Modelowanie wybranych zjawisk

Transkrypt

Ryszard Myhan
Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych
Modelowanie zjawiska tarcia suchego
• Suwaka porusza się w poziomych prowadnicach, gdzie
x=x(t) oznacza przesunięcie suwaka względem
nieruchomej prowadnicy w kierunku zgodnym z
kierunkiem siły wymuszającej P
• Suwak jest połączony do obudowy za pośrednictwem
ściskanej sprężyny (nieważkiej i bez histerezy) o
sztywności c, która oddziaływuje na suwak z siłą S(x)
• Ponadto założono, że współczynnik tarcia suchego µ ma
inną wartość w spoczynku i inną w ruchu.
• W rozważanym przypadku nie uwzględnia się tarcia
lepkiego
x
P
S
T
N
c
• Analizie poddano dwa stany:
– stan „a” poślizgu
- gdy
– stan „b” brak poślizgu
- gdy
x > 0
x = 0
• Równanie ruchu dla tego przypadku można zapisać w
postaci:
gdzie:
Pzew
Ts
m
m ⋅ x + Ts = Pzew
- jest sumą wszystkich sił zewnętrznych;
- siłą tarcia suchego;
- masą ciała.
• Przebieg siły tarcia suchego Ts w funkcji zewnętrznej siły
wymuszającej P:
Ts
Tgr
Tgr
Tgr
Tgr
co oznacza, że:
• w stanie „a” wartość siły tarcia Ts= Tgr
• w stanie „b” wartość siły tarcia Ts = P
P
• Dla stanu „a” równanie ruchu przyjmie postać:
x =
Pzew − Tgr ⋅ sign( x )
m
• Aby zamodelować stan „b”, wprowadzono dodatkową
funkcję Proj, zwaną funkcją projekcji
z,

Pr oj(z) = 
 sign (z),
gdy | z |< 1
gdy inaczej



• Siła tarcia w stanie „b” wyrazi się więc zależnością:
Tsp = t ⋅ Tgr
gdzie t ∈ [ − 1; + 1 ]
• Wartość współczynnika t to wartość funkcji projekcji
 Pzew 

t = Pr oj 
 T 
 gr 
• Równanie ruchu w stanie „b” ostatecznie przyjmie więc
postać:
x =
Pzew − t ⋅ Tgr
m
 Pzew  
1 

