T - Instytut Mechaniki Teoretycznej i Stosowanej

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
32, s. 119-126, Gliwice 2006
ISNN 1896-771X
WYKORZYSTANIE ALGORYTMU GENETYCZNEGO
DO OPTYMALIZACJI UKŁADU STEROWANIA
ELIMINATOREM DRGAŃ OBRABIARKI
STEFAN DOMEK
Instytut Automatyki Przemysłowej, Politechnika Szczecińska
ARKADIUSZ PARUS
Instytut Technologii Mechanicznej, Politechnika Szczecińska
Streszczenie. W wielu pracach, przeciwdziałanie drganiom samowzbudnym,
a tym samym podniesienie wibrostabilności obrabiarki realizowane jest
z wykorzystaniem eliminatorów drgań. W referacie dokonano optymalizacji układu
sterowania semiaktywnym, elektromagnetycznym eliminatorem drgań, używając
algorytmu genetycznego. Przedstawiono syntezę regulatora z suboptymalnym
lokowaniem zer i biegunów oraz zaproponowano funkcję kryterialną
do optymalizacji jego parametrów. Skuteczność układu regulacji oraz wyniki
optymalizacji zweryfikowano na drodze symulacji komputerowych.
1. WSTĘP
Pracy obrabiarek mechanicznych bardzo często towarzyszą drgania samowzbudne,
prowadzące do znacznego pogorszenia jakości powierzchni obrabianej. Dodatkowo następuje
przedwczesne zużycie narzędzi skrawających, znaczny wzrost poziomu drgań obrabiarki
odbijający się niekorzystnie na jej trwałości oraz zwiększona emisja hałasu. Ze względu na
szkodliwy charakter tego zjawiska poszukiwane są skuteczne metody jego eliminacji lub
zmniejszenia jego negatywnych skutków. Wykorzystuje się w tym celu m.in. sterowane zmiany
prędkości obrotowej narzędzia skrawającego, adaptacyjne sterowanie posuwem oraz zmiany
geometrii narzędzia w trakcie obróbki. Badane są również układy z eliminatorami drgań
wykorzystującymi aktuatory elektromagnetyczne, piezoelektryczne, oraz elementy o zmiennym
tłumieniu na bazie cieczy magneto- i elektroreologicznych. Poziom wibracji obrabianego
materiału i/lub narzędzia zmniejszany jest w takim przypadku poprzez modyfikację
charakterystyki układu masowo-dysypacyjno-sprężystego (MDS) (eliminatory pasywne) lub
poprzez wytwarzanie dodatkowych drgań nakładających się na drgania podstawowe
(eliminatory aktywne). Eliminatory semiaktywne łączą w sobie oba oddziaływania.
Skuteczność działania eliminatorów semiaktywnych i aktywnych w głównej mierze zależy
od efektywności zastosowanego układu i algorytmu sterowania. W literaturze specjalistycznej
opisywane są różnorodne próby regulacji eliminatorów. Najprostsze układy wykorzystują
klasyczne algorytmy PID, w bardziej złożonych stosowane są nowoczesne metody sterowania,
