Æwiczenia

Infinitistic methods in mathematics (Ćw)
Lista 1
1. Zbiór potęgowy ℘(X) dowolnego zbioru X tworzy algebraiczny zbiór częściowo
uporządkowany z inkluzją jako porządkiem. Wykazać, Ŝe zbiór K(℘(X)) elementów
zwartych w (℘(X), ⊆) pokrywa się z rodziną skończonych podzbiorów zbioru X.
2. Niech a = {an} będzie dowolnym ciągiem liczbowym. Niech P0 będzie zbiorem
skończonych ciągów utworzonych z {an} przez skreślenie wszystkich wyrazów począwszy od
pewnego miejsca. Zatem
P0 := {(a1, …, an ) : n = 1, 2, …}.
Definiujemy relację ≤ w zbiorze P0. Dla p, q ∈ P0 przyjmujemy:
p ≤ 0 q ⇔df p jest początkowym odcinkiem ciągu q.
Sprawdzić, Ŝe ≤ 0 jest porządkiem liniowym, w którym ciąg 0 := (a1) długości 1 jest
elementem najmniejszym.
Dla p = (a1, …, an ) ∈ P0 definiujemy F0 (p) jako przedział domknięty [a, b], gdzie
a := inf {am : m ≥ n}, b := sup {am : m ≥ n}.
Uwaga. MoŜe się zdarzyć, Ŝe przedział [a, b], redukuje się do punktu.
Sprawdzić, Ŝe
p ≤ 0 q ⇒ F0 (p) ⊇ F0 (q)
dla dowolnych p, q ∈ P0.
Niech P := P0 ∪ {a }. Niech ≤ będzie porządkiem na P otrzymanym z ≤ 0 przez
załoŜenie, Ŝe ciąg a jest elementem największym.
Wykazać, Ŝe P = (P, ≤) jest uzupełnieniem algebraicznym porządku P0 = (P0, ≤ 0).
Niech Q będzie zbiorem wszystkich zwartych podzbiorów prostej uporządkowanych
przez inkluzję odwrotną ⊆d := ⊇. (Zatem X ⊆d Y ⇔ X ⊇ Y.) Elementem największym w Q jest
zbiór pusty.
Odwzorowanie monotoniczne F0 : P0 → (Q, ⊆d ) rozszerza się do odwzorowania
porządkowo ciągłego F : P → (Q, ⊆d ). Sprawdzić, Ŝe
F (a) = [liminf an, limsup an].
Ciąg a jest zbieŜny wtedy i tylko wtedy, gdy przedział F(a) redukuje się do punktu.
1
Infinitistic methods in mathematics (Ćw)
Lista 2
1. Wykazać na odpowiednim przykładzie, Ŝe przekrój ideałów porządkowych nie musi być
ideałem.
2. Niech f : (P 0 , ≤) ≅ (Q 0 , ≤) będzie izomorfizmem porządkowym pomiędzy zbiorami
częściowo uporządkowanymi, tj. f : P 0 → Q 0 jest odwzorowaniem róŜnowartościowym typu
„na” takim, Ŝe dla dowolnych a, b ∈ P 0, a ≤ b ⇔ f (a) ≤ f(b).
Wykazać, Ŝe odwzorowanie f * zdefiniowane wzorem:
f * (J ) := f – 1 (J), dla dowolnego J ∈ Id (Q 0 ),
jest izomorfizmem porządkowym pomiędzy zbiorami częściowo uporządkowanymi
(Id (Q 0), ⊆) oraz (Id (P 0), ⊆), symbolicznie,
f * : (Id (Q 0 ), ⊆) ≅ (Id (P 0 ), ⊆).
(Uwaga. f – 1(J) jest przeciwobrazem ideału J przez f, tj. f – 1(J) := {a ∈ P 0 : f (a) ∈ J}.)
3. Niech (P 0, ≤) będzie porządkiem z zerem 0. Sprawdzić, Ŝe {0} jest najmniejszym
niepustym ideałem w (P 0 , ≤).
4. Niech (P 0, ≤) będzie porządkiem. Dla a ∈ P 0 definiujemy: ↓a := {x ∈ P 0 : x ≤ a}.
Wykazać, Ŝe ↓a jest ideałem. Ponadto, dla kaŜdego ideału I w (P 0 , ≤) zachodzi równość
I = ∪a ∈ I ↓a.
5. Niech f : (P 0, ≤) ≅ (Q 0, ≤) będzie izomorfizmem porządkowym pomiędzy algebraicznymi
zbiorami częściowo uporządkowanymi.
(a) Wykazać, Ŝe dla dowolnego a ∈ P 0 zachodzi równowaŜność: a ∈ K(P 0) ⇔ f (a) ∈
K(Q 0). (K(P 0) jest zbiorem wszystkich elementów zwartych w (P0, ≤).)
(b) Wywnioskować, Ŝe f jest teŜ izomorfizmem między porządkami (K(P 0), ≤) oraz
(K(Q 0), ≤).
6. Niech (P 0, ≤) oraz (Q 0, ≤) będą zbiorami częściowo uporządkowanymi. Odwzorowanie
F0 : P 0 → Q 0 jest monotoniczne, gdy dla dowolnych a, b ∈ P0, a ≤ b implikuje
F0 (a) ≤ F0 (b). Wykazać, Ŝe jeŜeli F0 jest monotoniczne oraz D jest niepustym skierowanym
(liniowym) podzbiorem w (P 0, ≤), to obraz F0(D) := {F0 (d) : d ∈ D} jest zbiorem
skierowanym (odpowiednio – liniowym) w (Q 0, ≤).
