(i) przesunięcie oryginału: jeżeli ˜ψ(k)
Transkrypt
(i) przesunięcie oryginału: jeżeli ˜ψ(k)
Zadania na wtorek, 31 marca Zadanie 1. Udowodnić następujące twierdzenia: e (i) przesunięcie oryginału: jeżeli ψ(k) = F[ψ(x)] i a ∈ R, to e F[ψ(x − a)] = e−ika ψ(k). e (ii) przesunięcie transformaty: jeżeli ψ(k) = F[ψ(x)] i a ∈ R, to e − a). F[eiax ψ(x)] = ψ(k Zadanie 2. Udowodnić wzory: δ(−x) = δ(x), xδ(x) = 0, xδ 0 (x) = −δ(x), δ(ax) = Zadanie 3. Obliczyć: R∞ −∞ dxx2 δ(x2 − 4), Zadanie 4. Obliczyć całkę gaussowską Z ∞ −∞ oraz całkę Fresnela −ax2 +bx e R∞ −∞ r dx = Z ∞ −∞ 2 dxx2 δ 0 (x2 − 4). π b2 e 4a , a eix dx = δ(x) . |a| √ <(a) > 0, iπ. Zadanie 5. Niech amplituda prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie x w chwili t będzie zadana wzorem (tak zwany zależny od czasu pakiet falowy) 1 Z k0 +∆k ik(x−ct) e dk. ψ(x, t) = 2∆k k0 −∆k Obliczyć prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w punkcie x w chwili t. Jak zachowuje się pakiet z upływem czasu? Czy pakiet zmienia kształt? Zadanie 6. W chwili t = 0 amplituda znalezienia cząstki w punkcie x zadana jest przez funkcję gaussowską x2 1 ψG (x, 0) = √ e− 4σ2 . 4 2πσ 2 (i) Obliczyć rozkład prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie x w chwili t. (ii) Przypuśćmy, że pakiet opisuje elektron zawarty w obszarze o rozmiarach rzędu 1 Å. Ile czasu upłynie do chwili gdy pakiet zwiększy swój rozmiar dwa razy? Ile potrzeba czasu aby pakiet „zajął” cały pokój? (iii) Rozważyć dla porównania cząsteczkę kurzu o masie 10−3 g i rozmiarze rzędu 10−4 cm zlokalizowanej w obszarze odpowiadającej jej rozmiarowi. Ile potrzeba czasu aby pakiet zwiększył swoje rozmycie dwa razy? Zadanie 7. Propagator dla cząstki o masie m znajdującej się w potencjale U (x) = mω 2 x2 /2 (oscylator harmoniczny) ma postać 1/2 i imω h 2 mω exp (x + x20 ) cos ωT − 2xx0 , 2πi~ sin ωT 2~ sin ωT gdzie T = t − t0 . Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa w chwili t, jeżeli w chwili początkowej t = 0 cząstka była opisana funkcją falową mω ψ(x, 0) = exp − (x − a)2 . 2~ K(x, t; x0 , t0 ) =