0.1 Zadania

Paweł Strawiński
0.1
Zadania
0.1.1
UMNK
Notatki do ćwiczeń z ekonometrii
Zadanie 1.
Rozważmy model liniowy bez stałej yi = xi + ²i , w którym ² ∼ N (0, σ 2 Ω),
oraz σ 2 = 1. Mając daną macierz obserwacji:
Y X
6 1
2 2
-8 -3
oraz macierz wariancji-kowariancji


2 0 0
Ω= 0 1 0 
0 0 1
a) Oblicz estymator MNK dla wektora β.
b) Oblicz estymator UMNK dla wektora β.
c) Oblicz wariancję esymatorów MNK i UMNK.
d) Czy wyniki z punktów (a) - (c) są poprawne jeśli uwzględnimy własności
estymatorów w małych próbach? Uzasadnij odpowiedź.
Odpowiedź
ad a) Estymator MNK:
b = (X 0 X)−1 X 0 y =


#

"
−1
1
6
¡
¢
¡
¢
1 2 −3  2 
1 2 −3  2  =
−3
−8
34
= 2, 43
14
ad b) Estymator UMNK:
"

¡
1 2
−3
¢
2
 0
0
0
1
0
b = (X 0 Ω−1 X)−1 X 0 Ω−1 y =

#
−1 
−1
2
1
0
¡
¢
1 2 −3  0
0   2 
0
−3
1
1
0
1
0

−1 
6
0
0   2 =
−8
1
Paweł Strawiński
"
Notatki do ćwiczeń z ekonometrii

#



−1
0, 5 0 0
1
0, 5 0 0
6
(1, 2, −3)  0 1 0   2 
(1, 2, −3)  0 1 0   2  =
0 0 1
−3
0 0 1
−8

=
31
= 2, 30
13, 5
ad c) Znamy postać macierzy wariancji-kowariancji Ω. Wariancja esymatora
MNK:
var(b) = σ 2 (X 0 X)−1 var(²)(X 0 X)−1
Więc:
var(b) = σ 2 (X 0 X)−1 (X 0 Ω−1 X)(X 0 X)−1



