współrzędne normalne w analizie rezonansów głównych

M E C H A N I K A TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 11 (1973) WSPÓŁRZĘ DN
E NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW GŁÓWNYCH NIELINIOWYCH UKŁADÓW DRGAJĄ CYC
H O WIELU STOPNIACH SWOBODY WANDA S Z E M P L I Ń S K A ­ S T U P N I C KA (WARSZAWA) W liniowych układach drgają cych о wielu stopniach swobody poję cie postaci własnych i zwią zanych z nimi współrzę dnych normalnych gra istotną rolę przy badaniu drgań wy­
muszonych i samowzbudnych. Jak wiadomo, przy uż yciu tych współrzę dnych równania ruchu układu konserwatywnego o skoń czonej lub nieskoń czonej iloś ci stopni swobody dadzą się przedstawić w postaci równa ń wzajemnie niezależ nych Moj­Soj + Moj­wź j­Coj = Qj(t), j = 1,2, . . . , « , gdzie o) — czę stość własna, M — uogólniona masa, Qj(t)— uogólniona siła /­tej postaci drgań, n — liczba stopni swobody układu, —y­ta współrzę dna normalna zwią zana ze współrzę dnymi x (x — wychylenie masy m od położ enia równowagi) za pomocą liniowej transformacji OJ
0J
t
t
t
л gdzie: b j, i = 1,2, ...,и —j­ta. postać własna. Współrzę dne £ umoż liwiają posługiwanie się rozprzę ż onym
i równaniami ruchu, a przede wszystkim umoż liwiają operowanie układem o zredukowanej liczbie stopni swobody przy zapewnieniu duż ej dokładnoś ci obliczeń. Jest to szczególnie korzystne przy badaniu drgań samowzbudnych układów cią głych, np. wiszą cych mostów, powierzchni noś nych samolotów itp., gdyż wyniki doś wiadczeń i obliczeń pozwoliły stwierdzić, że w drganiach tych «bierze udział» tylko kilka pierwszych postaci drgań. Tak więc układ cią gły zastę pujemy układem zredukowanym do kilku, najczę ś cie
j dwóch stopni swobody, to jest do dwóch równań. Podobne uproszczenie polegają ce na odrzuceniu współrzę d­
nych C j odpowiadają cych wyż szym czę stoś cio
m własnym daje bardzo dobre rezultaty przy badaniu drgań wymuszonych. ot
0 J
0
Wobec duż ych trudnoś ci pojawiają cych się przy analizie drgań układów z charakte­
rystyką nieliniową powstało pytanie, jak z moż liwie dużą dokładnoś cią przenieść zasto­
sowanie tego rodzaju uproszczeń na te układy. 2 Mechanika Teoretyczna W . SZEMPLIŃ SKA­STUPNICK
A 18 W niniejszej pracy zbadamy dwie drogi podejś cia do tego zagadnienia: 1) przez zastosowanie liniowych współrzę dnych normalnych i zaniedbanie ich sprzę­
ż enia, 2) przez zastosowanie tzw. nieliniowych współrzę dnych normalnych zdefiniowanych w pracy [1]. 1. Model mechaniczny i równania ruchu układu Niech modelem rozważ anego układu bę dzie n skupionych mas połą czonych ze sobą i z masą m = oo za pomocą nieważ kich sprę ż n y i elementów rozpraszają cych energię (rys. 1). 0
P, cos Ot P cos Qt PzCOsOt n
XQ­0 m
1 f — & SnD Sin —\­
1
\§in —|S J — element sprę ż ysfo­ttumieniowy mię dzy masą m­ / m . (
(
k
Rys. 1. Model mechaniczny układu O J I stopniach swobody R ó w n a n i a ruchu we współrzę dnych gdzie x — wychylenie masy w od położ enia równowagi, mogą być zapisane nastę pują co
: t
f
mi Xi + 2J S (x ­ x , Xi ­ x ) ­ Pi cos Qt = 0, ( 1 . 1 ) IK
t
k
k
i = 1,2, ... n, S — siła oddziaływania mię dzy masą т
IK
{
i m . k
Po wydzieleniu z siły sprę ż yste
j czę ś i cliniowo zależ nej od odkształcenia sprę ż yn
y rów­
nania (1.1) przybiorą postać (1.2) x + 2jK (xi­x )+fififri, t
ik
...,x„,Xi, k
x )­P osQt n
O funkcji fi założ ymy, że dla rozwią zania harmonicznego (1.3) X{ = r cos(Qt—<pi) t
iC
= 0. f 19 WSPÓŁRZĘ DN
E NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW moż na ją przedstawić w postaci szeregu Fouriera R 1
(1.4) fi = pW+ J T (pMcosvB+gpsinve). v= 1 Oznaczając przez w ,j = 1, 2, . . . , n czę stoś i cwłasne, a przez b , i,j= 1, 2, . . . , n — postacie własne układu zlinearyzowanego, liniowe współrzę dne normalne £ i wprowadzi­
my za pomocą transformacji 0J
oiJ
0
л (1­5) Xi = ]^ borzoj. Dzię ki własnoś ci ortogonalnoś ci postaci własnych równania (1.2) przekształcimy do postaci (1.6) ej = M j'£ j+M a)ljC j+fiFj(C , 0
