Model jest modelem dynamicznym z czasem dyskretnym t=0,1,2…

Model pajęczyny:
Model jest modelem dynamicznym z czasem dyskretnym t=0,1,2…Rozważmy rynek pewnego
pojedynczego dobra. Celem modelu jest ustalenie takiej ścieżki cenowej {P(t)}t=0 na dobro aby dla
każdego okresu popyt był zrównoważony przez podaż.
Oznaczenia:
• t=0,1,2.. –kolejny numer okresu
• Qs(t) -podaż na dobro w okresie t (liczba jednostek dobra dostarczona przez producenta na
rynek w okresie t)
• Qd(t) –popyt na dobro w okresie t (liczna jednostek dobra poszukiwana na rynku w okresie t)
• P(t) –cena za jednostkę dobra
Założenia:
1. wielkość popytu Qd(t) zależy liniowo od ceny P(t) dla tego samego okresu. Zależność ta jest
funkcją malejącą. Zakładamy, że Qd(t)>=0
2. wielkość podaży Qs(t) zależy liniowo od ceny P(t-1) dla okresu poprzedniego. Zakładamy, że
zależność jest funkcją rosnącą Qs(t)>=0
3. Liniowy charakter popytu i podaży jest identyczny dla każdego okresu
4. w każdym okresie popyt równoważy podaż
Równania modelu:
Qd(t)=α-βP(t)
Qs(t)=-γ+δP(t-1)
Qd(t)= Qs(t)
t=0,1,2…. α,β,γ,δ>0
Uwagi:
Aby równania przedstawiały ekonomiczny sens muszą być spełnione warunki nieujemności popytu i
podaży. Warunki te prowadzą do zastrzeżenia, że ścieżka cenowa {P(t)}t=0 musi spełniać warunek
γ/δ<=P(t)<=α/β dla t=0,1,2….
w szczególności
γ/δ<=α/β
lub równoważnie
βγ-αδ<=0
Interpretacja parametrów:
• α –maksymalna wielkość popytu(przy zerowej cenie)
• -β –krańcowa wartość popytu (wrażliwość konsumentów na zmianę ceny)
• -γ –współczynnik zawierający dodatniość podaży począwszy od pewnej ceny minimalnej
P(t)>=0
• δ –końcowa wartość podaży, wrażliwość producentów na zmianę ceny
Rozwiązanie modelu:
Poszukujmy, ścieżki cenowej {P(t)}t=0 czyli ciągu spełniającego układ
Qd(t)=α-βP(t)
Qs(t)=-γ+δP(t-1)
Qd(t)= Qs(t)
i mamy:
α-βP(t)=-γ+δP(t-1),
stąd wobec faktu, że β>0
P(t)=-δ/βP(t-1)+(α+γ)/β
{Xn+1=Axn +B}
Jest to równanie różnicowe liniowe pierwszego rzędu. Aby znaleźć wszystkie rozwiązania równanie
należy znaleźć ogół rozwiązań równania jednorodnego
P(t)=- P(t-1)
oraz szczególne (dowolnie wybrane) rozwiązania równania . Ogół rozwiązań równania jednorodnego
jest postaci
P0(t)=c(- )t ,t=0,1,2,… cϵR
Szczególnego rozwiązania równania niejednorodnego poszukujemy wśród ciągów stałych. Załóżmy
zatem że PS(t)=k t=0,1,2…
k=- +
k(1+ )=
/*
, stąd PS(t)=
k=
Ostatecznie ogół rozwiązań jest więc postaci
P(t)= P0(t)+ PS(t)= c(- )t+
, t=0,1,2,… cϵR
Jeśli znamy P(0)=P0 to
P0=c+
=> c=P0-
ostatecznie ścieżka cenowa będąca rozwiązaniem modelu spełniająca warunek początkowy P(0)=P0
ma postać
P(t)=(P0-
) (- )t+
Uwaga. Aby rozwiązanie miało sens ekonomiczny należy założyć że ( )∞ spełnia warunek ≤P(t)≤ ,