0,
5
0
0
1
¢
1 ¡
1
15
1 2 −3  0 1 0   2 
var(b) =
=
= 0, 0765
14
14
196
0 0 1
−3
Wariancja estymatora UMNK:
var(b) = σ 2 (X 0 ΩX)−1 =
2
= 0, 0741
27
ad d) Tak, ponieważ oba estymatory są nieobciążone, wobec tego dają podobne wyniki. Jednakże w małej próbie nie mamy gwarancji że wyniki
z dwóch procedur estymacji będą zbliżone. Ponieważ estymator UMNK
jest efektywny, więc ma mniejszą wariancję od estymatora MNK.
Zadanie 2.
Na podstawie danych pochodzących ze strony www.economagic.com zbudowano Klasyczny Model Regresji Liniowej wyjaśniający kurs USD w stosunku
do Euro za pomocą podaży pieniądza w USA i indeksu cen dóbr konsumpcyjnych w USA (inflacji). Model bazuje na 108 obserwacjach od stycznia 1990
do stycznia 1999. Otrzymano następujące wyniki:
kurst = stala + β1 podaz.pieniadza + β2 CP I + ²
Source |
SS
df
MS
-------------+-----------------------------Model | .136566483
2 .068283242
Residual | .548871572
105 .005227348
-------------+-----------------------------Total | .685438055
107 .006405963
Number of obs
F( 2,
105)
Prob > F
R-squared
Adj R-squared
Root MSE
(1)
=
=
=
=
=
=
108
13.06
0.0000
0.1992
0.1840
.0723
-------------------------------------------------------------------------kurs |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t| [95% Conf. Interval]
-------------+-----------------------------------------------------------podaz_pien~a |
.0000863
.0000958
0.90
0.370 -.0001037 .0002764
2
Paweł Strawiński
Notatki do ćwiczeń z ekonometrii
CPI | -.0040808
.0010651
-3.83
0.000 -.0061927 -.001969
_cons |
1.73358
.1012719
17.12
0.000
1.532776 1.934383
-------------------------------------------------------------------------Durbin-Watson d-statistic(
Breusch-Pagan chi2(1)
Ramsey RESET F(3, 102)
Jarque-Bera chi2(2)
3,
108) = .1814083
= 1.61 Prob > chi2
= 15.09 Prob > F
= 6.91 Prob > chi2
= 0.2049
= 0.0000
= 0.0315
oraz macierz wariancji-kowariancji estymatorów:
| podaz_~a
CPI
_cons
-------------+--------------------------podaz_pien~a | 9.2e-09
CPI | -8.0e-08 1.1e-06
_cons | 2.4e-06 -.000086 .010256
Na podstawie powyższych wyników odpowiedz na następujące pytania. Każdą z odpowiedzi uzasadnij wielkościami odpowiednich statystyk testowych.
Testy przeprowadź na poziomie istotności α = 0.05
a) Dokonaj interpretacji parametrów modelu
b) Sprawdź istotność oraz łączną istotność uzyskanych wyników
c) Sprawdź czy w modelu występuje autokorelacja
d) Sprawdź czy w modelu występuje heteroscedastyczność
e) Sprawdź czy składnik losowy ma rozkład normalny
f ) Sprawdź poprawność funkcyjną modelu
g) Zapisz regresję pomocniczą, którą należy przeprowadzić by zbadać występowanie procesu autoregresyjnego rzędu 3. Jak się nazywa ten test?
h) Korzystając z wyników poprzednich podpunktów napisz jakiej procedury
estymacyjnej należy użyć by otrzymać zgodne estymtory wariancji.
Odpowiedź
ad a) Wzrost podaży pieniądza o jednostkę powoduje wzrost kursu dolara
w stosunku do euro o 0,00008. Wzrost wskaźnika cen konsumpcyjnych
o jednostkę powoduje spadek kursu o 0,004.
3
Paweł Strawiński
Notatki do ćwiczeń z ekonometrii
ad b) Statystyka F (3, 105) = 13.06 wskazuje na łączną istotność zmiennych
w modelu. Pojedynczo istotna jest stala, ponieważ statystyka tstala =
17.12 > 1, 96 oraz CP I ponieważ |tCP I | = 3, 83 > 1, 96, natomiast
nieistotna jest zmienna podazpieniadza ponieważ p-value statytyki t
dla tej zmiennej jest większe od 0,05.
ad c) W modelu występuje autokorelacja, ponieważ statystyka DurbinaWatsona jest bliska 0. Dolna wartość krytyczna odczytana z tablic dla
2 zmiennych i 100 obserwacji wynosi 1.63. Wobec tego DW < dL
ad d) Na podstawie testu Breuscha-Pagana nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy o homoscedastyczności ponieważ p-value statystyki testowej
wynosi 0,20 i jest większe od 0,05
ad e) Na podstawie statystyki Jarque-Berra równej 6,91¿5,99 odrzucamy
hipotezę zerową o normalności składnika losowego.
ad f ) Na podstawie testu Reset F (3, 105) = 15, 09, widzimy że statystyka testowa jest duża, więc odrzucamy hipotezę zerową o poprawności
formay funkcyjnej modelu.
ad g) Test Breucha-Godfrey’a. et = γ0 + γ1 et−1 + γ2 et−2 + γ3 et−3 + ²
