wg Brilon, Koenig, Troutbeck, 1999

Transkrypt

18. Praktyczne procedury estymacji odstępu granicznego
18. PRAKTYCZNE PROCEDURY ESTYMACJI ODSTĘPU GRANICZNEGO (wg
Brilon, Koenig, Troutbeck, 1999)
18.1.
Wprowadzenie
Modele estymacji odstępu granicznego obserwowanego potoku ruchu jest najtrudniejszym
zadaniem praktycznym w nauce inżynierskiej. Miller (1972) w swym klasycznym artykule
mógł opisać dziewięć różnych metod estymacji, które nie pokrywają wszystkich możliwych,
opisanych w literaturze do dzisiaj. Dzisiaj można by znaleźć łatwo znaleźć więcej niż 20 lub
30 metod opublikowanych na całym świecie dla estymacji odstępu granicznego. A więc,
ważnym pytaniem jest: dla właściwej estymacji, które z tych procedur różnych autorów będą
rekomendowane? A inne pytanie: jak można sprawdzić, czy dana estymacja jest dobra, czy
nie?
Przed możliwością odpowiedzi na te pytania, powinniśmy najpierw przedyskutować
podstawowe definicje. To jest skrzyżowanie dwóch jednokierunkowych ulic (Rys.1). Tutaj
dopuszczone są dwa ruchy: jeden strumień główny (ruch priorytetowy) o wielkości q p oraz
strumień boczny o wielkości q n .
Zgodnie z zasadami ruchu, każdy pojazd strumienia głównego może przejść przez
skrzyżowanie bez opóźnienia. Jednak pojazd z ulicy podporządkowanej może wejść w strefę
kolizyjną jeżeli następny pojazd strumienia głównego jest wystarczająco daleko od strefy
kolizyjnej, tak aby pojazd strumienia bocznego mógł bezpiecznie przejechać cały obszar
kolizyjny. „Wystarczająco daleko” jest definiowane jako: Następny pojazd z głównej ulicy
może przybyć na przybyć na skrzyżowanie w chwili, w której upłynie t c sekund od
poprzedniego pojazdu potoku głównego lub t c sekund od przybycia pojazdu
podporządkowanego. Tę wartość t c jest nazywana odstępem granicznym, która jest
najmniejszym odstępem strumienia głównego, który może zaakceptować kierowca pojazdu
podporządkowanego dla przejścia strefy kolizyjnej.
Inny czynnik ograniczający dla pojazdu podporządkowanego jest fakt, że oni nie mogą
wejść na obszar kolizyjny wcześniej, aż poprzedni pojazd podporządkowany wszedł, z
powodu fizycznej długości pojazdów oraz potrzebnych bezpiecznych odstępów. Stąd, dla
scharakteryzowania zachowania kierowców używamy czas następstwa t f , który jest
odstępem czasu pomiędzy dwoma kolejnymi pojazdami z ulicy podporządkowanej, gdy
wchodzą na strefę kolizyjną skrzyżowania w tej samym odstępie głównego potoku.
To jest oczywiste, że t c i t f są różne dla rożnych kierowców, dla rożnych okresów czasu,
dla różnych skrzyżowań, dla różnych rodzajów ruchu oraz różnych sytuacji ruchowych.
Zgodnie z tą zmiennością, nie można być zaskoczonym, że proces akceptacji odstępu ma
naturę stochastyczną. Stąd t c i t f będą traktowane jako zmienne losowe. Jednakże parametry
rozkładów prawdopodobieństwa tych zmiennych mogą zależeć od różnych czynników
zewnętrznych. W konsekwencji niezbędne jest zdefiniowanie pewnych reprezentujących
charakterystyk modelu typowego zachowania kierowców. A więc, estymacja odstępu
granicznego oraz czasu następstwa dla znalezienia wartości zmiennych t c i t f , jak również
dla znalezienia parametrów ich rozkładów, które reprezentują typowe zachowanie kierowców
w okresie obserwacji. W tym artykule koncentrujemy nasze rozważania na odstęp graniczny.
TPR18-345
strumień boczny
strumień główny
qp
obszar kolizyjny
qn
Rys. 18.1. Ilustracja podstawowego systemu kolejkowego.