takie jak algorytmy rozmyte lub sztuczne sieci neuronowe. Skuteczne są też metody
120
S. DOMEK, A. PARUS
wykorzystujące zasadę modelu wewnętrznego (IMP) oraz lokowanie biegunów i zer (PZP). W
każdym przypadku problemem do rozwiązania pozostaje jednak skuteczne nastrojenie
wybranego układu regulacji eliminatora, tak aby zminimalizować niekorzystne efekty drgań
samowzbudnych w możliwie najszerszym zakresie pracy obrabiarki (prędkości posuwu,
głębokości i prędkości skrawania).
W pracy zaproponowano sposób optymalizacji układu sterowania semiaktywnym,
elektromagnetycznym eliminatorem drgań, przy użyciu algorytmu genetycznego. Opisano
syntezę układu regulacji eliminatora z suboptymalnym lokowaniem biegunów i zer. W
metodzie tej konieczne jest zdefiniowanie położenia zer i biegunów. Poprawę efektywności tej
metody można osiągnąć wykorzystując algorytm genetyczny do poszukiwania optymalnego
zestawu parametrów. W niniejszej pracy przedstawiono wyniki optymalizacji oraz porównano
skuteczność metody przed oraz po optymalizacji w oparciu o wybrane kryterium jakości.
Wyniki uzyskane zostały na drodze symulacji komputerowych z wykorzystaniem
mechanistycznego modelu procesu skrawania [2]. Przeprowadzono również wstępne badania
laboratoryjne eliminatora zamontowanego na obrabiarce FWD 32-J, sterowanego systemem
szybkiego prototypowania dSpace 1104.
2. MODEL MATEMATYCZNY
Na rys. 1 przedstawiony jest schematycznie przedmiot obrabiany o masie m1 i
współczynniku tłumienia h1 i sprężystości k1 wraz z dołączonym eliminatorem drgań, który
składa się z elektromagnesu o odpowiednio dobranej masie m2 zawieszonego na płaskich
sprężynach o parametrach k2 i h2. Szczegóły dotyczące modelu można znaleźć w pracy [2].
y1
Fskr
y2
k2
k1
m1
h2
m2
h1
Fel
Rys.1. Model obiektu: m1– przedmiot obrabiany, m2 – eliminator drgań
Przy projektowaniu układu sterowania posłużono się modelem opisanym w [1]
zlinearyzowanym w punkcie pracy i0=300 mA, yG0=1 mm.
x& = Ax + Bu
(1)
y = Cx
Rozpatrywany w pracy obiekt ma jedno wejście sterujące – napięcie elektromagnesu u, oraz
jedno wejście zakłócające – niemierzalną siłę skrawania Fskr tworzące wektor wejściowy u:
T
u = [ Fskr u ]
(2)
Stan obiektu określa wektor x:
x = [ y1
y2
y&1
y& 2
i]
T
(3)
WYKORZYSTANIE ALGORYTMU GENETYCZNEGO DO OPTYMALIZACJI UKŁADU...
121
gdzie y1 , y2 , y&1 , y& 2 , i to odpowiednio położenia i prędkości obrabianego przedmiotu i
eliminatora oraz prąd elektromagnesu. Macierze A, B, C zdefiniowane są następująco:
0
0
1
0
0 


