modyfikacja trajektorii czasowej podczas obliczania wykładników

XVIII OGÓLNOPOLSKA KONFERENCJA NAUKOWO-DYDAKTYCZNA
TEORII MASZYN I MECHANIZMÓW
Wrocław - Lądek Zdrój 18÷20 wrzesień 2002
interpolacja Lagrange’a, wykładniki Lapunowa,
drgania utwierdzenie-poślizg, metoda Hénona,
ruchy chaotyczne, quasi-okresowe i okresowe
Jan AWREJCEWICZ
Paweł OLEJNIK
MODYFIKACJA TRAJEKTORII CZASOWEJ PODCZAS
OBLICZANIA WYKŁADNIKÓW LAPUNOWA
Interpolację Lagrange’a zastosowano w celu zmniejszenia liczby punktów trajektorii czasowej
wykorzystywanej do oszacowania numerycznego wykładników Lapunowa. W pracy przeprowadzono
analizę dynamicznego układu samowzbudnego o dwóch stopniach swobody z tarciem. Interpolacji
dokonano na każdej trajektorii czasowej we współrzędnych fazowych układu (rozwiązanego metodą
Hénona), a następnie obliczono wykładniki Lapunowa dla kilku przykładowych ruchów i porównano
wyniki.
1. UKŁAD MODELOWY
1.1. RÓWNANIA RUCHU
Układy o charakterystykach nieciągłych, a w tym układy z tarciem są od dawna
przedmiotem badań [3]. W tej pracy dokonano analizy modelu dynamicznego o dwóch
stopniach swobody z tarciem (patrz rys. 1). Układ składa się z dwóch mas połączonych
sprężyście, z których jedna drga na przesuwającym się ze stałą prędkością pasie, natomiast druga waha się swobodnie na trzpieniu. W modelu kątownik porusza się ruchem
ciągłym pełniąc w tym przypadku funkcję wahadła, natomiast masa drgająca na pasie
wykonuje ruch nieciągły (kawałkami ciągły). Pas podparty jest płaskownikiem (krzyżykami zaznaczono połączenie z ostoją, natomiast kółkami zaznaczono osie obrotu).
36
Dla układu modelowego pokazanego na rys. 1 bezwymiarowe równania ruchu (po
przyjęciu pewnych stałych bezwymiarowych równych jedności) [1] mają następującą
postać:
x1  x2 ,
x2  2 x1  x3  F ,
x3  x4 ,
x4   x3  x1 ,
1

 sgn Vrel 
F 
1  Vrel
1
Vrel  0,
(1)
(2)
Vrel  0.
gdzie: V rel  x 2  V b jest prędkością względną ruchu pomiędzy pasem i masą drgającą
wzdłużnie, Vb jest prędkością pasa.
Rys. 1. Schemat masy oscylującej na pasie połączonej sprężyście z kątownikiem
Fig. 1. The two bodies system connected by springs k1 and k2
1.2. ROZWIĄZANIE
Analizowany model samowzbudny z tarciem wymaga szczególnego podejścia podczas całkowania dwóch pierwszych równań ruchu, w których występuje nieciągłość w
postaci funkcji skokowej. W takiej sytuacji wygodnie jest stosować metody przeznaczone do rozwiązywania tego typu problemów. Mając na uwadze przytoczone rozwa-
37
żania, autorzy zastosowali metodę Hénona [2], która bardzo dobrze nadaje się do rozwiązywania układów z tarciem.
Algorytm Hénona bazuje na metodzie Rungego-Kutty czwartego rzędu, przy czym
osobne procedury stosuje się do znajdowania punktów trajektorii w czasie zatrzymania
oraz poślizgu przy dodatkowym uwzględnieniu poślizgu dla prędkości malejących i
wzrastających. Na każdym z wymienionych etapów stosuje się uprzednio przekształcone równania ruchu eliminując z nich funkcję skokową występującą we wzorze (2) na
siłę F. Podczas całego procesu obliczeń metoda dopasowuje automatycznie krok całkowania uzależniając go od podanej wartość początkowej.