Teoretycznie ogólnie zakłada się na skrzyżowaniach regulowanych, że kierowcy są
zarówno zgodni jak i homogeniczni. Zgodność kierowców jest założeniem, że zachowania
są podobne w każdej chwili w podobnych sytuacjach. To oznacza, że kierowca ze
specyficzną wartością t c nigdy nie zaakceptuje odstępu mniejszego niż t c oraz będzie
akceptował wszystkie odstępy większe niż t c . Jednakże w populacji różnych kierowców,
każdy który zachowuje się zgodnie, różni kierowcy mogą mieć swoja własną wartość t c .
Te wartości t c mogą być traktowane jako wartości losowe ze specjalną funkcją gęstości
prawdopodobieństwa f c (t ) i dystrybuantą Fc (t ) . Populacja kierowców jest
homogeniczna, jeżeli grupa kierowców ma te same funkcje f c (t ) i Fc (t ) .
To jest oczywiste, że rzeczywiści kierowcy nie są ani całkowicie zgodni ani
homogeniczni. A kompletnie niezgodny kierowca może stosować nową wartość t c dla
każdego odstępu. Dalej, że stosowana wartość t c , która jest porównywana z jakąś
odstępu strumienia głównego jest kompletnie niezależna od t c stosowanej do
poprzedniego odstępu strumienia głównego dla tego samego kierowcy parę sekund przed
taką samą sytuacją kolizyjną. W rzeczywistości to jest rzecz nieprzewidywalna. A więc
zakłada się, że raczej bezpieczny kierowca zawsze będzie wybierał raczej duże odstępy a
ryzykancki kierowca zawsze będzie wybierał raczej małe odstępy. Dlatego zakładamy, że
zachowanie rzeczywistego kierowcy jest bliższe do zgodności niż zachowania kompletnej
niezgodności.
Dla estymacji odstępu granicznego t c na podstawie obserwacji proponowana jest
metoda długich serii. Miller (1972) dał przegląd literatury anglojęzycznej w latach 60. W
międzyczasie pojawiły się nowe propozycje. Dla tego artykułu dokonano koniecznej
selekcji literatury, dlatego nie wszystkie pozycje literaturowe. Selekcja ta została
dokonana na podstawie oryginalności ujęć. Na początku przedstawiona jest taka metoda.
Następnie porównuje się różne metody. Na koniec przedstawiono model symulacyjny i
oceny rekomendowanych modeli.
18.2. Technika estymacji dla warunków nasycenia: metoda Sieglocha.
TPR18-346
Siegloch (1973) zaproponował skuteczną procedurę dla teorii przepustowości
regulowanych skrzyżowań. Ta procedura pokazuje jak odstęp graniczny jest modelowany
za pomocą narzędzi matematycznych. Niech g (t ) będzie liczbą pojazdów z bocznej ulicy,
które mogą pojawić się w obszarze kolizyjnym w jednej odstępie bocznego potoku t.
Oczekiwana liczba odstępów rozmiaru t w głównym strumieniu jest q p h(t ) , gdzie h(t )
jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa wszystkich odstępów (lub odstępów) potoku
głównego. Stąd wielkość przepustowości, która jest zrealizowana w odstępie rozmiaru t
podczas jednej godziny jest q p h(t )g (t ) . Dla otrzymania łącznej przepustowości c, musimy
scałkować po całej przestrzeni możliwych odstępów strumienia t. Stąd otrzymujemy
∞
c = q p ⋅ ∫ h(t ) ⋅ g (t )dt
(18.2.1)
t =0
To równanie na przepustowość regulowanych skrzyżowań daje podstawę całej teorii
odstępu akceptowalnego. Mimo że wszystkie analityczne wzory estymacji w literaturze
światowej są oparte na tym pomyśle, to nie wszyscy autorzy są świadomi tej metody.
Konsekwencją zastosowania tego równania dla obliczeń przepustowości jest
znajomość funkcji gęstości prawdopodobieństwa strumienia głównego h(t ) i funkcji g (t ) .
