TOPOLOGIA LISTA PRZYGOTOWAWCZA DO KOLOKWIUM 1

TOPOLOGIA
LISTA PRZYGOTOWAWCZA DO KOLOKWIUM
1. Pokazać, że kula otwarta jest otwarta.
2. Podać przyklad przestrzeni metrycznej (X, r), w której domkniȩcie pewnej
kuli otwartej B(x0 , r) nie jest kula̧ domknȩta̧ {x ∈ X : d(x0 , x) ≤ r}.
3. Udowodnić, że w każdej przestrzeni metrycznej zbiór skończony jest domkniȩty.
4. Pokazać, że jedynymi podzbiorami domkniȩto-otwartymi (tzn. takimi, które
sa̧ jednocześnie domkniȩte i otwarte) prostej rzeczywistej R sa̧ cala prosta i zbiór
pusty.
5. Przypomnieć definicjȩ przestrzeni zupelnej. Udowodnić twierdzenie (bylo
wraz z dowodem na wykladzie), że w przestrzeni zupelnej cia̧g zstȩpuja̧cy F1 ⊇
F2 ⊇ . . . zbiorów domkniȩtych o średnicach δ(Fn ) maleja̧cych do zera, ma
przekrój dokladnie jednopunktowy. Podać przyklad (również w przestrzeni
zupelnej), że jeśli opuścić zalożenie δ(Fn ) → 0, przekrój może być pusty.
6. Przypomnieć definicjȩ zbioru zwartego. Pokazać, że jesśli przetrzeń jest
zwarta, to jest zupelna.
7. Udowodnić twierdzenie (bylo-bȩdzie wraz z dowodem na wykladzie), że obraz
zbioru zwartego przez odwzorowanie cia̧gle jest zbiorem zwartym. Czy przeciwobraz zbioru zwartego przez odwzorowanie cia̧gle musi być zwarty?
8. Niech dist(A, B) = inf{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}, gdzie (X, d) jest przestrzenia̧
metryczna̧. Niech δ(A) oznacza średnicȩ zbioru A.
Udowodnić, że
δ(A ∪ B) ≤ δ(A) + δ(B) + dist(A, B).
Podać przyklad, w którym zachodzi równość oraz przyklad, w którym nierówność jest ostra.
9. Czy prawdziwe sa̧ równości:
1. Fr(Int A) = Fr A,
2. Int A \ B = (Int A) \ B
?
Jeśli tak, uzasadnić, a jeśli nie, podać kontrprzyklad.
1