Zbiory uporz¡dkowane

Zbiory uporz¡dkowane
ρ⊂X ×X
Def. 14.1 Relacj¦
1. zwrotna,
∀ x, y, ∈ X : (hx, yi ∈ ρ ∧ hy, xi ∈ ρ) ⇒ (x = y).
porz¡dkuje zbiór
Cz¦sto zamiast
hx, yi ∈ ρ
gdy jest ona:
∀ x, y, z ∈ X : (hx, yi ∈ ρ ∧ hy, zi ∈ ρ) ⇒ hx, zi ∈ ρ,
3. antysymetryczna,
ρ
X,
∀ x ∈ X : hx, xi ∈ ρ,
2. przechodnia,
Mówimy, »e
nazywamy relacj¡ porz¡dkuj¡c¡ zbiór
ρ
X
a par¦
(X, ρ)
nazywamy zbiorem uporz¡dkowanym.
b¦dziemy u»ywa¢ dla oznaczenia relacji porz¡dkuj¡cej symbolu
stosowa¢ b¦dziemy zapis
6,
a zamiast
x 6 y.
Przykªady zbiorów uporz¡dkowanych:
1. Zbiór
P (X)
z relacj¡:
∀ A, B ∈ P (X) : (A 6 B) ⇔ (A ⊂ B).
2. Zbiór liczb naturalnych, uporz¡dkowany relacj¡ podzielno±ci:
∀ m, n ∈ N : (m 6 n) ⇔ (m|n).
3. Dowolny, niepusty podzbiór
Relacj¦
ρ
R,
uporz¡dkowany zwykª¡ relacj¡ mniejszy lub równy.
nazywa¢ b¦dziemy przeciwsymetryczn¡, gdy
∀ x, y, ∈ X : hx, yi ∈ ρ ⇒ ¬(hy, xi ∈ ρ)
i przeciwzwrotn¡, gdy
∀ x ∈ X : ¬(hx, xi ∈ ρ).
Niech
<
b¦dzie relacj¡ przeciwzwrotn¡ i przechodni¡. Gdyby zachodziªo
z zaªo»enia o przechodnio±ci relacji
przeciwzwrotno±ci¡
<
otrzymaliby±my, »e
x < x,
< . Uzyskana sprzeczno±¢ dowodzi, »e relacja przeciwzwrotna i przechodnia jest
Tw. 14.1
6
to
co jest sprzeczne z zaªo»on¡
tak»e automatycznie przeciwsymetryczna.
a) Je±li
(x < y) ∧ (y < x),
jest relacj¡ porz¡dkuj¡c¡ zbiór
X,
to relacja
∀ x, y ∈ X : (x < y) ⇔
<:
(x 6 y) ∧ ¬(x = y)
jest przeciwzwrotna i przechodnia (a wi¦c i przeciwsymetryczna).
1
b) Je±li okre±lona na zbiorze
X
relacja
<
jest relacj¡ przeciwzwrotn¡ i przechodni¡, to relacja
∀ x, y ∈ X : (x 6 y) ⇔
porz¡dkuje zbiór
(x < y) ∨ (x = y)
6:
X.
Dowód
Jako samodzielne ¢wiczenie, polegaj¡ce na na sprawdzeniu, »e speªnione s¡ wªasno±ci denicyjne
wymienionych relacji.
Uwaga. W przypadku zbioru uporz¡dkowanego, za ka»dym razem, gdy b¦dzie mowa o relacji
<
b¦dziemy mie¢ na my±li relacj¦ przeciwzwrotn¡ i przechodni¡, okre±lon¡ w Tw. 14.1.a.
Def. 14.2 Niech
(X, 6)
b¦dzie zbiorem uporz¡dkowanym. Element
x0 ∈ X
nazywamy maksymal-
nym, je±li
¬ ∃ x ∈ X : x0 < X .
Przykªady:
X = P (Ω) i
przypadku zbiór Ω.
1. Niech
niech
(A 6 B) ⇔ (A ⊂ B).
Elementem maksymalnym jest w tym
2. Niech
X = {1, 2, . . . `}, ` > 2,
3. Niech
X = N i niech (m 6 n) ⇔ (m|n). Zbiór uporz¡dkowany (X, 6) nie ma w tym przypadku
i niech
(m 6 n) ⇔ (m|n).