Siegloch, dla zastosowania tej teorii proponuje metodę regresji dla określenia g (t ) na
podstawie obserwacji. Dla takiej metody estymacji potrzebujemy obserwacji w
warunkach nasycenia, tzn. ciągłej (nieskończonej-JW.) kolejki na ulicy bocznej. Tylko w
takich warunkach my możemy obserwować realizacje g funkcji g (t ) poprzez obliczanie
liczby pojazdów bocznego strumienia, które wejdą podczas odstępu strumienia głównego
t. Oczywiście, realizacje g są zawsze liczbami całkowitymi. Wyniki obserwacji mogą być
pokazane na wykresie, jak pokazane na Rys. 18.2. W prawie wszystkich przypadkach
rozważanych przez autorów (a które są dosyć dużą liczbą), punkty obserwacji były tak
rozmieszczone, że właściwa była aproksymacja liniowa. Tak więc, liniowa funkcja
regresji została zastosowana do przedstawienia danych, gdzie t jest zmienną zależną, a g
jest zmienną niezależną:
t = a + b ⋅ g (t ) ,
(18.2.2)
gdzie parametry a i b wyznaczone są w analizie regresji.
To jest użyteczne obliczenie średniej t g (z obserwacji t wartości) dla każdej
obserwowanej wartości g, przed rozpoczęciem regresji. Tak więc, dla każdej wartości g w
próbce tylko jedna wartość t ( = t g ) jest użyta. Z drugiej strony, więcej obserwacji
numerycznych, dla mniejszych g powinna być zarządzona dla pełnego wyniku.
Doświadczenia pokazują, że zawsze w każdym przypadku średnia wartość t g pokazuje
małe odchylenia od linii prostej. Linia prosta dla t = funkcji (g) była by dokładnie
zgodna, jeżeli t c i t f będą wartościami stałymi. W takim przypadku równanie (18.2.2)
może być napisane jako
0

g (t ) =  t − t 0
 t
 f
TPR18-347
dla t < t 0
dla t ≥ t 0
(18.2.3)
12
g (t )
10
8
6
4
2
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
t (s )
Rys. 18.2. Ilustracja metody Sieglocha przez Brilona i in. (1999). Punkty na poziomych
liniach reprezentują chmury punktów obserwacyjnych dla g. Miejsca przecięcia tych linii
reprezentują średnie wartości t dla każdego g. Linia regresji odpowiada równaniu:
t = 4.8 + 2.9 g , z którego otrzymano estymatory t c = 6.25 s i t f = 2.9 s .
gdzie
tf
t 0 = t c − (s ) .
2
Stąd t c i t f mogą być oceniane dokładnie na podstawie techniki regresji. Niektórzy
autorzy klasyfikują tę technikę estymacji odstępu granicznego jako deterministyczną, co nie
jest właściwe. Natomiast ta technika w pełni odzwierciedla stochastyczną naturę odstępu
akceptowalnego.
Kombinacja równań (18.2.1) i (18.2.3) wraz z założeniem, że h(t ) może być opisana
przez funkcję wykładniczą prowadzi nas do znanego wzoru Sieglocha na przepustowość
prostego skrzyżowania nieregulowanego, jak na Rys. 1:
c=
3600 − pt0
e .
tf
(18.2.4)
Przewaga procedury Sieglocha dla estymacji t c i t f jest taka że jest w ścisłej relacji z
teorią przepustowości. Słabą stroną tej metody dla zastosowań jest fakt, że metoda ta może
być stosowana tylko dla warunków nasyconych, które mogą być trudne do znalezienia w
praktycznych sytuacjach.
TPR18-348
18.3. Techniki estymacji dla warunków nienasyconych
18.3.1. Metoda zwłoki
Skomplikowanym jest estymacja odstępu granicznego t c , na podstawie obserwacji
warunków nienasyconych. Pewną prostą metodą może być oparta na zwłokach. Zwłoka jest
czas od przybycia pojazdu bocznej ulicy aż do przybycia następnego pojazdu głównego.
Zakładamy następujące warunki: zgodni kierowcy oraz niezależność przybyć ulicy bocznej
od sytuacji ruchowej na ulicy głównej.
Stąd proporcja p a ,lag kierowców akceptujących zwłokę wielkości t jest identyczne jak
prawdopodobieństwo że kierowca ma wartość t c mniejszą niż t. Dlatego możemy ustalić
p a ,lag = Fc (t )
(18.3.1)
Dla tych rozważań proponujemy pierwszą metodę estymacji odstępu granicznego dla
warunków nasyconych.