0
0
0
1
0 

 − k1 − k 2 + k s
k2 − k s
− h1 − h2
h2
ki 


m1
m1
m1
m1
m1 
(4)
A=
 k2 − k s
−k2 + ks
h2
− h2 − ki 


m2
m2
m2
m2
m2 


−2ki
2ki −2 R 
0
0


L0
L0
L0 


0 0
B=

0 0

T
1
m1
0
0
0
ks =

0
 ,
1
L0 
1 0 0 0 0
C =  0 1 0 0 0 
 0 0 0 0 1 
2 Ki02
2 Ki
2K
, ki = 2 0 , L0 =
3
yG0
yG0
yG0
(5)
(6)
przy czym K jest stałą elektromagnesu, yG0 = y1 − y2 szczeliną powietrzną oraz R rezystancją
cewki.
Rys 2 przedstawia charakterystykę amplitudową analizowanego układu wykazującą dwie
częstości własne przy ω1=2π89 i ω2=2π137 rad/s.
dB
-120
-140
ω
-160
10
2
1
ω
2
10 3
rad/s
Rys.2. Charakterystyka amplitudowa układu wraz z dołączonym eliminatorem
3. STEROWANIE ELIMINATOREM DRGAŃ
Na rysunku 3 przedstawiony jest blokowy schemat rozpatrywanego układu sterowania wraz
z układem MDS obrabiarki i procesem skrawania.
Rys.3. Sterowany eliminator drgań z układem MDS obrabiarki oraz procesem skrawania
122
S. DOMEK, A. PARUS
W pracy [1] został zaproponowany algorytm sterowania eliminatorem drgań bazujący na
lokowaniu zer i biegunów. Pozwala on tak ukształtować charakterystykę amplitudową układu,
aby zwiększyć tłumienie w zakresie niższej częstości rezonansowej ω1 przy jednoczesnym
zwiększeniu wyższej częstości ω2. W tym celu z (1) została wyznaczona transmitancja Fskr / y1
przy czym jej licznik można przedstawić w postaci (7)
(7)
N Fskr = ( s + ω1 )( s 2 + sω2 d + ω22 )
Istotną rolę odgrywają sprzężone zera zespolone, które dla układu z rys. 2 odpowiadają
ω2ο=2π107. Aby zwiększyć tłumienie w otoczeniu niższej częstotliwości, zera zostały
przesunięte tak, aby stanowiły filtr dla ω2=2π86. Niestety, w układzie (1) nie można dokonać
niezależnego rozmieszczenia zer i biegunów. Zmiana położenia zer jednocześnie pociąga za
sobą zmianę położenia biegunów. Macierz transmitancji operatorowych dla układu regulacji ze
sprzężeniem od stanu K, opisuje wzór:
G = C[sI − A + BK]−1 B
(8)
Równanie (8) można przedstawić w postaci:
1
G = [N1 ....Nm ], D = det[ sI − A + BK ]
(9)
D
gdzie N1 ....N m –macierze kolumnowe liczników transmitancji G.
Dla układów liniowych spełniona jest zależność [4]:
N i = C[ s I − A + BK ]ad b i = C[ sI − A + BK i ]ad b i
(10)
gdzie:
K = [k1 L k i L k m ] ;
K i = K |k i =[0 ] = [k 1 L 0 L k m ]
T
T
(11)
B = [ b1 L b i L b m ]
Oznacza to, że wykorzystując sprzężenie od stanu Ki, można nadać licznikom transmitancji Ni
z góry zadaną postać, ponieważ i-ty wiersz macierzy wzmocnień K nie ma wpływu na
położenie zer i-tej kolumny macierzy liczników transmitancji Ni. Niech:
T
N i+ =  n1+i L nli+ 
(12)
będzie pożądaną macierzą liczników transmitancji zapewniającą układowi określone
właściwości, natomiast Ni macierzą liczników transmitancji układu ze sprzężeniem Ki:
T
N i =  n1i L nli  = C[ sI − A + BK i ]ad b i
(13)
Szukane elementy macierzy Ki można wyznaczyć, przyjmując liczniki transmitancji w ogólnej
postaci:
n+ji = sη + αη −1 s η−1 + αη −2 s η −1 + K + α 0
(14)
n j i = sη + βη −1s η −1 + βη −2 s η−1 + K + β 0
i rozwiązując równanie:
n +ji = n j i
(15)
Położenie biegunów również ulegnie zmianie, gdyż:
D + = det[ sI − A + BK i ] = s λ + δ λ −1 s λ −1 + δ λ −2 s λ−1 + K + δ 0
(16)
Jeśli w rozpatrywanym układzie zachodzi relacja
(17)
λ -η = ν > 0
z (17) można wyznaczyć η elementów Ki. Pozostałe ν elementów Ki można wykorzystać do