=
Pzew − Tgr ⋅ Pr oj 
 T 
m 
 gr  
• Do wyznaczenia granicznej wartości siły tarcia Tgr ,
zastosowano najprostszy, powszechnie znany model
Newtona:
Tgr = | N | ⋅ µ
gdzie:
N – siła nacisku;
µ - współczynnik tarcia suchego.
• Siła zewnętrzna Pzew, to suma wektorowa siły
wymuszającej P i siły oddzaływania sprężyny S:
gdzie:
• c – stała sprężyny;
• x – przemieszczenie .
Pzew = − c ⋅ x + P
global c m k P mi
c=1;
m=1; k=1;
P=0;
mi=input('Współczynnik tarcia ? ');
w=input('Wychylenie początkowe ? ');
p=input('Prędkość początkowa ? ');
options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-4 );
hold on
[T,Y] = ode45(@tar_such,[0 6],[w p],options);
plot(T,Y(:,1),'b',T,Y(:,2),'r')
grid
xlabel('czas [s]')
ylabel('Wychylenie [m], Predkosc [m/s]')
% funkcja modelująca suwak z tarciem suchym
function [Dx] = tar_such(t, x)
global c m k P mi
PZew=-c*x(1)+P;
TarGr=mi*9.81*m;
Dx(1)=x(2);
if x(2)==0
Dx(2)=(PZew-TarGr*proj(PZew/TarGr))/m;
else
Dx(2)=(PZew-TarGr*sign(x(2)))/m;
end
% funkcja projekcji
function [proj]=proj(z)
if abs(z)<1
proj=z;
else
proj=sign(z);
end;
W y n ik i d la w s p . t a rc ia m i= 0 . 0 1 : 0 . 0 0 5 : 0 . 0 4 p rz y D x = 0 . 5 m i V p = 0 m / s
0 .5
0 .4
µ=0,05
W y c h y le n ie [ m ] , P re d k o s c [ m / s ]
0 .3
wychylenie
0 .2
0 .1
prędkość
0
µ=0,05
-0 .1
-0 .2
-0 .3
-0 .4
-0 .5
µ=0,01
µ=0,01
0
1
2
3
c z a s [s ]
4
5
6
W y n ik i d la w s p . t a rc ia m i= 0 . 0 2 p rz y D x = 0 . 1 : 0 . 1 : 0 . 5 i V p = 0
0 .6
X=0,5
0 .4
wychylenie
0 .2
X=0,1
X=0,1
0
-0 .2
X=0,5
-0 .4
prędkość
-0 .6
-0 .8
0
1
2
3
c z a s [s ]
4
5
6
W y n ik i d la w s p . t a rc ia m i= 0 . 0 2 p rz y D x = 0 i V p = 0 . 0 : 0 . 1 : 0 . 5
0 .5
Vp=0,5
0 .4
Vp=0,5
0 .3
wychylenie
0 .2
0 .1
Vp=0,1
0
prędkość
-0 .1
-0 .2
0
1
2
3
c z a s [s ]
4
5
6
W y n ik i d la w s p . t a rc ia m i= 0 . 0 2 p rz y D x = 0 . 5 i V p = 0 m = 0 . 3 : 0 . 3 : 1 . 2
0 .6
wychylenie
0 .4
m=1,2
0 .2
m=0,3
0
m=1,2
-0 .2
-0 .4
-0 .6
m=0,3
-0 .8
-1
prędkość
0
1
2
3
c z a s [s ]
4
5
6
W y n ik i d la w s p . t a rc ia m i= 0 . 0 2 p rz y D x = 0 . 5 i V p = 0 m = 1 c = 0 . 3 : 0 . 3 : 1 . 5
0 .5
c=0,3
wychylenie
0 .4
0 .3
c=1,5
0 .2
0 .1
c=0,3
0
-0 .1
-0 .2
-0 .3
-0 .4
prędkość
c=1,5
-0 .5
0
1
2
3
c z a s [s ]
4
5
6
Modelowanie zjawiska tarcia lepkiego
 Tarcie to występuje w szczelinie miedzy powierzchniami