Wszystkie zwłoki mogą być mierzone podczas obserwacji ruchu na nieregulowanym
skrzyżowaniu. Czy zwłoka zostaje przyjęta czy odrzucona dodatkowo będzie zanotowane.
Stąd skala czasu jest podzielona na W części o rozmiarze ∆t , t.j. ∆t = 1 s .Dla każdego
przedziału i patrzymy na
N i - liczba zaobserwowanych zwłok z przedziału i
Ai - Liczba akceptowanych zwłok z przedziału i
a i = Ai N i
Jeżeli t i jest środkiem przedziału i, to
Fc (t ) = a i
(18.3.2)
która jest jakąś aproksymacją dystrybuanty odstępu granicznego. Wartość oczekiwana w
takim razie jest
W
t c = ∑ t i [Fc (t i ) − Fc (t i −1 )]
(18.3.3)
i =1
gdzie W jest liczbą przedziałów długości ∆t . Podobnie odchylenie standardowe dla
dystrybuanty Fc (t ) może być estymowane.
Dla praktycznych zastosowań ta metoda ma pewne minusy. W tej metodzie wymagane
jest aby każdy przedział i miał wystarczająco dużą próbkę. To powoduje konieczność
obserwacji bardzo długich okresów, ponieważ dla ulic z małym ruchem, podczas których my
obserwujemy dosyć małe zwłoki a na głównej ulicy jest duży ruch, który powoduje kolejki
przed obszarem kolizyjnym. W konsekwencji, mimo że duża liczba obserwacji jest dokonana,
to jest bardzo mało zwłok, które mogą być wykorzystane w procedurze estymacji.
183.2. Podstawowe rozważania dla następnych metod
TPR18-349
Podane poprzednio przyczyny, która są rzeczywiście wymagane do estymacji odstępu
granicznego dla nienasyconych warunków jest procedurą, która jeszcze zbiera informacje od
tych kierowców, którzy akceptują odstęp po przebywaniu w kolejce. Proporcja
akceptowanych zwłok i odstępów p a ,lag + gap (t ) jest nie dłuższa niż dystrybuanta dla t c .
Przyczyną tego jest że kierowca, który akceptuje odstęp z pomiędzy wielu badanych
odstępów, które były mu dane. W takim przypadku, dystrybuanta wszystkich odstępów w
strumieniu głównym wpływa na dystrybuantę odstępu akceptowanego. Jednakże, pomiędzy
odrzuconymi odstępami wielkości t c są dopóty reprezentowane, dopóki oni odrzucają więcej
odstępów, niż kierowcy, którzy używają małych wartości t c . Dodanie takiego zachowania
wymaga więcej rozważań.
Jeżeli obserwujemy kierowcę na ulicy bocznej oraz jego decyzje o zachowaniu lub
odrzuceniu odstępu, to możemy zauważyć że jego t c jest większe niż maksimum
odrzuconych odstępów a mniejsze niż odstęp, którą akceptuje. To jest prawda, że kierowca
zachowuje się zgodnie (patrz wyżej). Jeżeli obserwujemy serię akceptowanych odstępów, t a ,
to wtedy akceptowana odstęp może być opisana przez statystyczną dystrybuantę Fa (t ) (patrz
Rys. 18.3).
F (t )
1
0.8
Fr (t )
0.6
Fc (t )
Fa (t )
0.4
0.2
0
0
5
10
t (s )
Rys. 18.3. Dystrybuanta odstępu granicznego Fc (t ) musi być położona pomiędzy
dystrybuantą odrzuconych odstępów Fr (t ) (tutaj przypadek A2; zwłoki są traktowane jako
t r = 0 ) a dystrybuantą akceptowanych odstępów Fa (t ) .
