I Pracownia fizyczna ćwiczenie nr 5(elektryczność) BADANIE

I Pracownia fizyczna
ć
wiczenie nr 5 (elektrycznoś ć)
BADANIE REZONANSU PRĄDU PRZEMIENNEGO W SZEREGOWYM
UKŁADZIE RLC
Zagadnienia:
1. Podstawowe wielkości charakteryzują ce obwody elektryczne z prą dem przemiennym.
2. Drgania elektryczne : swobodne, tłumione i wymuszone w szeregowym obwodzie RLC.
Literatura:
1. Podrę czniki do ć wiczeń laboratoryjnych.
2. J. I. Butikow, A. A. Bykow, A. S. Kondratiew, Fizyka cz.I
3. D. Halliday, R. Resnick, Fizyka t.II
4. S. Szczeniowski, Fizyka doświadczalna cz.III
5. I. W. Sawieliew, Kurs fizyki cz.I i II
Wprowadzenie:
Rozważmy obwód :
R
C
U
L
Dla obwodu szeregowego RLC na podstawie drugiego prawa Kirchhoffa otrzymujemy :
U(t) = U R + U C + U L
(1)
wiadomo, że
UR = R
dq
,
dt
UC =
q
,
C
U L = −L
d 2q
dt 2
Jeżeli zewnę trzne napię cie U(t) zmienia się według zależnoś ci :
U(t) = U 0 cosωt ,
to podstawiają c powyższe zależnoś ci do równania (1) otrzymujemy :
dq q
d 2q
L 2 +R
+ = U 0 cos ωt
dt C
dt
(2)
Po podzieleniu przez L i wprowadzeniu oznaczeń (3)
ω 02 =
1
,
LC
2β =
R
,
L
f0 =
U0
L
-1-
(3)
I Pracownia fizyczna
ć
wiczenie nr 5 (elektrycznoś ć)
równanie (2) ma nastę pują ca postać :
d 2q
dq
+ 2β
+ ω 02 q = f 0 cos ωt
2
dt
dt
(4)
Ogólne rozwią zanie równania (4) dla stanu ustalonego można zapisać :
q = b cos(ωt - ϕ)
(5)
Amplitudę b i przesunię cie fazowe ϕ należy tak dobrać , aby funkcja (5) była rozwią zaniem
równania (4).
Szczególne rozwią zanie równania (4) zgodnego z (5) można zapisać jako :
q=
f0
( ω 02 − ω 2 ) 2 + 4β 2 ω 2
⋅ cos( ωt − arctg
2βω
)
ω − ω2
2
0
(6)
gdzie :
b=
f0
( ω − ω ) + 4β ω
2
0
2
2
2
2
,
ϕ = arctg
2βω
ω − ω2
2
0
(7)
Amplituda ustalonych drgań wymuszonych jest proporcjonalna do amplitudy siły wymuszają cej
f 0 i zależy od czę stoś ci siły wymuszają cej ω i tłumienia β. Z analizy zależnoś ci b = f(ω,β)
wynika, że maksimum amplitudy ładunku przypada dla różnych czę stoś ci, jeżeli obwód ma różne
wartoś ci β przy ω 0 = const. Inaczej można powiedzieć , że ze zmianą β zmienia się czę stoś ć
rezonansowa ω rez . Amplituda ładunku b osią ga maksimum, jeżeli mianownik w wyrażeniu (7)
osią ga minimum. Proste obliczenia prowadzą do zależnoś ci :
ω rez = ω 02 − 2β 2
(8)
Amplituda ładunku w rezonansie ( brez ) jest równa :
brez =
f0
2β ω − β
2
0
2
≈
f0
2βω 0
(9)
W przypadku natę żenia prą du odpowiednie zależnoś ci mają inną postać . Wiadomo, że i =
zatem równanie (6) dla natę żenia prą du przybierze postać :
i=
f0ω
dq
2βω
π
=
cos( ωt − arctg 2
+ )
2
dt
2
ω0 − ω
( ω 02 − ω 2 ) 2 + 4β 2 ω 2
-2-
(10)
dq
dt
I Pracownia fizyczna
ć
Łatwo zauważyć , że amplituda prą du b’= ωb
b' = ωb =
wiczenie nr 5 (elektrycznoś ć)
f0
( ω − ω ) + 4β
2
0
2
2
(11)
2
osią ga maksimum zawsze dla ω = ω 0 niezależnie od wartoś ci tłumienia β.