0
0j
0
... £ , f i . • • ł ) ­ £ o . , c o s J 2 f = 0, 01
0n
0n
0
gdzie л (1.7) л M = J^mMij, л Qoj = ^Piboij, 0J
/=i Fj = /=1 2f,b . 0{J
<=i Funkcje Fj, podobnie jak f dla rozwią zania harmonicznego, przedstawimy w postaci szeregu Fouriera t
R J)
(1.8) J
Fj = Р У Ч £ (Pi cosvO + Gi hinv6). • • v = l R ó w n a n i a ruchu we współrzę dnych normalnych f j dla układu nieliniowego są więc nadal sprzę ż on
e przez nieliniową funkcję Fj. Przypomnijmy najpierw podstawowe cechy układu zlinearyzowanego konserwatyw­
nego {Fj = 0). Rozwią zanie równań ruchu (1.6) dla Fj = 0 daje nam od razu i = aojGOiBt, a ­
' ; (1.9) M ; ( c u g , ­ f l ) a stąd otrzymujemy współrzę dne .v za pomocą (1.5) 0
oj
g
o
0J
2
0
;
л (1 1Г Л v ­ V
JTi n b
° u Q °J
C O S Q T
_ M J{MIJ­Q ) 2
V j . f . ft 0
Rozwią zanie w tej postaci doskonale ilustruje zjawisko rezonansu i rolę współrzę dnych normalnych. Widzimy, że gdy Q ­» w , to amplituda drgań układu dą ży do nieskoń czo­
ci
noś ci, ale spoś ród współrzę dnych f tylko jedna f « dą ży do nieskoń czonoś , a amplitudy wszystkich pozostałych «nierezonansowych» współrzę dnych przybierają pewne ograniczo­
ne wartoś ci. Zatem w pobliżu rezonansu moż na pominąć współrzę dne «nierezonansowe» i rozpatrywać tylko jeden stopień swobody zwią zany ze współrzę dną «rezonansową» 0 s
0 J
(1.11) 0
Xi­> b C . ois
0s
Postać drgań układu w pobliżu rezonansu dą ży zatem do postaci własnej b . Rozważ ania te są w przybliż eniu słuszne i dla układu tłumionego, jeś il tylko tłumienie jest na tyle małe, że maksymalna amplituda a jest dostatecznie duża w porównaniu z a ,j ф s. ois
0s
г * 0J
W . SZEMPLIŃ SKA­STUPNICK
A 20 Postać równań ruchu układu nieliniowego (1.6), w którym sprzę ż eni
e jest tylko po­
przez «mały» nieliniowy człon fj,Fj nasuwa zrozumiałą chęć zastosowania uproszczenia polegają cego na zaniedbaniu tego sprzę ż eni
a i rozpatrywaniu równań ruchu w postaci (1.12) M j'£ j + M coljeoj + t*Fj(£oj, ioj)­Q jCOsQt 0
0
OJ
0
= 0. Uproszczenie to wynika również z samej procedury szeroko stosowanej w literaturze metody uś rednienia [4]. We wcześ niejszej pracy [2] analizowany był efekt sprzę ż eni
a współrzę dnych | , £
na przykładzie układu o dwóch stopniach swobody za pomocą metod teoretycznych oraz za pomocą maszyny analogowej. Ponadto w pracy [3] badane były analityczne metody przybliż one stosowane przy analizie drgań ustalonych układów nieliniowych o n stop­
niach swobody, a w pracy [1] wprowadzono i zdefiniowano poję cie nieliniowych współ­
rzę dnych normalnych i zbadano zachowanie się tych współrzę dnych w pobliżu rezonansu. Podsumowując rezultaty tych prac należy stwierdzić, że w pobliżu rezonansów głów­
nych dominują drgania harmoniczne o czę stoś i c siły wymuszają cej Q, a więc przybliż one rozwią zanie moż na założ yć w postaci 0 1
0 2 Xi = ri(cosQt—q>i), przy czym najwię kszą dokładność przy stosunkowo duż ych wartoś ciach amplitud uzyska­
my, gdy współczynniki r , <p okreś limy za pomocą metody Ritza. ;
t
2. Liniowe współrzę dne normalne w analizie rezonansów głównych układu nieliniowego W oparciu o rozwią zania harmoniczne uzyskane metodą Ritza zbadajmy zachowanie się współrzę dnych C przy uwzglę dnieniu ich sprzę ż eni
a w równaniach (1.6) oraz przy zaniedbaniu tego sprzę ż eni
a (1.12). Zakładamy rozwią zanie w postaci 0J
(2.1) £ j = a ­(cos £ / ­ # , ) . 0
0j
Równania Ritza, z których wyznaczymy nieznane współczynniki a , &j zapiszemy nastę­
pują co : 0J
2л / ij(t)­cosQtd(Qt) = 0, (2.2) j = 1 , 2 , 2л / lj(t)­smQtd(Qt) = 0, o gdzie sj(t) — «pozostałoś ci» r ó w n a ń (1.6) po podstawieniu do nich przybliż onego roz­
wią zania (2.1). W przypadku układu zachowawczego moż emy o d razu przyjąć &j = 0 i równania (2.2) przybierają postać 2л 2
(2.3) a M {mlj­Q )+ QJ
0J
— j fiFj(a cosQt, ... a cosQt)cosQtd(Qt)­Q 0l
o j = 1 , 2 , ...,n 0n
0J
= 0, WSPÓŁRZĘ DN
E NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW 21 lub, uwzglę dniając oznaczenia wzoru (1.8), 2
J)