Z drugiej strony, możemy obserwować dystrybuantę odrzuconych odstępów Fr (t ) . Mamy
tu jednakże pewien problem, które z typów odrzuconych odstępów są zawarte w tej
dystrybuancie. Wykorzystano tu dwie rożne definicje. Najpierw, tylko największe odrzucone
odstępy zawarto w tej dystrybuancie. Jeżeli kierowca bocznej ulicy mógł był zaakceptować
pierwszą zwłokę, to on nie odrzucił żadnej odstępu. W takim przypadku kierowca ten mógłby
być wycofany z próbki (przypadek A1) i jego akceptowana zwłoka nie byłaby oceniana w
procedurze estymacji, lub odrzucona odstęp tego kierowcy byłaby definiowana jako 0
(przypadek A2). Po drugie, wszystkie obserwowane odrzucone odstępy są brane w
rozważaniach. W takim przypadku, jeżeli jeden indywidualny kierowca bocznej ulicy czeka
na długą serię odrzuconych odstępów, to będzie włączona. Oznaczenia stosowane w
przypadku A muszą być jeszcze dopracowane następująco:
TPR18-350
Przypadek B1: Kierowcy akceptują zwłoki, które są pomijane.
Przypadek B2: Dla kierowców akceptujących zwłokę, największa odrzucona odstęp jest
określana jako 0.
Pomimo że definicje będą używane, wiemy że dystrybuanta Fr (t ) pokazana na Rys. 3
musi być na lewo od żądanej dystrybuanty Fc (t ) . Z drugiej strony, funkcja akceptowanych
odstępów Fa (t ) musi być na prawo od dystrybuanty Fc (t ) . To wynika z faktu, że dla każdego
indywidualnego zgodnego kierowcy: t r < t c < t a .
Ponieważ funkcja dystrybuanty Fc (t ) nie może być obserwowana dokładnie, to jest celem
wszystkich następujących procedur estymacji funkcji Fc (t ) aż to jest możliwe albo
estymować w końcu takie typowe parametry jak wartość oczekiwana, mediana lub wariancja.
18.3.3. Metoda Raffa.
Najwcześniejszą metodą estymacji odstępu granicznego jak to wygląda jest metoda Raffa
i Harta (1950). Jego definicja przetłumaczona na naszą terminologię oznacza, że
przejmujemy:
1 − Fr (t ) i Fa (t ) .
Miller (1972) dał pewną dodatkową interpretację matematyczną tych metod. On jeszcze
zauważył, że wyniki estymacji t c są wrażliwe na wielkość ruchu, dla którego była robiona
ocena. Metoda Raffa pierwotnie była zastosowana w wielu krajach, na przykład Retzko
(1961) wprowadził tę procedurę do Niemiec.
18.3.4. Metoda Ashworda
Przy założeniu, że wykładniczego rozkładu odstępów w strumieniu głównym, o
niezależnych kolejnych odstępach oraz rozkładach normalnych t a i t c , Ashworth (1968,
1970, 1979) znalazł, że średnia odstęp graniczny t c może być estymowana z µ a (średni
odstęp akceptowalny t a w s) i σ a (odchylenie standardowe odstępów akceptowanych) przez
t c = µ a − pσ a2
(18.3.4)
z p równym wielkości ruchu strumienia głównego (pojws). Jeżeli t a nie ma rozkładu
normalnego, rozwiązanie staje się bardziej skomplikowane. Jednakże, dla rozkładów
gamma lub log-normalnych t a i t c równanie (18.2.4) można jeszcze uzyskać za pomocą
aproksymacji. Miller (1972) wprowadził pewną korektę metody dla przypadków, w
których t c ma rozkład gamma. Tak więc zastosował dwa równania
t c = µ a − pσ c2
σc =σa
tc
µa
z których t c i t a są uzyskane przez podstawienie.
Dla naszych estymacji użyto równania (8).
TPR18-351
(s )
(18.3.5)
18.3.5. Metoda Hardersa
Harders (1968) rozwinął metodę estymacji t c , która stała się dosyć popularna w
Niemczech. Cała praktyka dla skrzyżowań nieregulowanych w Niemczech jest oparta na
wartościach t c i t f , które są oceniane w tej technice. Ta metoda robi użytek tylko z odstępów
(tj. jak w powyższym przypadku B1). Metoda jest podobna do metody zwłok dyskutowanej
we wcześniejszym rozdziale (Metoda Zwłoki). Jednakże, dla procedury Hardera (1968)
zwłoki nie są obserwowane w próbce. Skala czasu jest podzielona na interwały o stałej
długości, tj. ∆t = 0.5 s . Środek każdego interwału i jest oznaczany t i . Dla każdego pojazdu w
kolejce na bocznej ulicy, powinniśmy zaobserwować wszystkie odstępy strumienia głównego,
które są przedstawione kierowcy i dodatkowo, odstępy akceptowane. Z takich obserwacji
możemy obliczyć następujące częstości oraz wartości względne:
N i - liczba wszystkich odstępów wielkości i, które są dostarczane pojazdom bocznym
Ai - liczba akceptowanych odstępów wielkości i
(10)
a i = Ai N i .