Elementem maksymalnym jest
`.
elementu maksymalnego.
Def. 14.3 Niech
(X, 6) b¦dzie zbiorem uporz¡dkowanym. Element x0 ∈ X
nazywamy najwi¦kszym
(lub ostatnim), je±li
∀ x ∈ X : x 6 x0 .
W przykªadzie 1. powy»ej zbiór
Ω
jest elementem najwi¦kszym; zbiory uporz¡dkowane z punktów
2. i 3. nie maj¡ elementów najwi¦kszych (prosz¦ to uzasadni¢ dla przykªadu 2.).
Tw. 14.2.a
W zbiorze uporz¡dkowanym istnieje co najwy»ej jeden element najwi¦kszy; element najwi¦kszy jest
równocze±nie elementem maksymalnym.
Dowód
Niech
x1 i x2
Poniewa»
x1
b¦d¡ elementami najwi¦kszymi w
jest najwi¦kszy, wi¦c
antysymetryczno±ci relacji
6
x2 6 x1 .
X.
Podobnie, poniewa»
x2
mamy
(x1 6 x2 ) ∧ (x2 6 x2 ) ⇒ x1 = x2
2
jest najwi¦kszy, wi¦c
x1 6 x2 .
Z
co ko«czy pierwsz¡ cz¦±¢ dowodu.
Niech teraz
x1
b¦dzie elementem najwi¦kszym. Zaªó»my, »e
x1
nie jest elementem maksymalnym,
czyli
∃ x ∈ X : x1 < x
lub równowa»nie (patrz Uwaga pod twierdzeniem 14.1):
∃ x ∈ X : (x1 6 x) ∧ (x1 6= x).
Poniewa»
x1
jest najwi¦kszy, wi¦c
x 6 x1 .
Z antysymetryczno±ci relacji
6
mamy
(x1 6 x) ∧ (x 6 x1 ) ⇒ x1 = x
x1 6= x.
co jest sprzeczne z uzyskanym przed chwil¡ zwi¡zkiem
Analogicznie jak powy»ej mówimy, »e
oraz, »e
x0 ∈ X
x0 ∈ X
¬(∃ x ∈ X : x < x0 )
∀ x ∈ X : x0 6 x.
jest elementem minimalnym, gdy
jest elementem najmniejszym (lub pierwszym), gdy
Tw. 14.2.b
W zbiorze uporz¡dkowanym istnieje co najwy»ej jeden element najmniejszy; element najmniejszy
jest równocze±nie elementem minimalnym.
Dowód
Analogiczny do dowodu twierdzenia 14.2.a.
Niech
(X, 6)
A ⊂ X. Symbolem 6A b¦dziemy oznaczali
je±li x, y ∈ A, to (x 6A y) ⇔ (x 6 y); je±li
b¦dzie zbiorem uporz¡dkowanym i niech
6 do zbioru A t.j.:
zdanie x 6A y nie ma okre±lonej
relacj¦ b¦d¡c¡ zaw¦»eniem relacji
(x 6∈ A) ∨ (y 6∈ A),
wówczas
warto±ci logicznej.
Stwierdzenie
Zbiór
(A, 6A )
jest zbiorem uporz¡dkowanym.
Def. 14.4 Relacj¦
ρ⊂X ×X
nazywamy spójn¡, gdy
∀ x, y ∈ X : hx, yi ∈ ρ ∨ hy, xi ∈ ρ.
Def. 14.5 Par¦
ªa«cuchem, je±li
(A, 6A ), gdzie A ⊂ X
relacja 6A jest spójna.
Def. 14.6 Element
Element
x0 ∈ X
x0 ∈ X
i para
(X, 6)
jest zbiorem uporz¡dkowanym, nazywamy
A ⊂ X, gdy ∀ x ∈ A : x 6 x0 .
A ⊂ X, gdy ∀ x ∈ A : x0 6 x.
nazywamy ograniczeniem górnym zbioru
nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru
Tw. 14.3 (Lemat Kuratowskiego-Zorna)
(X, 6) b¦dzie zbiorem uporz¡dkowanym. Je±li dla ka»dego ªa«cucha (A, 6A ), A ⊂ X, istnieje
ograniczenie górne, to w X istnieje element maksymalny. Dokªadniej, dla ka»dego x ∈ X istnieje
element maksymalny x0 taki, »e x 6 x0 .