a M j(a)lj­Q ) 0j
+ Pi (a , 0
a , ... a )­Q 0l
02
0n
= 0, j = 1 , 2 , ...,n. 0J
Rozważ my teraz rezonans, przy którym a , ­» oo : 0
2
2
M (co ,­Q ) + ­Ł­P[°)(a , 0
0s
a , ... a ) = 01
02
0a
^Os "Os (2.4) M
0 J
­ ^ ( a » S j ­ ^ ) + ­ i L p p
y = 1 , 2 , ...,s­l,s+l, ( f l 0 1
,
fl02
, ... а
) = 0 я
...,n. Przyjmując Q jla s = 0 otrzymujemy układ równań jednorodnych z niewiadomymi 0
0
« o i . « 0 2 . • • « o s ­ i , a 0 s + i , ... a0„ i Q. M o ż na wykazać, że w ogólnym przypadku wszystkie amplitudy współrzę dnych normalnych dą żą do nieskoń czonoś i c tak, że dla a , ­> oo 0
(2.5) a ja 0]
0s
­> const, a zatem postać d r g a ń układu przy rezonansie dą ży do pewnej wartoś ci & róż nej o d linio­
wej postaci własnej й
n 2b a
0tj
(2.6) 0j ~ = ^ x
l >Ь ,Ф Ь ,. 01
\л , Z а о «­>­о о a
°OlJ O] y=l С
2
и
Г 2
Natomiast przy zaniedbaniu sprzę ż eni
a mię dzy f
, | и »
У Р У posługiwaniu się uproszczonymi równaniami (1.12), otrzymamy wynik podobny do wyniku d l a układu liniowego 0
,
(2.7) ~
, ri. £ = a ,cosQt = 0 j
0
1
0
Q cosQt 0s
2
2
M [co (a ,)­G ] 0s
0
ao«­*oo gdzie pW(a ) u
(2­8) co (a ) = a>os+Mi ( O = «>о ,+
5
0j
n
2
a Mo, 0s
i w rezultacie postać drgań przy rezonansie nie ulega zmianie Xijxx -> Z>o(»-
3. Nieliniowe współrzę dne normalne w analizie rezonansów głównych Rozszerzmy teraz poję cie czę stoś i c i postaci własnych na układ nieliniowy. Drgania główne nieliniowego układu autonomicznego zakładamy w postaci funkcji harmonicznej (3.1) x = O ijcoscojt = ajbijcoscojt , t
i,j = 1 , 2 , и , b j = 1. }
W . 22 SZEMPLIŃ SKA­STUPNICK
A Podobnie jak w układzie liniowym, wielkoś ci coj, j = l, 2, ..., n, nazywamy czę stoś­
ciami własnymi, a współczynniki b , i = 1, 2, 3, — postaciami n, j=\,2,...,n własnymi układu. Wielkoś ci te są funkcjami amplitudy tJ
(Oj = cOj(aj), j = 1,2, bij = b (aj), u
и , i = 2, 3, n, a okreś limy je z równań Ritza 2л (3.2) J Si(t)cosa>td(a)t) = 0, i = 1,2, ...,n, o gdzie £;(/) — «pozostałoś ci» r ó w n a ń ruchu (1.2) po podstawieniu do nich przybliż onego rozwią zania (3.1). Uczynimy założ enie, że w rozpatrywanym zakresie parametrów wszyst­
kie czę stoś i ccoj i postacie własne Ь przybierają róż ne wartoś ci. Zbadajmy teraz zachowanie się układu nieliniowego zachowawczego przy rezonansie zakładają c, że czę stość siły wymuszają cej może zbliż yć się nieograniczenie do czę stoś i c
własnej OJ . Podstawiając do równań ruchu rozwią zanie w postaci JC = /­,cosi2/ i stosując metodę Ritza otrzymujemy równanie z niewiadomymi г г , . . . , r „ , И
S
(
1 г
2
n 2
­ / w , £ r , + ^K (ri­r ) ik
+ k
Jt=0 2л + ­­­ Г fifiir^cosQt, ... r„cosQt)cosQtd(Qt) 71 J = P t
/ = 1 , 2 , п . / = 1 , 2 , n. О Po podzieleniu stronami przez r otrzymujemy s
n (3.3) 2
­niiQ ­^­ +
ł*s 2л У к ^^ TP + — Г fifiCosQtd(Qt) TT/Yч *) 1к
s
= s fг 0
k=0
Zakładają c, że przy rezonansie r przybiera wartoś ci tak duż e, że Ptjr moż emy trak­
tować jako bliskie zeru, otrzymujemy układ r ó w n a ń jednorodnych jak dla układu auto­
nomicznego. Jedynymi rozwią zaniami harmonicznymi układu autonomicznego są rozwią­
zania (3.1) przedstawiają ce drgania główne o czę stoś ciac
h własnych (Oj i postaciach włas­
nych bij. Zatem przy rezonansie, gdy r ­> co, układ drga w pobliżu nieliniowych drgań głównych Q ­> m i postać drgań układu dą ży do b , i = 2, 3, n. Widzimy wię c, że drgania układu w pobliżu rezonansu moż emy opisać za pomocą jednej współrzę dnej zwią zanej z nieliniową postacią własną s
s
s
s
ls
(3.4) x « b (a )C . t
is
s
, s
Jeż eli to rozwią zanie podstawimy do r ó w n a ń ruchu (1.2), a nastę pnie p o m n o ż y my każ de z równań przez odpowiednie b i dodamy wszystkie razem, otrzymamy u
n n <3.5) '§ £mibf s
s
i=l n n + C ]?[£K (b ­b )]b + s
ik
i­l is
k­0 ks
is
n ^b ifi­ b P osQt isf
/ = 1 h
/­1 iC
= 0. WSPÓŁRZĘ DN
E NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW 23 Opierając się na rozwią zaniu harmonicznym £ = a cosQt, co przy drganiach swobod­