Teraz można te wartości a i narysować dla wszystkich t i . Otrzymana krzywa jest kształtem
dystrybuanty. Traktowana jest jako funkcja Fc (t ) . Jednakże, nikt nie może dostarczyć innych
skutecznych matematycznych pomysłów, które taką funkcję a i jako funkcji (t i ) mającej
rzeczywiste własności Fc (t ) . Natomiast to podejście może być niezrozumiałe w metodzie
zwłoki.
Fragmentem tej metody jest które z odstępów t < 1 s jest założone będą odrzucone, a
które z wszystkich odstępów t > 21 s jest założone że będą akceptowane. Dla zastosowań
praktycznych, zagwarantowane jest to, że a i jako funkcja (t i ) jest ściśle rosnącą funkcją dla
wszystkich t i , która będzie formą Fc (t ) . Dlatego, wartości a i są korygowane przez
procedurę ruchomej średniej, która każde a i jest jeszcze ważona z wartościami Ai . W końcu
estymacja t c jest dana przez wartość oczekiwaną dla uformowanej dystrybuanty Fc (t ) . Z
takich powodów metoda ta wygląda na bardziej rokującą praktyczne rozwiązania bez
mocnych podstaw matematycznych.
18.3.6. Procedury typu logit
Wiele proponowanych metod można by podsumować jako modele typu logit, jako że one
zawierają podobieństwa z klasycznymi modelami typu logit z planowania transportowego
(patrz Cassidy i in., 1995; Ben-Akiva and Lerman, 1987). Wszystkie te modele prowadzą nas
do funkcji typu logit. W dalszym ciągu przedstawiono jeden z typowych sformułowań tych
modeli.
Każdy kierowca ulicy bocznej czekający na odpowiednią odstęp ma dwie możliwości
i - akceptowanie odstępu dla manewru krzyżowania lub włączania;
j – odrzucenie odstępu.
Kierowca w swojej sytuacji decyzyjnej, d, będzie oczekiwał specjalnej użyteczności swojej
decyzji. Ta użyteczność może być odniesiona jako kombinacja bezpieczeństwa z jednej
TPR18-352
strony, a niskich opóźnień, z drugiej strony. Uzyskamy ogólną użyteczność U id jako
addytywną kombinację wartości deterministycznej Vid oraz losowej ε id :
U id = Vid + ε id
(18.3.6)
U jd = V jd + ε jd
Zakładamy, że deterministyczny składnik Vid może być obliczony z własności, które mogą
być estymowane na podstawie technik ogólnych miary. Stąd stosujemy jedyne możliwe
rozwiązanie liniowej funkcji użyteczności.
Vid = α + β 1 xid 1 + β 2 xid 2 + ... + β k xidK
V jd = α + β 1 x jd 1 + β 2 x jd 2 + ... + β k x jdK
(18.3.7)
gdzie
α , β 1 , β 2 ,..., β K - parametry ;
xidk
x jdk
K
- wartość k-tego atrybutu w sytuacji d w przypadku akceptacji;
- wartość k-tego atrybutu w sytuacji d w przypadku odrzucenia;
- liczba atrybutów.
Składnik losowy ε id zawiera wszystkie wpływające czynniki, które nie mogą być
ocenione dokładnie lub te, które są rezultatem czynników losowych w procesie decyzyjnym.
Robimy jednakże założenie, że kierowcy średnio dokonują racjonalnych decyzji, tj.