ad h) Ponieważ w modelu występuje autokorelacja pierwszego rzędu i nie
ma hetroscedastyczności należałoby sprawdzić występowanie autokorelacji wyższych rzędów. Jeśli jej nie ma to można zastosować procedure
Cochrana-Orcutta lub procedurę Newey’a-Westa, natomiast w przypadku występowania autokorelacji wyższego rzędu jedynie procedura
Newey’a-Westa da poprawne wyniki.
0.1.2
Autokorelacja
Zadanie 3.
Zródło: Greene zad 12.1
Czy różnicowanie danych redukuje autokorelację? Rozważ model yt = β 0 xt +
²t w którym ²t = ρ²t−1 + ut oraz ²t = ut − λut−1 . Porównaj autokorelację
składnika losowego ²t w oryginalnym modelu z autokorelacją modelu ze zróżnicowanymi zmiennymi yt − yt−1 = β 0 (xt − xt−1 ) + µt , gdzie µt = ²t − ²t−1
Odpowiedź
4
Paweł Strawiński
Notatki do ćwiczeń z ekonometrii
Model wyjściowy:
AR:
cov(²t−1 , ²t ) = E(²t−1 ²t ) = E(²t−1 (ρ²t−1 + ut ))
ponieważ cov(ut ²t ) = 0 z założenia, to:
cov(²t−1 , ²t ) = ρvar(²t−1 )
MA:
cov(²t−1 , ²t ) = E(²t−1 ²t ) =
E(ut − λut−1 , ut−1 − λut−2 )
= E(ut , ut−1 ) + E(−λut ut−2 ) + E(−λut−1 ut−1 ) + E(−λ2 ut−1 ut−2 ) = −λσU2
Po zróżnicowaniu:
cov(ut , ut+1 ) = cov(²t − ²t−1 , ²t+1 − ²t ) = E(²t − ²t−1 , ²t+1 − ²t )
W przypadku procesu AR(1): ²t = ρ²t−1 + ut
E(ρ²t−1 + ut − ²t−1 , ρ²t + ut − ²t ) =
E((ρ − 1)²t−1 + ut , (ρ − 1)²t + ut ) = E((ρ − 1)²t−1 + ut , (ρ − 1)(ρ²t−1 ) + ut ) =
ponieważ ut ∼ IID
E((ρ − 1)²t−1 + ut , ρ(ρ − 1)²t−1 ) + ut ) = ρ(ρ − 1)2 [var(²t−1 )]
Wobec tego widać, że w przypadku gdy składnik losowy zawiera wyłącznie
proces AR(1) i biały szum różnicowanie zmniejsza autokorelację.
W przypadku procesu MA(1): ²t = ut − λut−1
E(ut − λut−1 − (ut−1 − λut−2 ), ut+1 − λut − (ut − λut−1 ))
E(ut − (1 + λ)ut−1 + λut−2 ), ut+1 − (1 + λ)ut − λut−1 )) =
−(1 + λ)E[u2t ] + λ(1 + λ)E[u2t−1 ] =
−(1 + λ)σU2 + (λ + λ2 )σU2 =
−σu2 − λσU2 + λσu2 + λ2 σU2 =
−σu2 + λ2 σU2 = (λ2 − 1)σU2
Widać, że po zróżnicowaniu w przypadku procesu MA(1) autokorelacja składnika losowego wzrasta. Wobec tego nie ma jednoznacznej odpowiedzi na pytanie czy różnicowanie redukuje autokorelację.
5
Paweł Strawiński
Notatki do ćwiczeń z ekonometrii
Zadanie 4.
Zródło: Greene zad 12.4
Powszechnie twierdzi się, że statystyka Durbina-Watsona jest poprawna tylko
do testowania występowania autokorelacji pierwszego rzędu. Jaka kombinacja
współczynników modelu jest estymowana przez statystykę Durbina-Watsona
w każdym z następujących przypadków: AR(1), AR(2), MA(1)? W każdym
z przypadków załóż, że model regresji nie zawiera opóźnionej zmiennej zależnej. Omów wpływ opuszczenia tego założenia.
Odpowiedź
Przekształćmy licznik statystyki Durbina-Watsona
T
X
T
X
(et − et−1 ) =
(et − et−1 )(et − et−1 ) =
2
t=2
t=2
T
X
(e2t − 2et et−1 + e2t−1 )
t=2
Wobec tego możemy zapisać DW jako:
PT
(e2 − 2et et−1 + e2t−1 )
DW = t=2 t PT 2
t=1 et
dla dużego T możemy pominąć jedną obserwcję i otrzymujemy:
PT
et et−1
DW = 2 − 2 Pt=2
T
2
t=1 et−1
(2)
Proces AR(1) dany jest wzorem et = ρet−1 + ut . Wstawiając to do (2) otrzymujemy:
PT
(ρet−1 + ut )et−1
DW = 2 − 2 t=2 PT 2
t=1 et−1
Ponieważ ut i et są niezależe to:
PT
DW = 2 − 2 Pt=2
T
ρe2t−1
2
t=1 et−1
= 2 − 2ρ
czyli w przypadku AR(1) statstyka Durbina-Watsona jest prawidłowa.
6
Paweł Strawiński
Notatki do ćwiczeń z ekonometrii
Proces AR(2) dany jest wzorem et = ρ1 et−1 + ρ2 et−2 + ut . Wstawiając to
do (2) otrzymujemy:
PT
DW = 2 − 2
t=2 (ρ1 et−1
+ ρ2 et−2 + ut )et−1
PT 2
t=1 et−1
Z niezależności ut i et mamy:
PT
DW = 2 − 2
t=2 (ρ1 et−12 + ρ2 et−1 et−2 )
PT 2
t=1 et−1
PT
t=2
DW = 2 − 2ρ1 + 2ρ2 P
T
et−1 et−2
2
t=1 et−1
W przypadku występowania procesu AR(2) statystyka DW będzie zaburzona.
Proces MA(1) dany jest wzorem et = ut − λut−1 . Wstawiając to do (2)
otrzymujemy:
PT
(ut − λut−1 )(ut−1 − λut−2 )
DW = 2 − 2 t=2 PT
2
t=2 (ut − λut−1 )
PT
DW = 2 − 2
t=2
ut ut−1 − λu2t−1 − λut ut−2 + λ2 ut−1 ut−2
PT
2
t=2 (ut − λut−1 )
ponieważ ut ∼IID to statystyka DW redukuje się do:
PT
−λu2t−1
DW = 2 − 2 PT t=2
2
t=2 (ut − λut−1 )
λ
DW = 2 + 2 PT
Dla dużej próby
P
ut u
P
t=2
PT
t=2
u2t − λ
u2t−1
PT
t=2
u2t−1
ut−1 wobec tego
PT
u2t−1
λ
λ
u2+2
DW = 2 + 2
Pt=2
T
1−λ
1−λ
t=2 ut
W przypadku występowania procesu MA(1) statystyka DW będzie zaburzona.
7