wzajemnie przesuwających się ciał, jeżeli szczelina
wypełniona jest smarem lub innym lepkim płynem (np.
powietrzem).
Siła tarcia lepkiego jest funkcją prędkości wzajemnego
poślizgu s oraz zależy od pola powierzchni styku,
natomiast można przyjąć, że nie zależy od siły docisku.
Dla siły tej często przyjmuje się model:
Tlep = − k ⋅ ( x ) ⋅ sign[ x ]
n
gdzie: k i n są empirycznie wyznaczonymi wartościami
stałymi dla konkretnego przypadku
 Jeżeli n=1 to mówimy o tarciu wiskotycznym:
Tlep = − k ⋅ x
 Jeżeli płyn jest cieczą newtonowską, to wzór przyjmie
( )
postać:
Tlep = S ⋅ τ ⋅ sign x
gdzie:
S – jest polem powierzchni zetknięcia;
τ - naprężeniem stycznym
∂ v danym wzorem
τ = −η ⋅
∂h
gdzie:∂ vη - to współczynnik lepkości dynamicznej
∂ h - jest gradientem prędkości
x
k
L
P
S
T
N
c
% funkcja modelująca suwak z tarciem lepkim
function [Dx] = tar_lep(t, x)
global c m k P mi
PZew=-c*x(1)+P-k*x(2);
TarGr=mi*9.81*m;
Dx(1)=x(2);
if x(2)==0
Dx(2)=(PZew-TarGr*proj(PZew/TarGr))/m;
else
Dx(2)=(PZew-TarGr*sign(x(2)))/m;
end
W y n ik i d la w s p . t a rc ia le p lie g o k = 0 . 0 : 0 . 3 : 1 . 5 p rz y m i= 0 , 0 2 D x = 0 . 5 i V p = 0
0 .5
0 .4
k=1,5
k=0,0
0 .3
wychylenie
0 .2
k=1,5
0 .1
k=0,0
0
prędkość
-0 .1
-0 .2
0
0 .5
1
1 .5
2
2 .5
c z a s [s ]
3
3 .5
4
4 .5
5
W y n ik i d la w s p . t a rc ia le p lie g o k = 0 . 3 : 0 . 3 : 1 . 5 p rz y m i= 0 , 0 2 D x = 0 i V p = 0 . 5
0 .6
Układ bez sprężyny
0 .5
k=0,3
wychylenie
0 .4
k=0,3
0 .3
0 .2
k=1,5
0 .1
k=1,5
0
prędkość
-0 .1
0
0 .5
1
1 .5
2
2 .5
c z a s [s ]
3
3 .5
4
4 .5
5
W y n ik i d la w s p . t a rc ia le p lie g o k = 0 . 3 : 0 . 3 : 1 . 5 p rz y m i= 0 D x = 0 i V p = 0 . 5
1 .4
Tylko tarcie lepkie
1 .2
1
wychylenie
k=0,3
0 .8
0 .6
0 .4
k=1,5
0 .2
0
prędkość
k=0,3
0
0 .5
1
1 .5
2
2 .5
c z a s [s ]
3
3 .5
4
4 .5
5
Wypływ cieczy ze zbiornika
∆h
D
H
h
ξ
d
 Przyjmując pewne uproszczenia, układ ten w dowolnej
chwili czasu t można opisać układem dwu równań:
 zachowania ciągłości strugi
π ⋅ D2
π ⋅ d2
⋅∆h=
⋅V ⋅ ∆ t
4
4
 zachowania energii (równaniem Bernuoliego)
V2
V2
h=
+ξ ⋅
2⋅ g
2⋅ g
gdzie:
V - to prędkość wypływu cieczy ze zbiornika
ξ - to współczynnik miejscowych strat hydraulicznych.
∆h≅ 0
 Rozwiązanie tego układu stanowi równanie:
2
∆h  d 
=   ⋅
∆t  D
2⋅ g ⋅ h
1+ ξ
a, przyjmując założenie, że ∆h≅0, powyższy model
dyskretny można zastąpić modelem ciągłym, opisanym
2
równaniem różniczkowym:
dh  d 
=   ⋅
dt  D 
2⋅ g ⋅ h
1+ ξ
% Symulacja swobodnego wypływu
% cieczy ze zbiornika
% Modelowanie dyskretne
close all
D =input('Średnica zbiornika
? ');
dw=input('Średnica otworu
? ');
H =input('Wysokość napełnienia ? ');
z =input('Wsp. strat hydraul.
? ');
dh=0.005; % gradient wysokości
hi(1)=H; t(1)=0; i=0;
while hi(i) > 0
i=i+1;
hi(i)=H-i*dh;
v(i)=sqrt((2*9.81*hi(i))/(1+z));
dt=((D/dw)^2)*(dh/v(i));
if i==1
t(i)=dt;
else
t(i)=t(i-1)+dt;
end
end
plot(t,hb,'b');
grid on;
axis([0 2500 0 h])
xlabel('czas [s]')
ylabel('Poziom cieczy w zbiorniku')
H z = 5 m ; D z = 1 m ; d w = 0 . 0 2 , 0 . 0 3 , 0 . 0 4 , 0 . 0 5 m ; w s p . o p . m ie j. = 0 . 1 , 0 . 5
5
d=0,02
ξ=0,50
P o z io m c ie c z y w z b io rn ik u
4 .5
4
d=0,02
ξ=0,10
3 .5
3
2 .5
d=0,05
ξ=0,50
2
d=0,05
ξ=0,10
1 .5
1
0 .5
0
0
500
1000
1500
c z a s [s ]
2000
2500
d w = 0 . 0 2 , 0 . 0 3 , 0 . 0 4 , 0 . 0 5 m ; w s p . o p . m ie j. = 0 . 0 1 ; Q = 1 0 m 3 ; h = 4 , 6 , 8 m
8
P o z io m c ie c z y w z b io rn ik u
7
d=0,02
6
d=0,03
5
d=0,04
4
d=0,05
3
2
1
0
0
500
1000
1500
2000
c z a s [s ]
2500
3000
3500
5
4 .5
Model dyskretny
∆h=0,1=const.
4
∆h
=
∆t
3 .5
3
2
2⋅ g ⋅ h
 d
  ⋅
1+ ξ
 D
2 .5
2
Model ciągły
1 .5
1
dh
dt
0 .5
0
0
2
2⋅ g ⋅ h
 d
=   ⋅
1+ ξ
 D
500
1000
1500
c z a s [s ]
2000
2500
Rozwiązywanie zagadnienia początkowego
MATLAB
MATLAB zawiera funkcje rozwiązujące zagadnienie
początkowe dla równań różniczkowych zwyczajnych za
pomocą :
•
pary metod 2 i 3 - funkcja ode23
[T,X]=ode23(‘F(t,x)’, t0, tk, x0, tol, tr)
•
pary metod 4 i 5 - funkcja ode45
[T,X]=ode45(‘F(t,x)’, t0, tk, x0, tol, tr )
MATLAB
gdzie:
F(t,x)
t0, tk
x0
tol
tr
łańcuch zawierający nazwę zapisanej w
skrypcie funkcji
granice przedziału czasu poszukiwania
rozwiązania
wektor kolumnowy rozwiązania
początkowego
parametr opcjonalny określający dokładność
(10-3)
parametr opcjonalny (tr<>0) powoduje
wypisanie na ekranie kolejnych kroków
realizacji obliczeń
Przykład: oscylator liniowy z tłumieniem
d 2x
dx
M=1; A=0.5; K=1;global M A K
m 2 = − k ⋅ x− a⋅
dt
dt
[T,X]=ode23('osc',0,20,[1 0]');
dx
x1 = x; x 2 =
dt
subplot(2,1,1); plot(T,X(:,1),T,X(:,2));
x2

