) 0,63 B) 0,53 C) 0,43 D) 1
PRAWDOPODOBIEŃSTWO - ZADANIA TEKSTOWE
Zadanie1.
W pewnej grupie uczniów każdy zna język angielski lub niemiecki. Wiadomo, że
prawdopodobieństwo wylosowania z tej grupy ucznia znającego język angielski jest równe ,
natomiast prawdopodobieństwo wylosowania ucznia znającego język niemiecki jest równe .
Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany uczeń zna obydwa języki?
Zadanie 2.
Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia
polegającego na tym, że suma liczb oczek otrzymanych na obu kostkach jest większa od 6 i
iloczyn tych liczb jest nieparzysty.
Zadanie 3.
W dwóch urnach znajdują się kule białe i czarne, przy czym w pierwszej jest 6 kul białych i 4
czarne, a w drugiej urnie 5 białych i 5 czarnych. Rzucamy raz symetryczną kostką do gry. Jeżeli
wyrzucimy co najmniej 4 oczka to losujemy 2 kule z pierwszej urny, a jeżeli wyrzucimy co
najwyżej 3 oczka to losujemy 2 kule z drugiej urny. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania
dwóch kul białych.
50
Zadanie 4.
Do kina wybrało się 7 osób, wśród nich Basia i Janek. Wszyscy usiedli w jednym rzędzie, w
którym jest dokładnie 7 wolnych miejsc. Oblicz, na ile sposobów wymienione osoby mogą zająć
miejsca tak, by Basia i Janek siedzieli obok siebie. Oblicz też prawdopodobieństwo tego, że przy
losowym zajmowaniu miejsc Basia i Janek nie siedzą obok siebie.
Zadanie 5.
W urnie jest pewna liczba kul białych i jedna kula czarna. Losujemy jedną kulę z tej urny,
zatrzymujemy ją, a następnie z pozostałych kul losujemy jedną kulę. Ile powinno być kul białych
w urnie, aby prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych było równe ?
Zadanie 6.
Rzucono dwiema sześciennymi kostkami do gry i określono zdarzenia
A - na każdej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek,
B - suma wyrzuconych oczek jest nie mniejsza niż 8.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia
.
STATYSTYKA - ZASTOSOWANIE
Zadanie 1.
Średnia ważona danych z tabeli
Wartość danej 3 4 5 7
Waga
2 1 4 3
jest równa:
A) 4,5 B) 4,75 C) 5,3 D) 5,1
51
Zadanie 2.
Medianą danych 2,3,3,3,5,7,8,9 jest liczba
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7
Zadanie 3.
Średnia arytmetyczna pięciu liczb: 5,x,3,4,1 jest równa 3. Wtedy
A)
B)
C)
D)
Zadanie 4.
Wyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione na diagramie
Średnia ocen ze sprawdzianu jest równa:
A) 3,48 B) 4 C) 3,5 D) 3
Zadanie 5.
Tabela przedstawia pewne dane i ich liczebność
Wartość danej -4 2 4 7 20
Liczebność
7 2 3 6 2
Oblicz średnią arytmetyczną tych danych.
Podaj medianę.
52
Oblicz odchylenie standardowe.
Zadanie 6.
W pewnym liceum, wśród uczniów 30 osobowej klasy (każdy uczeń pochodzi z innej rodziny),
zebrano dane na temat posiadanego rodzeństwa. Wyniki badań przedstawiono na diagramie.
Wychowawczyni wybrała 3 osoby z tej klasy. Oblicz prawdopodobieństwo, że jedna z nich ma
dwoje rodzeństwa, a dwie pozostałe nie mają rodzeństwa. Wynik zaokrąglij do części setnych.
Zadanie 7.
Średnia wieku 15 mieszkańców pewnego bloku wynosi 33 lata. Gdy do wolnego mieszkania
wprowadził się nowy mieszkaniec, średnia zwiększyła się o 1 rok. Ile lat ma nowy mieszkaniec?
Zadanie 8.
Uczniowie napisali pracę kontrolną. 30% uczniów otrzymało piątkę, 40% otrzymało czwórkę, 8
uczniów otrzymało trójkę, a pozostali ocenę dopuszczającą. Średnia ocen wynosiła 3,9. Ilu
uczniów otrzymało piątkę?
53
Zadanie 9.
Średnią arytmetyczną licz 5,5,7,3,9,9,4,4 jest liczba
A) 5,5 B) 8 C) 5,75 D) 4
Zadanie 10.
Dla zestawu liczb: 1, 3, 2, 4, 3
A) mediana jest równa 3 i średnia arytmetyczna jest równa 2,6.
B) mediana jest równa 2 i średnia arytmetyczna jest równa 2,6.
C) mediana jest równa 3 i średnia arytmetyczna jest równa 3.
D) mediana jest równa 2 i średnia arytmetyczna jest równa 3.
Zadanie 11.
Średnia arytmetyczna wszystkich liczb pierwszych należących do przedziału
jest równa
A) 16,6 B) 18,6 C) 17 D) 15
Zadanie 12.
Średnia arytmetyczna liczb: 3, 1, 1, 0, x, 0 jest równa 2. Oblicz x.
Zadanie 13.
Oblicz średnią arytmetyczną danych przedstawionych na poniższym diagramie częstości
54
Zadanie 14.
Uczniowie napisali pracę kontrolną. 30% uczniów otrzymało piątkę, 40% otrzymało czwórkę, 8
uczniów otrzymało trójkę, a pozostali ocenę dopuszczającą. Średnia ocen wynosiła 3,9. Ilu
uczniów otrzymało piątkę?
Zadanie 15.
Średnia wieku 15 mieszkańców pewnego bloku wynosi 33 lata. Gdy do wolnego mieszkania
wprowadził się nowy mieszkaniec, średnia zwiększyła się o 1 rok. Ile lat ma nowy mieszkaniec?
Zadanie 16.
Przez pewien okres czasu prowadzono regularne pomiary temperatury w miejscowości Jelenia
Góra. Wyniki pomiarów zapisano w tabeli
Temperatura w
-1 2 3
Liczba wskazań
5 m 2
Obliczono, że średnia temperatura wynosi
. Zatem liczba
A) 10 B) 3 C) 4 D) 13
Zadanie 17.
Mediana danych zawartych w tabeli liczebności jest równa 3.
Wartość
1 2 3 4 5 6
Liczebność 3 4
55
1 2 6
jest równa
może być równe
Zatem
A) 2 B) 3 C) 0 D) 1
Zadanie 18.
Wyniki konkursu matematycznego podano w punktach: 94, 92, 90, 90, 86, 86, 86, 72. Medianą
tego zestawu wyników jest
A) 92 B) 94 C) 86 D) 88
Zadanie 19.
Prawdopodobieństwo zdarzenia
jest równe , a prawdopodobieństwo sumy zdarzeń
równe . Wobec tego prawdopodobieństwo zdarzenia
A)
B)
C)
i
jest równe
D)
Zadanie 20.
Wybieramy jedną liczbę ze zbioru
i jedną liczbę ze zbioru
można wybrać te liczby tak, aby ich suma była liczbą nieparzystą?
A) 6 B) 3 C) 5 D) 4
56
. Na ile sposobów
jest