Jakoś ć obwodu elektrycznego charakteryzuje dobroć Q zdefiniowana jako stosunek energii
zmagazynowanej w obwodzie do ś redniej energii traconej w jednym okresie. Dla rozważanego
obwodu :
Q=
ω0 L
ω
1
1 L
=
= 0 =
R
ω 0 RC 2β R C
(12)
Korzystają c z zależnoś ci (12) równanie (8) można zapisać w postaci :
ω rez = ω 0 1 −
1
2Q 2
(13)
Wykonanie ćwiczenia:
Zestawić obwód według schematu :
R1
R
G
L
Częstoś cio
mierz
C
V
A
R = 100Ω, R 1 = 0; 1; 2; 2,5 kΩ, G - generator
Opór omowy indukcyjnoś ci R L = 35Ω, Ru = R + R1 + R L
C = 10 nF, L = 0,1H
1. Włą czyć generator, czę stoś ciomierz i mierniki. Ustalić napię cie wyjś ciowe generatora
Usk = 6V. Włą czenie generatora i czę stoś ciomierza dokonuje się przez wciś nię cie
klawisza „mains”.
Generator - napię cie zbierać z zacisków „out 2”. Przełą cznik zakresów ustawić
w pozycji 6,5 V. Klawisz „out 2” wciś nię ty.
Czę stoś ciomierz - wcisną ć klawisze : „mode-preset time” 1x, 10° . Pomiar czę stoś ci
dokonuje się po naciś nię ciu klawisza start. Wyś wietlana wartoś ć odpowiada mierzonej
czę stoś ci wyrażonej w Hz.
-3-
I Pracownia fizyczna
ć
wiczenie nr 5 (elektrycznoś ć)
2. Sporzą dzić rodziny charakterystyk q = f(ω) i i = f(ω) dla ustalonych wartoś ci R, L, C.
Pomiary wykonać dla R 1 = 0; 1; 2 i 2,5 kΩ w przedziale czę stoś ci od 200 Hz do 10 kHz
(w przedziale od 200 Hz do 2 kHz pomiary wykonać co 500 Hz, w przedziale 4-6 kHz
pomiary dokonać ś rednio co 100 Hz, a poza tym obszarem ś rednio co 200 Hz).
Uwaga: Ładunek q mierzymy pośrednio, mierzą c spadek napię cia na zaciskach
kondensatora. Studenci wykonują cy ć wiczenie w cią gu 2 godzin mogą się
ograniczyć do pomiarów dla 3 wartości R 1 (0, 2, 2,5 kΩ)
3. W jednym układzie współrzę dnych wykreś lić rodzinę krzywych q = f(ω) oraz rodzinę
krzywych i = f(ω). Na podstawie uzyskanych krzywych wyznaczyć ω 0 ,ω rez , q max , i max
i Q. Dobroć układu na podstawie krzywych i = f(ω) wyznaczamy z zależnoś ci:
Q=
ω0
∆ω
ωrez = ω0
dla i = f(ω)
(14)
gdzie ∆ω oznacza przedział czę stoś ci odpowiadają cy szerokoś ci pasma zmierzonego
na wysokoś ci 0,7 i max .
Czę stoś ć rezonansową , na podstawie wykresu q = f(ω) wyznaczamy z zależnoś ci:
ω rez =
ω12 + ω 22
2
(15)
gdzie ω1 , ω 2 są czę stoś ciami, dla których b (zależnoś ć (7)) ma taka samą wartoś ć
b( ω1 ) = b( ω 2 ). Zalecany pomiar ω1, ω2 na wysokoś ci 0,7 qmax.
4. Korzystają c z zależnoś ci (3), (12) i (13) wyznaczyć teoretyczne wartoś ci ω 0 ,ω rez oraz Q
i porównać je z wartoś ciami wyznaczonymi doś wiadczalnie.
5. Przeprowadzić dyskusję uzyskanych wyników i rachunek błę dów.
6. Tablica pomiarów.
Lp.
f [Hz]
Uc [V]
i [mA]
Ru = R + R1 + R L
[Ω]
Uwaga: Generator zasilają cy układ jest zwarty oporem R = 100Ω, opór omowy cewki
indukcyjnej R L = 35Ω, zatem opór czynny układu Rukł = R L + R + R1 . Przyją ć ,
ż e podane wartości R, C są
obarczone błę dem ± 2,5%.
-4-