2
Infinitistic methods in mathematics (Ćw)
Lista 3
1. Niech α będzie liczbą porządkową z inkluzją jako (dobrym) porządkiem. Wykazać, Ŝe:
(a) JeŜeli α jest następnikowa, tzn. α = β ∪ {β} dla pewnej liczby porządkowej β, to
algebraiczne uzupełnienie (α, ⊆) jest izomorficzne z (α, ⊆).
(b) JeŜeli α jest niezerową liczba graniczną, to algebraiczne uzupełnienie (α, ⊆) jest
izomorficzne z następnikiem (α ∪ {α}, ⊆).
2. Niech (Id (Q), ⊆) będzie zbiorem wszystkich niepustych ideałów zbioru liczb wymiernych
(Q, ≤) ze zwykłym porządkiem. Wykazać, Ŝe podzbiór niepusty I ⊆ Q jest ideałem wtedy i
tylko wtedy, gdy jest skierowany w dół, tj., dla dowolnych liczb a, b ∈ Q, a ∈ I oraz b ≤ a
implikuje, Ŝe b ∈ I. Wykazać, Ŝe ideałami zwartymi w (Id (Q), ⊆) są zbiory postaci
↓q := {x ∈ Q : x ≤ q}, gdzie q ∈ Q.
Ideały właściwe w (Q, ≤) nie będące postaci ↓q, q ∈ Q, nazywamy przekrojami.
Przekrojem jest np. kaŜdy ideał postaci Iq := {x ∈ Q : x < q}, q ∈ Q. Podać przykład
przekroju, nie będącego postaci Iq := {x ∈ Q : x < q} dla Ŝadnego q ∈ Q.
3. Niech (Id (R), ⊆) będzie zbiorem wszystkich niepustych ideałów prostej (R, ≤) ze zwykłym
porządkiem. Wykazać, Ŝe ideałami zwartymi w (Id (R), ⊆) są domknięte półproste postaci
↓r := {x ∈ R : x ≤ r}, gdzie r ∈ R. Wykazać, Ŝe jeŜeli ideał właściwy I nie jest zwarty, to jest
on postaci Ir := {x ∈ R : x < r} dla pewnej liczby r ∈ R.
4. Dla dowolnych zbiorów A, B ⊆ R definiujemy:
A ⊕ B := { a + b : a ∈ A ∧ b ∈ B }.
Wykazać, Ŝe operacja ⊕ jest przemienna i łączna. Wykazać ponadto, Ŝe jeŜeli A i B są
zbiorami domkniętymi i jeden z nich jest zwarty, to zbiór A ⊕ B jest teŜ domknięty.
Udowodnić, Ŝe dla dowolnych przedziałów domkniętych [a, b ] oraz [c, d ] :
[a, b ] ⊕ [c, d ] ⊆ [a + c, b + d ] .
3
Infinitistic methods in mathematics (Ćw)
Lista 4
1. Niech I × I będzie kwadratem jednostkowym na płaszczyźnie, gdzie
I := {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}. Niech Z będzie zbiorem wszystkich punktów (x, y) w I × I o
współrzędnych wymiernych x oraz y..
Wykazać, Ŝe zbiór X nie jest mierzalny w sensie Jordana.
2. ≤d is the divisibility relation on N := {1, 2, 3, …}, i.e., for any a, b ∈ N,
a ≤d b if and only if b is divisible by a.
lcm(a, b) and gcd(a, b) stand for the least common multiple and the greatest common
divisor of numbers a, b, respectively.
Show that ≤d is an order in N with 0 := 1 as the least element. The poset
N := (N, ≤d, 0) is a lattice in which, for any a, b, c, d ∈ N,
sup{a, b} = lcm(a, b) and
inf {a, b} = gcd(a, b)
and
a ≤d b and c ≤d d imply a ⋅ c ≤d b ⋅ d.
P , the set of prime numbers, is the set of atoms and the order ≤d is well-founded.
(A poset (A, ≤ ) is well-founded if every non-empty subset X ⊆ A contains a minimal
element.)
3. Show that the set {2n : n ∈ N }is an example of a proper and non-compact ideal in
N := (N, ≤d, 0).
4. For any a ∈ N define a ∞ to be the order ideal of N generated by {an : n ≥ 0}. Thus
a ∞ = {x ∈ N : x ≤d an for some n ≥ 1}. Show that for any prime p, p ∞ = {pn : n ≥ 0}.
Prove that a ∞ is not compact and ↓a := {x ∈ N : x ≤d a} is a proper subset of a ∞ for all
a ≥ 2.
(According to the adopted convention, the ideal ↓a is identified with the number a, for all a ∈
N. We may therefore say that the element a ∞ is the limit of the numbers a, a2, a3,… at infinity
in the sense that ↓a ⊂ ↓a2 ⊂ ↓a3 ⊂ …for a ≥ 2, and a ∞ is the union of the above chain.)
5. For a number a ∈ N, we let P(a) be the (finite) set of primes occurring in the prime number
factorization of a. Thus P(6) = {2, 3}, P(25) = {5}.
If X is a non-empty set of prime numbers, then N(X) is the set of all numbers x ∈ N
such that P(x) ⊆ X.
Prove that for all a ∈ N, a ∞ = N(P(a)).
4