t=0,1,2,… w szczególności że ≤P0≤
to ścieżka cenowa ( )∞
Jeśli P0=
P(t)=
Dalsza analiza modelu – własności ścieżki cenowej
jest ciągiem skończonym postaci
t=0,1,2,… Zauważmy że z warunku (βγ-δα≤0) wynika że ≤P(t)≤ t=0,1,2,…
Załóżmy że P0≠
. Rozważmy przypadki
a) > 1 wtedy ścieżka cenowa jest ciągiem rozbieżnym i nieograniczonym, model począwszy od
pewnego t traci sens (oscylacje dynamiczne)
b)
= 1 wówczas ścieżka cenowa oscyluje wokół wartości P0 ma bowiem postać
(oscylacje periodyczne)
−
2
c) )
−
−
(0,1) wtedy ścieżka cenowa ( )∞ jest ciągiem zbieżnym do wartości
(oscylacje tłumione)
Przykłady
Dla podanych modeli pajęczyny funkcji popytu i podaży wyznaczyć ścieżkę cenową, zbadać jej
charakter i narysować diagram pajęczyny
Niech
a)Qd(t)=18-3P(t), Qs(t)=-3+4P(t-1), P(0)=4 (oscylacje wybuchowe)
b) Qd(t)=22-3P(t), Qs(t)=-2+P(t-1), P(0)=2 (oscylacje tłumione)
c) Qd(t)=19-6P(t), Qs(t)=-5+6P(t-1), P(0)=3 (oscylacje periodyczne)
Rozwiązanie:
a) Qd(P)=18-3P
Qs(P)=-3+4P(P)
18-3P=-3+4P
P=3
Qd(t)=18-3P(t)
Qs(t)=-3+4P(t-1)
Qd(t)=Qs(t)
18-3P(t)=-3+4P(t-1)
!
P(t)=− " ( − 1) + 7
4
% & =−
3 %
Wszystkie rozwiązania równania:
!
P(t)=− ( − 1) + 7
"
są postaci:
!
t=0,1,2….. aєR
P(t)=(− ) ∗
"
!
Szczególnego rozwiązania równania P(t)=− " ( − 1) + 7 poszukujemy wśród
funkcji stałych P(t)=c, tєR
!
−"* + 7 = *
+
−"* = 7
*=3
Wszystkie rozwiązania równania są postaci:
!
+3
(− ") ∗
+3=4
P(t)=−(") ∗
P(0)=4
!
a=1
Zatem ścieżka cenowa jest postaci
!
P(t)=(− ") + 3
Jest to ścieżka rozbieżna oscylująca wokół wartości 3.
15
10
5
0
-5
1
2
3
4
5
6
7
8
-10
-15
b) Qd(P)=22-3P
Qs(P)=-2+P
22-3P=-2+P
P=6
Qd(t)=22-3P(t)
Qs(t)=-2+P(t-1)
Qd(t)=Qs(t)
22-3P(t)=-2+P(t-1)
&
P(t)=− " ( − 1) + 8
1
% & =−
3 %
Wszystkie rozwiązania równania:
&
P(t)=− " ( − 1) + 8
są postaci:
&
P(t)=(− ") ∗
t=0,1,2….. aєR
9
10
&
Szczególnego rozwiązania równania P(t)=− ( − 1) + 8 poszukujemy wśród
"
funkcji stałych P(t)=c, tєR
&
− *+8=*
"
!
− * = −8
"
*=6
Wszystkie rozwiązania równania są postaci:
&
"
P(t)=(− ) ∗
+6
P(0)=7
!
"
(− ) ∗
a=1
+6=7
Zatem ścieżka cenowa jest postaci
&
"
P(t)=(− ) + 6
Jest to ścieżka rozbieżna oscylująca wokół wartości 6.
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
c) Qd(P)=19-6P
Qs(P)=-5+6P(P)
19-6P=-5+6P
P=2
Qd(t)=19-6P(t)
Qs(t)=-5+6P(t-1)
Qd(t)=Qs(t)
19-6P(t)=-5+6P(t-1)
P(t)=− ( − 1) + 4
Szczególnego rozwiązania równania P(t)=− ( − 1) + 4 poszukujemy wśród funkcji
stałych P(t)=c, tєR
−1* + 4 = *
2* = 4
*=2
Wszystkie rozwiązania równania są postaci:
P(t)=−(1) ∗
+2
P(0)=3
!
−(") ∗
+2=3
a=1
Zatem ścieżka cenowa jest postaci
P(t)=−(1) + 3
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10