nych sprowadza się do £ = a cosco t, dochodzimy za pomocą r ó w n a ń Ritza do wniosku, że spełniona jest zależ ność s
s
n s
n rt Łs2] JE Kik(bi ­b )b + S
i = l s
s
ks
2jb fifi = C M a>j, u
is
k=0 s
s
1 = 1 gdzie co — czę stość własna układu nieliniowego bę dą a c funkcją amplitudy, a M = n s
2
= ^niib , s
— uogólniona masa s­tej postaci, bę dą a c również funkcją amplitudy. i=i Równanie (3.5) przybiera zatem postać 2
(3.6) Mj + a) M C = Q cosQt, s
s
s
s
a stąd rozwią zanie (3.7) S = a,cosQt = a
Q cosQt M ((oj­Q ) • s
2
s
Równanie (3.7) opisuje «odpowiedź» układu na działanie sił wymuszają cych P cos Qt pod warunkiem, że wystę puje tylko jedna s­ta postać ruchu. Współrzę dne £ spełniają ce te równania nazywać bę dziemy nieliniowymi współrzę dnymi normalnymi. Spełniają one warunek, że przy rezonansie dominuje tylko jedna, rezonansowa współrzę dna, a pozostałe przybierają ograniczone wartoś ci. Nie wiemy jednak jak wyraża się ogólne rozwią zane x
w funkcji tak zdefiniowanych współrzę dnych, gdyż jak wiadomo, w układzie nieliniowym nie jest słuszne prawo superpozycji. Skoro w układach liniowych mię dzy x i £ zachodziła zależ ność liniowa (1.5), w układzie nieliniowym może to być j a k a ś zależ ność nieliniowa t
s
t t
0 ]
Xi = X,(Si, l . • • £»)• 2
Zagadnienie to zostało rozwią zane w pracy [1] dla pewnego szczególnego u k ł a d u o n stopniach swobody posiadają cego tzw. graniczne czę stoś i c własne. Wykazano mię dzy innymi, że wielkość błę du wynikają ca z odrzucenia współrzę dnych «nierezonansowych» £ 1 , £2 ••• f s ­ i > £ s + i > ••• fn przy Q ­1» cos jest wię ksza niż w układach liniowych, miano­
wicie, że człon odrzucany dą ży do nieskoń czonoś , ci lecz do nieskoń czonoś i c niż szego rzę du niż współrzę dna rezonansowa: * i = Ł bijej+Axiiei, C ... Ł„); 2
(3.8) Xi ­* b a cos Dt + a cos Qt is
s
t
Q­*­tOa oraz tti ~* 00, lecz — ^ a więc ostatecznie Xi ­* b C . is
s
• 0, 24 W . SZEMPLIŃ SKA­STUPNICK
A W niniejszej pracy przedstawiony jest jeden z praktycznych aspektów powyż szych rozważ ań, mianowicie sprawa oceny maksymalnej amplitudy przy rezonansach i wpływa­
nia na charakterystykę tłumienia przez odpowiednie umieszczenie elementu tłumią cego. Zauważ my bowiem, że gdy element tłumią cy znajduje się mię dzy masą m i m , to siła tłumienia zależy od róż nicy amplitud tych mas, a więc od amplitudy jednej z nich i postaci drgań. Jeż eli w wyniku nieliniowej charakterystyki sprę ż n y postać drgań ulega zmianie ze wzrostem amplitudy, ulegnie również zmianie efektywność elementu tłumią cego, co szczególnie rzutuje na maksymalne amplitudy przy rezonansach. Stąd nasuwa się przy­
puszczenie, że metoda obliczeń nie uwzglę dniają a c zmian postaci drgań, a więc i metoda polegają ca na pominię ciu sprzę ż eni
a mię dzy liniowymi współrzę dnymi normalnymi, może dawać niedokładne wyniki. t
k
4. Badanie rezonansów głównych układu o trzech stopniach swobody Zagadnienie rozpatrzmy szczegółowo na przykładzie układu drgają cego o trzech stop­
niach swobody przedstawionego na rys. 2. D l a uproszczenia obliczeń przyję to, że tylko jedna sprę ż yn
a ma charakterystykę nieliniową sztywnieją cą typu x . U k ł a d zaopatrzony jest w jeden element tłumią cy o charakterystyce liniowej i jest wzbudzany siłą harmo­
niczną PiCosQt. 3
В COSQt ft ^3 Kv+yfa­x/ /С ю ^_ Xi Rys. 2. Model mechaniczny układu о trzech stopniach swobody R ó w n a n i a ruchu układu przy umieszczeniu tłumika mię dzy masą / M i m są nastę pu­
T
2
j ą c e: m^^^ (4.1) 3
+K x +K (x ­x ) 10
1
i2
l
+ ]i(x ­x ) 2
1
2
+Jil[^^ ­ = 3
m ­^+K (x ­x )+K (x ­x )­Ji(x ­x ) ­Ą ^­^\
2
12
2
l
23
2
3
1
P osQt, lC
= 0 , 2
2
d x m ~~+K (x ­x ) 3
23
3
= 0, 2
lub w postaci bezwymiarowej: y i ^ ^ 4
2
< ­ > У
+ CioXi + CiAXi­x^+ftiXi­x^+ftl^­ 2 ^ + С
12
(х ­х ) 2
1
+ С
2
z
d x Yz­^­ + C (x ­x ) 23
3
2
= 0, А
х
2
­ х
3
) ­ ф
­ ­ ^ ­ J = Л С О Б Я Т , 1
­ х
2
У
­ А
^ ­ ­ ^ = 0 , 25 WSPÓŁRZĘ DN
E NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW gdzie wprowadzono oznaczenia Щ m. Kio P ­ A
.