celowej korekty położenia biegunów układu ze sprzężeniem Ki. Dla badanego układu:
1
G = [ N Fskr Nu ]
(18)
D
WYKORZYSTANIE ALGORYTMU GENETYCZNEGO DO OPTYMALIZACJI UKŁADU...
123
W układzie sterowania wykorzystuje się możliwość uzyskania pożądanej postaci licznika
transmitancji dla wejścia Fskr za pomocą sprzężenia od stanu działającego na wejście u.
W celu uzyskania zamierzonego efektu przyjęto licznik NFskr w postaci:
N Fskr = s3 + 1416s 2 + 744 ⋅106 s + 2716 ⋅105
(19)
co odpowiada ulokowaniu zer odpowiednio dla częstotliwości równych 86 [Hz] i 148 [Hz].
Synteza układu sterowania sprowadza się do wyznaczenia na podstawie zależności (10)-(15)
wektora sprzężenia od stanu w ogólnej postaci:
k = [kB1 kB 2 kB3 kB 4 kB5 ]
(20)
W rozpatrywanym przypadku eliminatora semiaktywnego, biorąc pod uwagę model (1)-(6),
uzyskuje się zależności:
(21)
D + = f D ( k B1 , kB 2 , k B 3 , k B 4 , k B5 )
N Fskr = f N ( k B 2 , k B 4 , k B 5 )
(22)
co odpowiada ν=2 w zależności (17). Można zatem elementy kB1 oraz kB3 wykorzystać do
korekty położenia biegunów. Dobierając wektor k w postaci [1]:
k = 103 ⋅[15 ⋅103 − 1757 3.5 3.3 10]
(23)
uzyskuje się charakterystykę amplitudowo-fazową przedstawioną na rys. 4.
dB
-120
-140
-160
10
2
10
3
rad/s
Rys.4. Charakterystyka amplitudowa dla układu ze sterowanym eliminatorem
3. OPTYMALIZACJA Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU GENETYCZNEGO (GA)
Ze względu na brak możliwości niezależnego od siebie lokowania zer i biegunów,
prawidłowe wybranie ich położenia jest trudne. Z tego powodu zastosowany został algorytm
genetyczny do znalezienia optymalnej postaci równania (7). Poszukiwane parametry oraz ich
zakres zmienności znajdują się w tabeli 1. Algorytmy genetyczne wykazują kilka istotnych
cech: stosunkowo prosty aparat matematyczny, brak ograniczeń nakładanych na
optymalizowaną funkcję oraz zdolność do wyszukiwania ekstremum globalnego. Decydują one
o wyborze GA jako metody optymalizacji. Podstawą działania GA są operacje na populacji
osobników zbudowanych z chromosomów (ciągów kodowych) reprezentujących przestrzeń
poszukiwań. Dzięki operacjom reprodukcji (selekcji), mutacji i krzyżowania powstają nowe
populacje składające się z osobników lepiej przystosowanych do środowiska tzn. w większym
stopniu podobne do poszukiwanego optymalnego rozwiązania [3]. Rysunek 5 przedstawia
schemat blokowy działania klasycznego algorytmu genetycznego.
Rys.5. Schemat blokowy działania algorytmu genetycznego
124
S. DOMEK, A. PARUS
Wybór populacji początkowej, w prostym algorytmie genetycznym sprowadza się do
wygenerowania odpowiedniej liczby n osobników. Zazwyczaj generuje się ją losowo, dbając
o to, aby była możliwie różnorodna. Zapewnia to szeroki zakres przeszukiwanych rozwiązań,
znacznie zwiększając szanse na szybkie znalezienie rozwiązania bliskiego optymalnemu. Do
losowo wygenerowanej populacji można także wprowadzić określoną ilość osobników o
zadanych właściwościach zgodnie z (24)
1≤ l ≤ n − k
0.1 ⋅ l ⋅ X 0 ,
Xl = 
[
X
,...,
X
],
n − k < l ≤ n,
l, j
 l ,1
X l , j = rand (min, max)
(24)
gdzie X0 jest rozwiązaniem wyznaczonym w rozdziale 2, funkcja rand(min,max) generuje
liczbę losowo z zakresu min,max. Dzięki temu populacja początkowa zawiera sprawdzone