oni dokonują decyzji, które zapewniają
im najwyższą użyteczność. Stąd
prawdopodobieństwo p i (t ) akceptacji odstępu przez kierowcę jest
p i (t ) = P(U id > U jd )
(18.3.8)
p i (t ) = P(ε jd − ε id ≤ Vid − V jd )
O składniku losowym ε id zakładamy, że ma rozkład Gumbela. (Patrz Ben-Akiva i Lerman,
1987). Stąd różnica ε d = ε jd − ε id ma funkcję logistyczną, tj.:
Fε d ( x ) =
f ε d (x ) =
1
1 + e − µx
(18.3.9)
µe x
(18.3.10)
(1 + e )
− µx 2
gdzie µ jest parametrem tego rozkładu. Dlatego (18.3.8) i (18.3.9) mogą być napisane jako
p i (t ) = Fε d (Vid − V jd ) =
1
1+ e
(
− µ Vid −V jd
)
(18.3.11)
W iloczynie µ (Vid − V jd ) czynnik µ może być zawarty w parametrach α i β i (patrz
(18.3.7)). W specjalnych przypadkach, w których tylko jeden atrybut jest obserwowany (K =
1) otrzymujemy
TPR18-353
p i (t ) =
1
1+ e
(
− β xid − x jd
)
(18.3.12)
Jako atrybuty my możemy zastosować rozmiar prezentowanych odstępów, które kierowca
bocznej ulicy spędza w kolejce, lub prędkość pojazdu potoku głównego, lub kierunek ruchu
następnego pojazdu w potoku głównym w przypadku dwukierunkowej ulicy itp.
Dotąd opis modelu jest taki sam jak w klasycznym ujęciu modeli typu logit w
planowaniu transportowym. Jeżeli, jednak, my analizujemy (18.3.11) widzimy, że xid i x jd
(które mogą być odstępami aż do następnego przybycia pojazdu w potoku głównym) są takie
same jeżeli odstęp jest akceptowana (i) lub odrzucona (j).
Dlatego różnica atrybutów nie jest wykorzystana w równaniu. Natomiast atrybut sam
jest wprowadzony w (18.3.9) i (18.3.11). Stąd (18.3.11) staje się
p i (t ) =
1
1+ e
α + β1 xd 1 + β 2 xd 2 +...+ β K xdK
(18.3.13)
Wzór (18.3.12) ( dla K = 1 oraz atrybut x d jest odstępem potoku głównego t) prowadzi do
formy
p i (t ) =
1
1 + e α +φt
(18.3.14)
Teraz, dla uzyskania odstępu granicznego t c , rozumiemy, że p i (t ) jest funkcją odstępu t (tj.
prawdopodobieństwo, że kierowca w sytuacji d akceptuje odstęp wielkości t) jako
statystyczną funkcję gęstości dla zmiennej losowej T. Stąd odstęp graniczny jest zdefiniowana
jest jako mediana zmiennej losowej T, która jest t c , dla wartości T, dla której:
tc
∫ p (t )dt = 0.5
i
(18.3.15)
0
W końcu parametry α , β , β 1 , β 2 ,..., β K są estymowane za pomocą techniki
największej wiarygodności. Jako przykład Pant i Balakrishnan (1994) użyli ten rodzaj modelu
typu logit z α = 0 i K = 11 dla różnych atrybutów. Dla rozwiązania tego modelu mamy
określoną funkcję typu log. W tym modelu wzór (18.3.14) jest dany przez
n
 

1

L(α , β ) = ∑ ln
+ α + αy d + βt d − βy d t d 
α + βt d 

d =1   1 + e

(18.3.16)
gdzie:
y d = 1 jeżeli kierowca w sytuacji d akceptuje odstęp oraz 0, jeżeli odrzuca odstęp;
n - liczba obserwowanych decyzji;
t d - rozmiar odstępu oferowanej kierowcy w potoku bocznym w sytuacji d (s).
Maksimum L(α , β ) może być określone poprzez zróżniczkowanie i porównanie
pochodnych do zera:
TPR18-354
n 
 e α + βtd
∂L
= ∑ ln
∂α i =1   1 + e α + βt d


 + 1 − y d  = 0


(18.3.17)
n 
 e α + βt d
∂L
= ∑ ln
∂β i =1   1 + e α + βtd


 + t d − t d y d  = 0


(18.3.18)
Te dwa równania mogą być rozwiązane iteracyjnie. Tak więc (18.3.16) można
maksymalizować za pomocą techniki dużych arkuszy (spreadsheet). To jest metoda (stosując
Quattro Pro, wersja 5) która pozwala na następującą analizę.
Dla maksymalizacji L(α , β ) należy odkryć wartości α i β we wzorze (18.3.14).