­
U
J
L
. Zastę pując drugie rуwnanie przez sumę rуwnania pierwszego i drugiego otrzymamy układ, w ktуrym wyraz nieliniowy wystę puje tylko w jednym r у w n a n i u : d
c
1
Yi f 3
12
2
4
3
( ­ ) = PiCosiir, S
+ ioXi + C (x ­x )+^(x ­x ) +^l{^­­^­ j
2
1
2
1
2
2
d x d x y ­jzr­ dr + Y2­^ł­ + C x + C (x ­x ) = P ^ o s i ^ r , 2 1
10
1
23
2
3
2
dx
dr
3 У з­
+ C (x ­x ) 23
2 3
= 0. 2
Zakładając d l a układu autonomicznego rozwią zanie Xi = acoscor, (4.4) x = ab coscot, 2
2
x = oZ> cosftjr, 3
3
czystoś ci własne w funkcji amplitudy a znajdziemy z wyznacznika charakterystycznego 2
­ с о + С
У 1
2
2
(4.5) D(<o ,a )= _
2
+ С
+ х (а ), 10
y i f t )
2
­ C
12
+ c , 1
2
, 0 2
­y <o + C , 10
2
О , ­C
23
= 0 . 23 2
­C , ­У з <а + С г з \ 23
gdzie: 2
2
х (а ) = ­ц а (\­Ъ )К 2
2
2
Postacie własne znajdziemy z a pomocą dopełnień algebraicznych wyznacznika D(m , a ), Wybierając s = 1 otrzymamy by jako funkcje czę stoś i Oj c
(4.6) b = 2J
~С з Yi°>j­C&> 0 2
­y a>j + C
3
23 2
Y (o + C , 2
3 J
23
­C , 23
^ _ b jC
2
3
2
­у о > 3
+ С
23 23 ~ ­y (oj + C
23 W . SZEMPLIŃ SKA­STUPNICK
A 26 Przy amplitudzie a dą ż ą j cedo nieskoń czonoś , ci dwie niż sze czę stoś i c własne dą żą do pewnych wartoś ci granicznych ft> i, co równych czę stoś cio
m własnym układu, w któ­
rym masy m i m są ze sobą sztywno połą czone. Czę stoś i c te obliczymy z wyznacznika lłm
y
ltm2
2
2
­o (y + y ) + C + C
1
(4.7) 2
10
— C23 23 D = um
= 0 . 2
• yco + C
3
23 Spełniają one warunek W
( « 0 1 < 0 >Hml <
0 2 <
W
(
l i m 2 < »03 • Trzecia, najwyż sza czę stość własna dą ży do nieskoń czonoś i c ze wzrostem amplitudy (rys. 3). D l a obliczonych z (4.7) czę stoś i cgranicznych za pomocą wzorów (4.6) obliczamy odpowiednie graniczne postacie własne. VjJa с о (а )\ oiifa) г
co (a) 3
J L 0,8,11,0 1,2 16 0,5 2,0 2,8 co Rys. 3. Krzywe czę stoś i c własnych W funkcji amplitudy D l a przykładu liczbowego scharakteryzowanego parametrami Yi = 1» С ю
=
1, У г = 0,5, у з = 0,5, С 12 С 23 — 1, —
1 , czę stoś i c i postacie własne są nastę pują ce
: 1. postać 0 ) , 0
= 0,592, 1.65, Ł 0 2 1 =
6 0 31 = 2,0, 2. postać 3. postać o) = 1,41, (o = 2,38, 6 0 22 =
02
03
0,0,
6 0 23 = ­ 3 , 6 4 , b = -1, 0 ,
6 0 33 = « п . , 1 = 0,685, « l i m 2 = CO ­* 0 0 6 ( 21 = l A 6 , 2 2 = 1,0,
6 / 23 = —77- = ­ 2 , 0 , У г 6/31 = 1 , 3 , 6(32 = ­ 2 , 3 , 6 , 33 = 0.
032
1,70, 2,0, l3
Zbadajmy pierwszy rezonans posługując się dwiema metodami: 1) metodą nieliniowych współrzę dnych normalnych redukują cych układ w pobliżu rezonansu do jednego stopnia swobody okreś lonego przez nieliniową postać własną b ; ti
WSPÓŁRZĘ DN
E NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW 27 2) metodą zaniedbania sprzę ż eni
a mię dzy współrzę dnymi normalnymi f i> Ł02» £о з » tj. metodą redukują cą układ do jednego stopnia swobody okreś lonego przez liniową postać własną b . 0
on
4.1. Analiza pierwszego rezonansu za pomocą nieliniowych współrzę dnych normalnych. Zgodnie z (3.6) nieliniowe współrzę dne normalne spełniają rozprzę ż on
e równania ruchu i dla układu nietłumionego amplitudę a obliczamy z zależ noś i c
t
a =
(4.8) y
Г
' M [co\{a )­Q*y l
gdzie Mi = I+YIHI + 1
VSHI. Czę stość własną c o ^ a j i współczynniki postaci własnej b (ai) i 631(^1) znajdujemy za pomocą wzorów (4.5) i (4.6). 2i
Rys. 4. Krzywe rezonansowe nieliniowych współ­ rzę dnych normalnych w pobliżu pierwszego rezo­ nansu Rys. 5. Współczynniki pierwszej postaci własnej b b w funkcji amplitudy 2u
31
Amplitudy współrzę dnych «nierezonansowych» a i a są na tyle małe, że obliczymy je jak dla układu liniowego 2
3
W . SZEMPLIŃ SKA­STUPNICK
A 28 Ponadto za pomocą wzorów wyprowadzonych w pracy [1] obliczymy wielkość członu nieliniowego w transformacji (3.8), czyli wielkość a = <x (Q). W y n i k i naniesiono na rys. 4 w formie wykresów а ± = a^Q), a — a {Q), a — a {Q), a = а . {Р ) oraz na rys. 5 *2i = b {a ) i hi = b i{a ). Całkowita amplituda masy т wynosi (
2
2i
3
l
2
;
3
3
t
у
y
х
r = a + a + a + a . t
1
1
2
3
