6 problemy rozkroju dualnosc - Zachodniopomorski Uniwersytet

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z
przedmiotu:
Badania operacyjne
Temat ćwiczenia:
Problemy rozkroju materiałowego, zagadnienia dualne
Opracował:
Dr inż. Artur Berliński
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki
Szczecin 2011
>28<
Problemy rozkroju
Zadanie optymalnego rozkroju jest przykładem zadania polegającego na zapisanej w
„niejawny” sposób minimalizacji kosztów zużycia środków produkcji. Zakłada się, że są
dostępne w nieograniczonej liczbie półfabrykaty takie, jak: druty, deski, rury, arkusze blachy,
tworzyw sztucznych, papieru, bloki metalu, plastiku etc. Przyjmuje się, że półfabrykaty te są
jednakowe z punktu widzenia ich parametrów technicznych (mają jednorodną strukturę), a
ponadto mają one jednakową ceną zakupu i obróbki. Półfabrykaty te można pociąć (na n
różnych sposobów) na mniejsze fragmenty – detale m różnych typów (gdzie „typy detali”
oznaczają detale o różnych rozmiarach). Ponadto z każdym sposobem cięcia (lub
przynajmniej z niektórymi z nich) jest związane pozostawanie odpadów tzn. części
półfabrykatów zbyt małych lub o takim kształcie, że nie da się z nich wyciąć detalu
któregokolwiek z typów. Należy zadecydować, ile półfabrykatów należy pociąć na każdy ze
sposobów, aby zminimalizować łączną liczbę pociętych półfabrykatów lub, co jest
równoważne - łączną ilość odpadów produkując przy tym zadaną liczbę detali wszystkich
wymaganych typów.
W praktyce rozróżnia się rozkroje 1-, 2- i 3-wymiarowe w zależności od rodzaju
półfabrykatu i (przede wszystkim) kierunków cięć:
• rozkrój 1-wymiarowy jest rozkrojem wykonywanym tylko w jednym kierunku, (tzn.
wyznaczonym przez kierunek pewnej prostej);
• rozkrój 2-wymiarowy jest wykonywany w różnych kierunkach na jednej płaszczyźnie;
• rozkrój 3-wymiarowy jest wykonywany we wszystkich kierunkach w przestrzeni.
Rozkrój 1-wymiarowy
Półfabrykaty można pociąć (na n różnych sposobów) na mniejsze fragmenty – detale
m różnych typów (gdzie „typy detali” oznaczają detale o różnych rozmiarach). Ponadto z
każdym sposobem cięcia (lub przynajmniej z niektórymi z nich) jest związane powstawanie
odpadów tzn. części półfabrykatów zbyt małych lub o takim kształcie, że nie da się z nich
wyciąć detalu któregokolwiek z typów.
Dane są następujące parametry:
- liczba detali i-tego typu otrzymanych po pocięciu półfabrykatu na j-ty sposób (i=
1,...,m; j = 1,...,n) - parametry te są podawane w sztukach detali przypadających na sztukę
półfabrykatu;
- wymagana liczba detali i-tego typu, która ma powstać po pocięciu półfabrykatów
(i=1,...,m) – liczona w sztukach półfabrykatu;
- ilość odpadów przypadająca na j-ty sposób cięcia (j = 1,...,n)- (liczone w kg/szt, mb/szt,
2
3
m /szt, m /szt etc. gdzie „szt” oznacza 1 sztukę półfabrykatu pociętą na dany sposób).
Wartości te w istocie nie są niezależnymi parametrami ale są wyliczane przez odjęcie od
wagi/długości/powierzchni/objętości półfabrykatu łącznego rozmiaru detali wycinanych
każdym ze sposobów.
Należy zadecydować, ile półfabrykatów należy pociąć na każdy ze sposobów, aby
zminimalizować łączną liczbę pociętych półfabrykatów lub, co jest równoważne, łączną ilość
odpadów produkując przy tym zadaną liczbę detali wszystkich wymaganych typów.
Zmiennymi decyzyjnymi w tym zagadnieniu są, zatem liczby półfabrykatów:
- liczba półfabrykatów pociętych na j-ty sposób.
>29<
Ogólny model zagadnienia można zapisać następująco:
- łączna liczba pociętych półfabrykatów
albo
- łączna ilość odpadów
przy ograniczeniach
- liczba pociętych półfabrykatów nie może być ujemna
- całkowite - liczba pociętych półfabrykatów musi być całkowita.
Problemy dualne
Zagadnienie dualne programowania liniowego to transponowane zagadnienie pierwotne.
Zasady przekształcania zadania programowania liniowego (zadania pierwotnego) w zadanie
dualne są następujące:
1. Jeżeli w zadaniu pierwotnym funkcja celu jest maksymalizowana (minimalizowana),
wtedy funkcja celu zadania dualnego jest minimalizowana (maksymalizowana).
2. Zadanie dualne ma tyle zmiennych decyzyjnych, ile jest warunków ograniczających w
zadaniu pierwotnym.
3. Zadanie dualne ma tyle warunków ograniczających, ile jest zmiennych decyzyjnych w
zadaniu pierwotnym.
4. Współczynniki stojące przy poszczególnych zmiennych w funkcji celu zadania
dualnego odpowiadają prawym stronom warunków ograniczających zadania pierwotnego.
5. Prawe strony warunków ograniczających zadania dualnego są równe współczynnikom,
które stoją przy zmiennych w funkcji celu zadania pierwotnego.
6. Współczynniki, które stoją przy poszczególnych zmiennych w i-tym warunku
ograniczającym zadania dualnego są równe współczynnikom, które stoją przy zmiennej xi w
poszczególnych warunkach ograniczających zadania pierwotnego.