2. INTERPOLACJA LAGRANGE’A
Obliczanie wykładników Lapunowa na podstawie punktów uzyskanych z trajektorii
czasowej należy niekiedy poprzedzić odpowiednim jej przygotowaniem (policzyć z odpowiednim krokiem od właściwego miejsca czy w dostatecznie długim przedziale czasu,
itp.). Często satysfakcjonujące nas rozwiązanie numeryczne przyjętego do analizy
układu wymaga zastosowania metod dokładnych bazujących m.in. na zmianie kroku
całkowania w trakcie obliczeń. Zaletą takiego podejścia jest poprawa szybkości zbieżności i dokładności rozwiązania, co zazwyczaj wydłuża jednak czas obliczeń.
t0
t1
h1
t2
h2
h
t0
t3
h3
h
t1L
h4
h
t2L
t4
tn
h5
h
t3L
t5
h
t4L
t5L
tn
Rys. 2. Ilustracja interpolacji Lagrange’a
Fig. 2. Illustration Lagrange’s interpolation (t0, …, tk, …, tn – ‘exact’ solution by Hénon method,
t0, …, tkL, …, tn – interpolated points by Lagrange method, h1, …, hk (k<n) – variable step value,
h – fixed step value).
Z drugiej strony, algorytm prowadzący do obliczenia wykładników Lapunowa na
podstawie punktów uzyskanych z trajektorii czasowej wymaga obliczeń punktów przy
stałym kroku całkowania numerycznego. W związku z tym dokładne rozwiązanie zagadnienia, a następnie interpolowanie otrzymanych punktów celem znalezienia ich odpowiedników równomiernie rozłożonych w czasie (patrz rys. 2), pozwoli na zastosowa-
38
nie metody obliczania wykładników Lapunowa w oparciu o dane uzyskane z trajektorii
czasowej.
Otrzymane wartości wykładników Lapunowa pozwalają w efekcie ocenić charakter
drgań rozważanego układu dynamicznego z tarciem. Przykładową interpolacje pokazano na rys. 3.
5,5
4,0
2,5
x1
1,0
-0,5
-2,0
-3,5
2999
3001
3003
3005
3007
3009
3011
3013
t
Rys. 3. Przykładowa interpolacja trajektorii czasowej x1 (t )
Fig. 3. Example of time history and its Lagrange interpolation (open circles)
Wielomian interpolujący rzędu n-1 dla n punktów f1=f(t1), ..., fn(tn) dany jest klasyczną formułą Lagrange’a [4]:
n
Ln (t )   f i
i 0
(t  t0 ) (t  ti1 )(t  ti 1 )  (t  tn )
(ti  t0 ) (ti  ti1 )(ti  ti1 )  (ti  tn )
(3)
gdzie: fi jest znaną wartością w czasie ti, Ln jest n-tą poszukiwaną wartością w czasie t
dla punktów t0 ... tn. Po zakończeniu tej procedury otrzymuje się trajektorię interpolowaną odpowiadającą wejściowej. Procedura ta przedstawia interpolację tylko dla jednego wymiaru, więc należy ją kolejno zastosować dla każdego wymiaru rozpatrywanej
przestrzeni.
3. WYKŁADNIKI LAPUNOWA
3. 1. METODA OBLICZEŃ
Wykładniki Lapunowa [5, 6] należą do podstawowych narzędzi niezbędnych do
oceny charakteru ruchu (regularności bądź chaotyczności) oraz wymiaru atraktora.
Jeśli istnieje pewna, odpowiednio długa seria czasowa danych zapisana w pamięci
39
komputera, to obliczanie wykładników Lapunowa wykonuje się na podstawie oceny
odległości sąsiednich punktów trajektorii znajdujących się dostatecznie blisko w pewnej
kuli o małym promieniu. Algorytm, który autorzy pominą w tej publikacji, dokonuje
takiej oceny dla wszystkich punktów trajektorii, przy czym co pewien ustalony krok
następuje ortogonalizacja i normalizacja powstałych w procesie obliczeń wektorów
odległości. W efekcie w każdym kroku czasowym następuje uśrednienie długości wektorów odległości prowadząc do oszacowania wartości wykładnika Lapunowa. Wektory
odległości blisko położonych trajektorii mają w tym przypadku 4 współrzędne co oznacza, że widmo wykładników Lapunowa (wartości kolejnych wykładników maleją) składa się z czterech liczb.