Niech
3
Zbiory liniowo uporz¡dkowane
Def. 14.7 Par¦
(X, 6)
nazywamy zbiorem liniowo uporz¡dkowanym, je±li
rz¡dkowanym i, dodatkowo, relacja
6
(X, 6)
jest zbiorem upo-
jest spójna.
Przykªady Zbiorami liniowo uporz¡dkowanymi s¡:
•
dowolny, niepusty podzbiór zbioru liczb rzeczywistych ze zwykª¡ relacj¡ mniejszy lub równy;
•
zbiór okr¦gów wspóª±rodkowych z relacj¡
r ∈ R+
(Or1 6 Or2 ) ⇔ (r1 6 r2 ), gdzie dla okr¦gu Or
liczba
jest jego promieniem.
Zbiorami uporz¡dkowanymi, które nie s¡ liniowo uporz¡dkowanymi, s¡:
•
zbiór
(N, 6),
•
zbiór
(P (X), 6),
A
Ka»dy podzbiór
6
w¦»enie
do
A
gdzie
∀ m, n ∈ N : (m 6 n) ⇔ (m|n);
gdzie
∀ A, B ⊂ X : (A 6 B) ⇔ (A ⊂ B).
zbioru liniowo uporz¡dkowanego
(X, 6),
z relacj¡ porz¡dku uzyskan¡ przez za-
(lub, równowa»nie, z relacj¡ porz¡dku odziedziczon¡ ze zbioru
X ),
jest w oczywisty
sposób zbiorem liniowo uporz¡dkowanym.
Tw. 14.4
Dla ka»dego elementu
x0
zbioru liniowo uporz¡dkowanego
1.
x0
jest elementem najwi¦kszym,
2.
x0
jest elementem maksymalnym,
3.
∀ x ∈ X \ {x0 } : x < x0 .
(X, 6)
równowa»ne s¡ warunki:
Tw. 14.5
Je±li
X
jest zbiorem sko«czonym, a
6 relacj¡ liniowego porz¡dku na X, to w (X, 6) istnieje element
najwi¦kszy oraz istnieje element najmniejszy.
(X, 6) oraz (X ∗ , 6∗ ) b¦d¡ zbiorami liniowo uporz¡dkowanymi. Je±li istnieje bijekf : X → X ∗ zgodna z relacjami 6 i 6∗ t.j. taka, »e
Def. 14.8 Niech
cja
∀ x, y ∈ X : (x 6 y) ⇔
4
f (x) 6∗ f (y)
to mówimy, »e
(X, 6) i (X ∗ , 6∗ )
s¡ podobne, co symbolicznie zapisujemy
(X, 6) ' (X ∗ , 6∗ ).
Przykªad
X = Z, X ∗ = N i niech 6 b¦dzie
∗
∗
porz¡dku 6 na X deniujemy jako:
Niech
je±li
m ∈ 2N, n ∈ 2N − 1,
je±li
m, n ∈ 2N − 1,
je±li
m, n ∈ 2N,
to
to
to
zwykª¡ relacj¡ mniejszy lub równy. Relacj¦ liniowego
m 6∗ n;
(m 6∗ n) ⇔ (m 6 n);
(m 6∗ n) ⇔ (n 6 m).
Podobie«stwo zadaje funkcja
(
Z3k →
2k + 1,
k > 0,
−2k,
k < 0.
Relacja podobie«stwa jest relacj¡ równowa»no±ci na przestrzenie zbiorów liniowo uporz¡dkowanych.
Zbiory podobne s¡ w oczywisty sposób równoliczne (dlaczego?).
Def. 14.9 Ka»demu zbiorowi liniowo uporz¡dkowanemu przyporz¡dkowujemy obiekt zwany jego
typem porz¡dkowym tak, »e dwóm zbiorom liniowo uporz¡dkowanym odpowiada ten sam typ po-
rz¡dkowy wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory te s¡ podobne.
Typ porz¡dkowy sko«czonego zbioru liniowo uporz¡dkowanego o ilo±ci elementów równej
czamy przez
n.
Typ porz¡dkowy zbioru pustego oznaczamy symbolem
5
0.
n
ozna-