Zagadnienie pierwotne i dualne:
Transpozycja zagadnienia ma praktyczne znaczenie w przypadku możliwości
efektywniejszego rozwiązywania zadań sprzężonych (liczba zmiennych, liczba warunków
ograniczających, problem złożoności obliczeniowej). Wówczas w procedurze rozwiązywania
problemów decyzyjnych wykorzystuje się odpowiednie twierdzenia o dualności a w
szczególności twierdzenie o równowadze problemów prymarnego i dualnego.
>30<
Twierdzenie o równowadze
Niech x* i y* będą rozwiązaniami dopuszczalnymi symetrycznych problemów
dualnych. Aby x* i y* były rozwiązaniami optymalnymi potrzeba i wystarcza, aby
spełnione były następujące warunki:
I.
jeżeli
n
∑a
j =1
ij
x j * < bi to y i * = 0
ij
y i * < c j to x j * = 0
m
II.
jeżeli
∑a
i =1
III.
IV.
m
jeżeli x j * > 0 to
∑a
jeżeli y i * > 0 to
∑a
i =1
n
j =1
ij
ij
yi * = c j
x j * = bi
Twierdzenie o równowadze można wykorzystać, gdy znane jest rozwiązanie optymalne
jednego z zadań do wyznaczenia rozwiązania dualnego względem niego. Jeżeli znamy
rozwiązanie ZP to korzystamy z warunków I i III, a jeżeli znamy rozwiązanie ZD to do
wyznaczenia rozwiązania ZP korzystamy z warunków II i IV. Innymi słowy, jeżeli dowolny
warunek zadania jest spełniony z ostrą nierównością dla rozwiązania optymalnego, to
korespondujący z nim warunek zadanie dualnego spełniony jest z równością. Aby otrzymać
rozwiązanie ZD wystarczy rozwiązać otrzymany układ równań.
Problemy do rozwiązania w ramach ćwiczeń laboratoryjnych
Zadanie 1
Stosując własności zagadnień dualnych programowania liniowego rozwiązać następujący
problem decyzyjnych:
Punkt usługowy dostał zamówienie na wycięcie szyb do co najmniej 300 jednakowych
okien, z tym że na 1 okno wchodzą 2 szyby typu e1 oraz 3 szyby typu e2. Szyby wycina się z
jednakowych płyt szklanych i można je wycinać trzema sposobami. Liczbę szyb i odpad
powstały w procesie wycinania przedstawiono w tablicy:
Szyby
Sposoby cięcia płyty
I
II
III
e1
6
4
3
e2
0
4
6
Odpad (w kg)
0,6
1,6
1,2
Należy wyznaczyć plan rozkroju minimalizujący łączny odpad.
Zadanie 2
Stosując własności zagadnień dualnych programowania liniowego rozwiązać następujący
problem decyzyjnych:
Tartak otrzymał zamówienie na wykonanie co najmniej 300 kompletów belek. Każdy
komplet składa się z 7 belek o długości 0,7 m oraz 4 belek o długości 2,5 m. W jaki sposób
powinno być zrealizowane zamówienie, by odpad powstały w procesie cięcia dłużyc o
długości 5,2 m był minimalny. Jaka będzie wielkość odpadu przy optymalnym cięciu?
Zbudować model zagadnienia.
Zadanie 3
Stosując własności zagadnień dualnych programowania liniowego rozwiązać następujący
problem decyzyjnych:
>31<
Producent przyborów szkolnych zamawia papier w belach o szerokości 2,1 m oraz bele o
szerokości 4,2 m. W produkcji wykorzystuje arkusze papieru o szerokości 0,5 m oraz 1,4 m.
Plan produkcji wymaga zużycia 12.000 m papieru o szerokości 0,5 m oraz 18.000m papieru o
szerokości 1,4 m.
Jak należy pociąć zamówione bele, aby odpad powstały przy cięciu był najmniejszy. Jaka
będzie wielkość odpadu przy cięciu optymalnym. Zbudować model matematyczny.
Arkusze o
Sposoby cięcia
szerokości
Bele 2,1 m
Bele 4,2 m
I
II
III
IV
V
VI
0,5 m
4
1
8
5
2
0
1,4 m
0
1
0
1
2
3
Odpad
0,1
0,2
0,2
0,3
0,4
0
(w m)
Zadanie 4
Stosując własności zagadnień dualnych programowania liniowego rozwiązać następujący
problem decyzyjnych:
Przedsiębiorstwo może wytwarzać 3 typy maszyn: A, B, C zużywając przy tym m.in.
energię (220 kWh tygodniowo i stal (160 kg tygodniowo). Jednostkowe zapotrzebowanie na
energię i stal oraz zyski ze sprzedaży gotowych wyrobów przedstawia tabela.
Maszyn
Energia
Stal
Przychód
a
A
3
1
11
B
2
5
16
C
4
2
5
Zakład zainteresowany jest maksymalizacją swego przychodu.
o Sformułuj problem w postaci zadania programowania liniowego.
o Sformułuj i rozwiąż zadanie dualne. Zinterpretuj wartości optymalnych zmiennych
dualnych.
o Na podstawie rozwiązania zadania dualnego ustal optymalny plan produkcji. Ile wynosi
optymalna wartość funkcji celu?
o Jak należałoby sformułować zadanie, jeżeli maszyny sprzedawane by były w zestawach, a
na każdy zestaw składałaby się 1 maszyna A, 2 maszyny B i 3 maszyny C.
>32<