d  x1  
grid on; title('ode23: m=1, k=1, a=0.5');

=
1
dt  x 2   ( − k ⋅ x1 − a ⋅ x 2 ) ⋅ 
m  A=0.1; [T,X]=ode45('osc',0,20,[1 0]');

subplot(2,1,2); plot(T,X(:,1),T,X(:,2));
function [Dx]=osc(t,x)
grid on; title('ode45: m=1, k=1, a=0.1');
global M A K
Dx=[x(2);(-K*x(1)-A*x(2))/M];
o d e 2 3 : m = 1 , k = 1 , a = 0 .5
1
0 .5
0
-0 .5
-1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
14
16
18
20
o d e 4 5 : m = 1 , k = 1 , a = 0 .1
1
0 .5
0
-0 .5
-1
0
2
4
6
8
10
12
Równanie Duffinga
• Przy rozwiązywaniu układu równań wyższego rzędu
konieczne jest sprowadzenie równania do postaci
zwyczajnej.
– równanie
d 2x
dx
3
dt
2
+ k⋅
dt
(
)
− x − x = a ⋅ sin(t )
– wprowadzenie zmiennych
x1 = x ;
x2 =
– zapis końcowy
dx1
dt
x2

d  x1  
= 



3
dt  x 2   − k ⋅ x 2 + b ⋅ x1 − x + a ⋅ sin(t )
(
)
Równanie Duffinga - rozwiązanie
o d e 2 3 : k = 0 .2 , b = 1 , a = 0 .3
2
1
0
-1
-2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
80
90
100
o d e 4 5 : k = 0 .2 0 0 0 1 , b = 1 .0 0 0 1 , a = 0 .3 0 0 0 1
2
1
0
-1
-2
0
10
20
30
40
50
60
70

Modelowanie wybranych zjawisk

Transkrypt

Podobne dokumenty

modelowanie 3D

Specjalność: INŻYNIERIA MASZYN BUDOWLANYCH i SYSTEMÓW

Modelowanie komputerowe układów złożonych, prof. dr hab. Adam

Dazzling Design

stylizację i pielęgnację włosów Firma GOLDWELL

Modelowanie systemów empirycznych

w ujęciu tabelarycznym

Szkolenia Nemetschek Allplan Poniżej przedstawione są skrótowo

program Autocad 2