W rozpatrywanym układzie samowzbudnym z tarciem czas nie występuje w postaci
jawnej, dlatego jeden z czterech wykładników Lapunowa, powinien być zerowy (w
praktyce bliski zera). Na tej podstawie jeden zerowy wykładnik na pierwszej pozycji
oznacza ruch okresowy, więcej niż jeden wykładnik zerowy począwszy od pierwszej
pozycji oznacza ruch quasi-okresowy, a wykładnik zerowy na innej niż pierwsza pozycja świadczy o ruchu chaotycznym.
3. 2. OBLICZENIA
Przykładową trajektorię fazową rozwiązania układu (1) oraz jej interpolację we
współrzędnych x 2 ( x1 ) pokazano na rys. 4.
3
2
1
x2
-1
-2
-3
-4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x1
Rys. 4. Interpolacja trajektorii fazowej ruchu z podwojeniem okresu drgań (rozwiązanie układu (1))
Fig. 4. The two periodic trajectory (solution of the system (1)) and its Lagrange interpolation (open
circles)
Na rys. 4 widać, że interpolacja Lagrange’a nie zależy od rodzaju krzywej fazowej
(jest to krzywa zamknięta dla której w przestrzeni fazowej nie można by zastosować
interpolacji), ponieważ została wykonana w oparciu o trajektorie czasowe x1 (t ) i x 2 (t )
40
(rys. 3) dla rosnących wartości t. Trajektoria fazowa pokazana na rys. 4 zawiera 2000
punktów, natomiast jej interpolacja 100. Zmniejszono liczbę punktów 20 razy (tak duży
stosunek ilości punktów obu trajektorii możliwy jest w zasadzie dla ruchów okresowych) oraz rozmieszczono je w równych odstępach czasu na trajektorii przygotowując
tym samym interpolowany odpowiednik trajektorii fazowej do obliczenia wykładników
Lapunowa (przykładowe wyniki pokazano w Tab. 1).
Trajektoria
2-periodyczna
quasi-periodyczna
chaotyczna
Wykładniki Lapunowa
0.000111
0.001887
0.017218
0.034891
0.000048
0.000485
0.079654
0.002914
0.015889
1.729909
0.029456
0.420986
Tab. 1. Wykładniki Lapunowa dla trzech interpolowanych rozwiązań układu (1)
Tab. 1. Lyapunov exponents for the three interpolated solutions of the system (1)
Dla ruchów chaotycznych i niekiedy quasi-okresowych należy zmniejszyć stosunek
liczby punktów interpolowanych do całkowitej liczby punktów celem wierniejszego
oddania charakteru trajektorii. Korzyścią stosowania takiej procedury jest to, że przy
tej samej liczbie punktów trajektoria z punktów interpolowanych może być dłuższa, co
w efekcie prowadzi do polepszenia dokładności obliczeń wykładników Lapunowa.
LITERATURA
[1] AWREJCEWICZ J., OLEJNIK P., Stick-slip dynamics of a two-degree-of freedom system,
Proceedings of DETC’ 01, 2001 ASME Design Technical Conferences, September 9-12, Pittsburgh,
PA, USA, 2001, 9 stron.
[2] HÉNON M., On the numerical computation of Poincaré maps, Physica D 5, 1982, 412-414.
[3] KUNZE M., Non-Smooth Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2000.
[4] STOER J., BULIRSCH R., Introduction to Numerical Analysis, Springer-Verlag, London, 1980.
[5] VAN WYK M. A., STEEB W. –H., Chaos in Electronics, Kluwer Academic Publishing, 1997.
[6] WOLF A., Determining Lyapunov Exponents From a Time Series, Physica 16D, 1985, 285-317.
STRESZCZENIE
The Lagrange interpolation is applied to decrease number of points of a time history. Two-degreesof-freedom dynamical self-excited system with friction is considered. The Lagrange interpolation has
been performed for each time history of phase coordinates of the system and solved by Hénon’s method.
Some examples of behaviour of the system have been reported by calculation of the Lyapunov exponents
from time series.