rozwiązanie o wysokim stopniu przystosowania. Rozmiar populacji został ustalony na n=20.
Zakres min-max jest zależny od zakresu zmienności konkretnego parametru i został
przedstawiony w tabeli 1.
Tabela 1. Zakres zmienności poszukiwanych parametrów
d
k1
k3
ω1
ω2
6
6
6
10-1500 10-1500 0-10
-10 -10
-10 -106
Do przedstawienia poszukiwanych współczynników w populacji zastosowano kodowanie
binarne. Ocena stopnia przystosowania osobnika dokonywana jest na podstawie
porównawczego kryterium jakości regulacji J:
J = −(α δ R + β I + γ U )
(25)
gdzie składowe wskaźnika J zdefiniowane są następująco:
RMS =
1
T
T
∫
[ y1 (t )] dt ,
2
T
I=
0
1
i dt ,
T 0
∫
T
∫
U = u 4 dt
(26)
0
Im większa jest wartość J, tym lepiej dany osobnik spełnia postawione przed nim zadanie
[3]. Dominującym czynnikiem jest wartość skuteczna drgań przedmiotu liczona dla czasu
pracy pojedynczego ostrza T, obrazująca poziom drgań przedmiotu obrabianego. Stabilność
obróbki jest zależna od prędkości obrotowej wrzeciona i może się zdarzyć sytuacja, gdy
algorytm genetyczny wypracuje rozwiązanie, które cechuje się wysoką wartością funkcji celu
dla przyjętej prędkości obrotowej, a układ traci stabilność w przypadku jej zmiany. Aby
zapobiec takiej sytuacji, składowa R uwzględnia wartości RMS (27) dla trzech różnych
wartości obrotów wrzeciona (90,180,450). Dla tych prędkości w pracy [1] stwierdzono
najszybszą utratę stabilności.
R=
3
∑ (RMS
k
− RMSmin )
(27)
k =1
Wskaźnik jakości dodatkowo uwzględnia parametry sygnału sterującego i korzystne jest,
aby był on jak najmniejszy zarówno co do wartości amplitudy napięcia u jak i wartości średniej
prądu i. Zapewniają to człony U oraz I.
Stałe a=1.7, b= 4.5 105, g=100, d=3 10-6 użyte zostały w celu odpowiedniego
przeskalowania poszczególnych składowych, zapewniając pożądany ich udział w całkowitym
kryterium jakości.
Algorytm genetyczny działa dzięki operacjom genetycznym - selekcji, krzyżowania i
mutacji. Pierwsza z nich określa, jakie osobniki będą miały największy wpływ na przyszłą
populację. Wykorzystana została metoda selekcji rankingowej. Krzyżowanie jest procedurą
wymiany materiału genetycznego między dwoma osobnikami. Dzięki niej powstają nowe
osobniki, które mają szansę uzyskać wartość funkcji przystosowania większą niż najlepszy
WYKORZYSTANIE ALGORYTMU GENETYCZNEGO DO OPTYMALIZACJI UKŁADU...
125
osobnik z bieżącej populacji. Bardzo istotną rolę pełni również mutacja. To dzięki niej
algorytmy genetyczne wykazują odporność na ekstrema lokalne i przeszukując bardzo szeroki
zakres rozwiązań, znajdują ekstremum globalne. Mutacja zapewnia również utrzymanie
różnorodność osobników na właściwym poziomie w końcowej pracy algorytmu. Jednocześnie
zbyt duża jej wartość przekształca algorytm w niemal losowe poszukiwanie rozwiązań.
Przyjęte wartości prawdopodobieństwa krzyżowania, mutacji oraz rozmiaru populacji wynoszą
odpowiednio: pk=0.6, pm=0.05.
4. WYNIKI SYMULACJI
Poniżej przedstawiony został wynik optymalizacji algorytmu sterowania eliminatorem drgań
z wykorzystaniem GA dla prędkości obrotowej n=90obr/min oraz szerokości skrawania
w=3,8mm. Na rys. 6a przedstawiony jest wykres przemieszczeń przedmiotu obrabianego (linia
ciągła). Widać wyraźną poprawę w stosunku do algorytmu bez optymalizacji. Porównanie