D w a ostatnie wyrazy a i a przybierają bardzo małe wartoś ci, natomiast aj i otj dą żą do 2
3
nieskoń czonoś , cigdy Q ­* w ( a ) . Naniesiono również krzywą 1
= — i ­ (Q) pokazują c, 1
że zgodnie z ogólną analizą przeprowadzoną w pracy [1] przy rezonansie \a —> 0 uza­
sadnione jest ograniczenie rozważ ań do współrzę dnej rezonansowej | = a cos Qr. x
t
i VjJa
s
0i I I vpVfl.5 I I -
vffa / 0j
­
10 Wa Ja
0
i 0,5 I 0l — i 0,9 i 1.0 1,1 1.2 C M , Rys. 6. Krzywe rezonansowe liniowych współ­
rzę dnych normalnych w pobliżu pierwszego re­
zonansu Przy umieszczeniu tłumika mię dzy masą m i m współrzę dną f okreś limy z równania x
(4.10) 2
M 'i +M (ol(a )( +fil(l­b i) ii 1
1
l
l
1
2
2
t
= P cosQr. t
Zakładając rozwią zanie f = U^COS (£?г —#i) i stosując metodę Ritza otrzymamy t
(4. II) Л WSPÓŁRZĘ DN
E NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW 29 Przy umieszczeniu tłumika mię dzy m i m otrzymamy odpowiednio 2
3
(4.12) 2 Q
Krzywe rezonansowe układu tłumionego w pobliżu pierwszego rezonansu przedsta­
wione są na rys. 7 i 10. Zauważ my, że odpowiednik współczynnika tłumienia 2
Ц
(4.13) 2
1[1­Ь (а г )] _ , fil(b ­b ) — "l>2> 1 1 / / „ \
21
21
_ "2'3 3l
—
jest tutaj funkcją amplitudy, mimo że tłumik ma charakterystykę liniową. R, cosQt 43­
*, a,cos(Qt­Ą ) a cos(Qt­iŁ,) 0l
l / IJl ­0,5 Rys. 7. Krzywe rezonansowe układu tłumio­
nego — tłumik mię dzy masą m i m
y
2 4.2. Analiza pierwszego rezonansu za pomocą liniowych współrzę dnych normalnych. R ó w n a n i a ru­
chu układu we współrzę dnych normalnych | i > Ł02» £о з przybierają dla układu nietłumio­
nego postać (2.3) 0
(4.14) M jC j+M ja)ljC j 0
0
0
0
+ p(l­b ) 02J
{У , CosV­b ) 02s
= PxCOsQr, y ' = l , 2 , 3 . W . SZEMPLIŃ SKA­STUPNICK
A 30 Zbadajmy zachowanie się tych współrzę dnych przy pierwszym rezonansie z uwzglę d­
1
nieniem ich sprzę ż enia
. R ó w n a n i a (2.4), z których wyznaczymy f 2 / f o i !о з /£<п przybie­
0
rają p o s t a ć : 2
2
co ­Q + n
13 5 ^
3 M (i ll— ­ 6C o
n i i l ) .
M
2 1
+ « 0 2 0 1 I r
L f l g i
( 1
_. .. f On? o
_
«oi «0 1 i o 2 i ) +
1 ( 1
6 o 2 2 ) +
fч o Oni 3_ " o i _
( l
Л
о
2 з
л | )
M
0 1
a ' 0 1
2
( c o ­ . Q ) + 02
« 0 1 (4.15) +
3 ag, [ l ­ * o a . + — (1 ­Ъ о г г )+ L « 0 1 M 01
^ (1 ­ *
«oi 0 2
з )Т J Л Ma 02
' 0i
«01 A i " ( l ~ ^ Q 2 3 ) ­ a g , 4 Л /03 I ­ 6 0 2 1 + — ( 1­^022) + ^ ( 1 ­ 6 0 2 3 ) T = Л ^ о з «01 «01 « 0 1 J Л Zakładają c, że a ­* 00 tak, że O, otrzymamy z (4.15) 01
f 2 1 ­ . 0 , 3 4 , «01 О ­Х 01 ^ 0,0735. « 0 1 O­>­0)i R ó w n a n i a (4.15) pozwalają również wykreś lić przebieg krzywych rezonansowych. W y n i k i obliczeń w postaci wykresów a = a (Q), a = a (Q), a = a (Q) przedstawione są na rys. 6. D l a układu tłumionego zbadamy współrzę dną rezonansową | bez uwzglę dnienia sprzę ż enia
. G d y tłumik umieszczony jest mię dzy masą m i m , współrzę dną tę okreś limy z równania 0i
01
02
02
03
03
0
x
(4.16) M
0 1
i o i + M
1
2
4
0 1
W o i f o i + ^ ( l ­ ^ o 2 i ) ^ i + ( l ­ ' ' o 2 i ) V f o i = PiCOsQr. Rozwią zując (4.16) otrzymamy (2.7) ,r,
ч floicos^­^,) ­
(4.17) f o i = Л с о в Ш
n
т ­ * , ) 2
ц 1(\­Ъ
2
2 021
M y [(a> +/iA ) ­Q*\ + M
01
0l
l
)
0l gdzie (4.18) •
A, (\­b021Y ,««01 M o , 2
G d y tłumik umieszczony jest mię dzy masą m i m , otrzymamy 2
(4.19) f o i = « 0 1 ( c o s f i f ­ 0 , ) = . M у 0 1
3
Л cos ( А т = = = •Pl(bo21—bo3l)
[(0)01+ / ^ , ) ­ £ ] + M
2
2
2
0 1 2 £
2
WSPÓŁRZĘ DN
E NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW Wyraż enie co +/nA (a ) razów małych rzę du ц
l
01
01
31 jest tu czę stoś ą ci własną okreś loną z dokładnoś cią do wy­
1 a) +/iAi(a )
01
= lOiiaoj). 01
Zatem metoda ta może dać prawidłowe wyniki tylko wtedy, jeż eli co (a ) mało róż ni się od co . Współczynnik tłumienia h
x
01
01
0 jest w tym przypadku stały, niezależ ny od amplitudy. Współrzę dne «nierezonansowe» fo2> £о з bez uwzglę dnienia sprzę ż eni
