Ekonomia matematyczna

Ekonomia matematyczna
Zestaw 3.
1. Dana jest funkcja produkcji
y = ak α z beta , a, α, β > 0; α + β > 1,
θ
γ
γ
B) CES: y = (ak + bz ) γ , a, b > 0, ) < γ < 1, θ > 1.
3
a) Sporz¡d¹ jej wykres w R+ .
2
b) narysuj izokwanty produkcji w R+ dla ustalonego poziomu
A) Cobba-Douglasa:
produkcji.
c) Sprawd¹, czy jest to funkcja silnie wypukªa.
d) Sprawd¹, czy funkcja ta speªnia postulat 'rosn¡cych przychodów'.
2. Wykaza¢, »e funkcja produkcji postaci
y = f (k, z) =
kz
k+z
jest szczególnym przypadkiem funkcji CES.Narysuj jej wykres.
3. Dane s¡ funkcje produkcji
y = ak + bz , a, b > 0.
α beta
Cobba-Douglasa: y = ak z
, a, α, β > 0; α + β > 1.
θ
γ
γ γ
CES: y = (ak + bz ) , a, b, θ > 0, ) < γ < 1.
A)liniowa:
B)
C)
Wyznacz dla tych funkcji nast¦puj¡ce charakterystyki i przypomnij ich ekonomiczne interpretacje:
a) Przeci¦tn¡ efektywno±¢ kapitaªu (przeci¦tn¡ wydajno±¢ pracy),
b) Kra«cow¡ efektywno±¢ kapitaªu (kra«cow¡ wyda jno±¢ pracy),
c) Elastyczno±¢ produkcji wzgl¦dem kapitaªu (pracy),
d) Kra«cow¡ stop¦ substytucji pracy przez kapitaª (kapitaªu przez prac¦),
e) Elastyczno±¢ substytucji pracy przez kapitaª (kapitaªu przez prac¦),
f ) Elastyczno±¢ kra«cowej stopy substytucji pracy przez kapitaª wzgl¦dem technicznego
uzbrojenia pracy.
Które z tych charakterystyk dla poszczególnych funkcji s¡ wielko±ciami staªymi, a które
zmieniaj¡ si¦ wraz ze zmianami
k i z?
Sporz¡d¹ odpowiedni¡ tabel¦.
1
1
y = k2 + z3.
4. Dana jest funkcja produkcji postaci
a) Sprawd¹, czy jest ona silnie wkl¦sªa,
b) Sprawd¹, czy jest ona dodatnio jednorodn¡.
c) Wyznaczy¢ elastyczno±¢ produkcji wzgl¦dem skali nakªadów.
5. Dana jest funkcja produkcji b¦d¡ca sum¡ liniowej funkcji produkcji i funkcji produkcji
Cobba-Douglasa:
y = a1 (k + z) + a2 k ε z 1−ε , a1 , a2 > 0, ∈ (0, 1).
a) Sporz¡d¹ jej wykres w
R3+ .
b) Narysuj izokwant¦ produkcji dla danego
y0 > 0.
c) Sprawd¹, czy jest to neoklasyczna funkcja produkcji.
d) Wyznacz przeci¦tn¡ efektywno±¢ kapitaªu i kra«cow¡ efektywno±¢ kapitaªu jako funkcje
technicznego uzbrojenia pracy. Sporz¡d¹ ich wykresy.
e) Wyznacz przeci¦tn¡ efektywno±¢ pracy i kra«cow¡ efektywno±¢ pracy jako funkcje technicznego uzbro jenia pracy. Sporz¡d¹ ich wykresy.
6. Dla funkcji z zadania 3 sporz¡d¹ w
R3+
wykresy funkcji:
a) kra«cowej wyda jno±ci pracy,
b) kra«cowej stopy substytucji pracy przez kapitaª,
c) elastyczno±ci substytucji pracy przez kapitaª.
wedªug: Emil Panek, Podstawy Ekonmii matematycznej. Materiaªy do ¢wicze«.
1