charakterystyki amplitudowej dla obu układów oraz układu bez sterowania eliminatorem jest
przedstawione na rys 6b. Rys. 7a i 7b przedstawiają przebieg prądu oraz napięcia sterującego
elektromagnesem. Średnia wartość prądu jest mniejsza, co jest istotne, ponieważ do syntezy
regulatora posłużono się zlinearyzowanym modelem i duża wartość średnia powoduje
znaczące przesunięcie przyjętego punktu pracy. Na rys 7b można zaobserwować ograniczenie
amplitudy napięcia, co również jest korzystne. Przebieg funkcji celu w trakcie optymalizacji
przedstawiony jest na rys. 8a. Rys. 8b ukazuje położenie biegunów dla układu po oraz przed
optymalizacją.
m
dB
-5
x10
4
-120
3
2
-140
1
a)
0
-160
0.55 0.6
0.65 0.7
0.75 0.8
0.85 0.9
0.95
1
b)
10
2
10
3
rad/s
Rys. 6 a) Przebieg drgań przedmiotu obrabianego dla układu po (ciągła) i przed optymalizacją
(przerywana), b) charakterystyka amplitudowa dla układu po optymalizacji (ciągła czarna),
przed (ciągła szara) oraz bez sterowania (przerywana)
mA
0
V
150
100
-10
50
-20
0
-50
-30
a)
0.55 0.6
0.65 0.7
0.75 0.8
0.85 0.9
0.95
1
b)
-100
0.55 0.6
0.65 0.7
0.75 0.8
0.85 0.9
0.95
1
Rys. 7 a) Przebieg prądu b) napięcia dla układu po (ciągła) i przed optymalizacją (przerywana)
126
S. DOMEK, A. PARUS
Im
-4750
800
600
400
-4850
200
0
-200
-4950
-400
-600
-800
a)
-5050
0
50
100
150
200
250
300
b)
-850
-800
-350
-300
-250
Re
-200
-150
-100
-50
Rys. 8 a) przebieg funkcji celu b) przesunięcie zer i biegunów dla układu po (przerywana) oraz
przed (ciągła) optymalizacją
5. PODSUMOWANIE
Zastosowanie algorytmu genetycznego do optymalizacji parametrów metody prezentowanej
w [1] pozwoliło na zwiększenie efektywności tłumienia drgań samowzbudnych. Efekty są
widoczne zarówno w charakterystyce amplitudowej jak i przebiegach czasowych
przemieszczenia przedmiotu obrabianego. Swoboda w kształtowaniu kryterium optymalizacji
pozwala na dostosowanie układu do przewidywanych ograniczeń sygnału sterującego. Dla
badanych trzech prędkości obrotowych stosunek wartości RMS/RMSGA wynosił odpowiednio:
1.02, 3.5 105, 1.5 1011. Tak duże rozbieżności wynikają z faktu, że dla prędkości obrotowej
180 i 450 układ przed optymalizacją tracił stabilność, co nie występuje w układzie po
optymalizacji .
LITERATURA
1. Domek S., Marchelek K., Chodźko M., Parus A.: Methods of Semi-Active Vibration
Absorber Control in Machine Tools. 10th IEEE International Conference MMAR,
Międzyzdroje, Vol. 1, 2004, s. 485-490.
2. Domek S., Marchelek K., Chodźko M., Parus A.: Badanie układu sterowania aktywnego
eliminatora drgań układu O-PS. Zesz. Nauk. Katedry Mechaniki Stosowanej, Wisła, 2004
3. Goldberg D.E.: Algorytmy genetyczne i ich zastosowania, WNT 1998
4. Kaczorek T: Teoria wielowymiarowych układów dynamicznych liniowych. Warszawa:
WNT, 1993
GENETIC ALGORITHM IN OPTIMIZATION
OF THE VIBRATION CONTROL SYSTEM IN MACHINING
Summary. In this paper optimization of the control system with semi-active
vibration absorber using a genetic algorithm, is proposed. The controller based on
suboptimal pole and zero placement is described and further optimization with
proposed criterion function is performed. The efficiency of the control system and
the introduced optimization method was examined through computer simulations
with a cutting process model.