a pozostają przy rezonansie na tyle małe, że obliczymy je jak dla układu liniowego (4.9). Krzywe rezonansowe obliczone według (4.17) i (4.18) oraz (4.19) naniesiono na rys. 7 i 10 obok krzywych rezonansowych współrzę dnej a . D l a porównania wykreś lono również krzywe rezonansowe układu liniowego. x
5. Analiza wyników i wnioski Badanie rezonansów za pomocą równań (1.12), (4.14), a więc za pomocą liniowych współrzę dnych normalnych przy zaniedbaniu ich sprzę ż enia
, jest bardzo proste oblicze­
niowo lecz niesie ze sobą moż liwoś i cduż ych błę dów. Szczególnie jaskrawo jest to widoczne na przykładzie przedstawionym na rys. 7 przy umieszczeniu tłumika równolegle z nie­
liniową sprę ż yn
ą mię dzy masą m i m . Porównanie krzywych rezonansowych układu liniowego i a = a (Q) układu nieliniowego sugeruje, że w rozpatrywanym zakresie p a r a m e t r ó w układ mało odbiega od liniowego, gdyż (с о +/г А ) mało róż ni się od a> , a wię c, że wynik ten powinien być bliski rozwią zaniu dokładnemu. W przykładzie tym jednak małym zmianom czę stoś i c własnej towarzyszy szybka zmiana postaci własnej b i, b w funkcji amplitudy, co przy tej metodzie nie jest zupełnie uwzglę dniane (rys. 5). Te zmiany postaci własnej znajdują odbicie przy metodzie nieliniowej współrzę dnej nor­
malnej, tj. krzywej cii = a (Q). Krzywa ta wykazuje około 2,3 razy wię kszą amplitudę przy rezonansie niż to przewiduje wynik poprzedni. Ten wzrost amplitudy jest wywołany zmia­
ną efektywnego współczynnika tłumienia / г we wzorach (4.11) i (4.13). Przy metodzie liniowej współrzę dnej normalnej [wzór (4.17)] współczynnik h jest stały i niezależ ny od amplitudy. Przy metodzie nieliniowej współrzę dnej normalnej [wzór (4.13)] efektywny współ­
czynnik tłumienia h jest funkcją amplitudy. W rezultacie, mimo że sam tłumik jest liniowy, otrzymujemy nieliniową charakterystykę tłumienia. D l a ilustracji na rys. 8 wy­
kreś lono przebieg zmian współczynnika h w funkcji amplitudy d , , a n a rys. 9 — maksy­
malne amplitudy przy rezonansie w funkcji stosunku siły wymuszają cej do parametru tłumienia fil. y
0 1
2
01
01
2
1
01
3l
t
1>2
0 1 i 2
u 2
U2
W rezultacie krzywa rezonansowa a = a i ( ^ ) daje błę dną ocenę maksymalnej amplitudy przy rezonansie, mimo że jej przebieg (małe odchylenie od w ) daje podstawy do przypuszczeń, że powinna ona być bliską rozwią zania dokładnego. Nasuwa się tu wniosek, że zakres stosowalnoś ci tej metody powinien być kontrolowany nie tylko miarą odchylenia czę stoś i cwłasnej, ale i postaci własnej od odpowiednich wartoś ci liniowych. 0i
0
0 1
PiCDSQt cas(5t­a,) \Vj7a, ю i i 0,2 0,4 I I ""NI I 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 h,, 0,6 0,8 1° fl /h „ v
VjTPjyl 0
Rys. 9. Maksymalna amplituda przy pierwszym rezonansie w funkcji stosunku siły wymuszają cej do parametru tłumika fil Rys. 8. Zmiany efektywnego współczynnika tłu­
mienia hi, w funkcji amplitudy 2
ACDSQt VJJR,­0.5 ' W 16 №
a cos{Qt­d,) i 1 0l
•8 vpa
0l i 12 t­4 Układ liniowy 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Q/co
0l Rys. 10. Krzywe rezonansowe układu tłumionego — tłumik mię dzy masą m i т
2
[32J ъ WSPÓŁRZĘ DN
E NORMALNE W ANALIZIE REZONANSÓW 33 Wyniki otrzymane przy umieszczeniu tłumika mię dzy masą m i m są przykładem zupełnie odwrotnej sytuacji: przebieg krzywej rezonansowej a = a (Q) sugeruje, że układ znacznie odbiega od liniowego, gdyż czę stość (co +fiA ) róż ni się znacznie od ш
. Wnioskujemy więc od razu, że krzywa ta nie daje prawidłowych rezultatów. M i m o to krzywa rezonansowa nieliniowej współrzę dnej normalnej а ± = a^{Q) daje wyniki nie odbiegają ce silnie od układu liniowego: zarówno czę stość rezonansowa, jak i maksymalna amplituda nie róż nią się znacznie od odpowiednich wartoś ci układu liniowego. Wynika to z faktu, że róż nica współczynników postaci własnej (b — b ) decydują ca o wielkoś ci efektywnego współczynnika tłumienia h (4.11), (4.13) zachowuje wartość prawie stałą w duż ym zakresie amplitud, mimo że wartoś ci b i b ulegają silnym zmianom (rys. 5). 2
01
0ł
3
01
1
21
0 1
31
2i3
21
3l
Przypadek umieszczenia tłumika mię dzy m i m nie jest rozpatrywany, gdyż jest od razu jasne, że efektywny współczynnik tłumienia /z ,i jest wtedy stały. 0
t
0
Reasumując wady i zalety obu metod należy stwierdzić: 1. Zaniedbanie zmian postaci drgań w funkcji amplitudy poprzez zaniedbanie sprzę ż ­ e
nia mię dzy liniowymi współrzę dnymi normalnymi daje metodę bardzo prostą, ale stwarza duże moż liwoś i c otrzymania rezultatów zupełnie błę dnych. Stosować ją m o ż na tylko w ta­
kim zakresie amplitud, w którym i czę stoś i cwłasne i postacie własne ulegają nieznacznym odchyleniom od odpowiednim wartoś ci liniowych. 2. Badanie rezonansu za pomocą nieliniowej współrzę dnej normalnej nie stawia ogra­
niczenia na wielkość odchylenia czę stoś i ci postaci od wartoś ci liniowych, jest więc słuszne w znacznie wię kszym zakresie amplitud. Metoda ta jest nieco bardziej pracochłonna, ma jednak tę dużą zaletę, że jej dokładność wzrasta nawet ze wzrostem amplitudy (pod wa­
runkiem, że istotnie tylko pierwsza harmoniczna dominuje w rozwią zaniu). Literatura cytowana w tekś cie 1. W. SZEMPLIŃ SKA­STUPNICKA
, On the norma! coordinates in an analysis of steady­state forced vibrations of a nonlinear multiple­degree­of­freedom system, Arch. Mech. Stos., 21, 5 (1969). 2. W. SZEMPLIŃ SKA­STUPNICKA
, Postacie drgań przy rezonansie nieliniowego układu o dwуch stopniach swobody, Arch. Budowy Maszyn, 1 (1962). 3. W. SZEMPLIŃ SKA­STUPNICKA
, On the asymptotic, averaging and Ritz method in the theory of steady­state vibrations of nonlinear systems with many degrees of freedom, Arch. Mech. Stos., 22, 2 (1970) 4. И . И . Б О Г О Л Ю Б О В , Я . А . М И Т Р О П О Л Ь С К И , А с и м п т о т и ч е с к и е м е т о д ы в т е о р и и н е л и н е й н ы х к о л е б а н и й , Г . Н . Ф ­ М Л . , М о с к в а 1963. Р е з ю
Н О Р М
Р а
с и с т е м
ф и р о в
н ы х к
м
е А Л Ь Н Ы Е К О О Р Д И Н А Т Ы В А Н А Л И З Е Г Л А В Н Ы Х Р Е З О Н А Н С О В Н Е Л И Н Е Й Н Ы
К О Л Е Б А Т Е Л Ь Н Ы Х С И С Т Е М С О М Н О Г И М И С Т Е П Е Н Я М И С В О Б О Д Ы с с м а т р и в
ы с п с т
а н и я . Р е
о э ф ф и ц и
а ю т
е п е
ш е н
е н т
с я н я м
и е о в с т
и п р
п р
3 Mechanika Teoretyczna а ц и о н а р н ы е
с в о б о д ы , о
е д п о л а г а е т с
и м е н я е т с я к о
б л а
я в
м е т
л е б а н
д а ю щ
в и д е
о д Р
Х и я в о к р е с т н о с т и г л а в н ы х р е з о н а н с о в д и с с и п а т и в н о й е й н е л и н е й н ы м и х а р а к т е р и с т и к а м и у п р у г о с т и и д е м п ­
г а р м о н и ч е с к о й ф у н к ц и и , а д л я о п р е д е л е н и я н е и з в е с т ­
и т ц а . W . SZEMPLIŃ SKA­STUPNICK
A 34 Ц е л
п р о ц е д у
н о р м а л ь
о с н о в а н
ь ю и с
р , п р и
н ы х к
а н а п
с л е д о в а н
в о д я щ и
о о р д и н а
р и м е н е н
и я
х к
т л
и и
я в л я е т
р а з д е л е
и н е а р и з
т н з в . н
с я
н и
о в
е л
а н а л и з т о ч н
ю у р а в н е н и й
а н н о й с и с т е м
и н е й н ы х н о р
о с т и
д в и
ы и
м а л
и п
ж е н и
в п р
ь н ы х
р и г о
я . П
е н е б
к о о
д н о
е р в
р е ж
р д и
с т и д в у х в а р и а н т о в у п р о щ е н н ы х а я п р о ц е д у р а с о с т о и т в о в в е д е н и и е н и и с о п р я ж е н н о с т ь ю ; в т о р а я — н а т . S u m m a r y N O R M A L COORDINATES IN T H E ANALYSIS OF PRINCIPAL RESONANCES O F NON­
LINEAR VIBRATING SYSTEMS WITH M A N Y DEGREES O F F R E E D O M The considerations concern steady­state vibrations of dissipative multiple­degree­of­freedom nonlinear systems. Theoretical investigations are based on a single term harmonic solution and the W. Ritz method. The purpose of the paper is the analysis of accuracy and applicability of two approximate procedures leading to uncoupling of the equations of motion: 1) a procedure consisting in introducing normal coordi­
nates of linearized system and neglecting the coupling terms; 2) a procedure based on the concept of non­
linear normal coordinates. INSTYTUT PODSTAWOWYCH PROBLEMУW TECHNIKI PAN Praca została złoż ona w Redakcji dnia 11 lutego 1972 r.