Ponieważ to jest dystrybuanta rozkładu logistycznego, równanie (18.3.15) może być
rozwiązane dla t c jako wartość oczekiwana tego rozkładu, która jest
tc =
α
β
(18.3.19)
Wariancja odstępu granicznego może być estymowana jako
σ t2 =
c
α2
3β 2
(18.3.20)
W końcu to może być jeszcze raz odnotowane, że ta rodzina modeli pozwala na ocenę
innych zewnętrznych efektów na odstęp graniczny przez użycie (18.3.13) zamiast (18.3.14).
Stąd funkcje typu log (patrz (18.3.16)) muszą być zbudowane dla bardziej złożonych modeli.
Jako atrybuty możemy tu zawrzeć inne zewnętrzne wpływy-parametry dodatkowe w
głównym strumieniu odstępów (patrz tekst poniższy, (18.3.22)).
Dla przykładu tego typu logit estymacji, patrz na Rys. 18.4, który ilustruje estymację
użytą w symulacji niżej dla przypadku B1, tj. sytuacji, w której kierowca nie może
zaakceptować pierwszego odstępu, która została pominięta.
18.3.7. Procedury ufności.
Techniki ufności dla estymacji odstępu granicznego po raz pierwszy zastosowano w 60.
(Patrz Solberg and Oppenlander, 1966; Miller, 1972). Tego typu sformułowanie jest dość
podobne do logit koncept. W ich oryginalnej formie, jednakże, te modele nie stosują pojęcia
użyteczności. Natomiast wielkość odstępu granicznego t c , jest kierunkowo zrandomizowana
przez pojęcie addytywne ε . Stąd formułujemy dla zgodnego kierowcy d:
t c,d = t c − ε d
gdzie
t c,d
-
odstęp graniczny kierowcy d (s);
tc
-
średnia odstęp graniczny dla całej populacji kierowców (s);
odchylenie odstępu granicznego dla kierowcy d z t c (s ) .
εd
Prawdopodobieństwo zaakceptowania odstępu t w potoku głównym jest
TPR18-355
(18.3.21)
p a (t ) = P(t ≤ t c, d ) = P(t ≥ t c + ε d )
(18.3.22)
W modelu ufności zakładamy, że składnik losowy ε d ma rozkład normalny z
wartością oczekiwaną 0 i odchylenie standardowe σ ε . Stąd (27) dalej będzie przekształcone
na
p a (t ) = N (t t c , σ ε )
gdzie
N (t t c , σ ε )
-
(18.3.23)
dystrybuanta rozkładu normalnego z wartością oczekiwaną t c i
odchyleniem standardowym σ ε .
Stosując standaryzowaną formę rozkładu normalnego można ten wzór napisać jako
 t − tc
p a (t ) = Φ
 σε



(18.3.24)
F
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
10
wielkość odstępu w sekundach
odrzucone
akceptowane logit
20
Rys. 18.4. Przykład logit estymacji dystrybuanty F. Uzyskane z przebiegów symulacyjnych
dla q p = 200 vph . Wartości wynikowe są α = 6.61 , t c = 6.54 s .
gdzie Φ ( z ) jest wartością standaryzowanej dystrybuanty rozkładu normalnego w punkcie z.
Oznaczenia t c i σ ε są parametrami modelu. Mogą być one oceniane na podstawie techniki
regresji wiarygodności, jeżeli proporcja odstępów akceptowanych jest użyta do estymacji
p a (t ) . (Patrz Miller, 1972). W tej technice metoda ta jest prawie identyczna z metodą zwłoki.
Jeżeli w odstępie były również zawarte, technika ta ma wszystkie problemy zauważone
wpierw w metodzie zwłoki. Dlatego Hewitt (1983, 1985) zaproponował korektę strategii
bazowej metody wiarygodności dla skłonności powodowanej przez zwielokrotnienie
odrzuceń odstępów przez kierowców stosujących wielkie wartości t c . Ta technika
dyskutowana jest w następnych rozdziałach.
Trochę ważniejszy przyczynek do techniki estymacji wiarygodności dał Daganzo
(1981). Tutaj proponowana teoria, która oparta jest na estymacji t c bazującej na całej historii
odrzuconych odstępów oraz akceptowanych odstępów przez każdego kierowcę z ulicy
bocznej. Zastosowano rozkład normalny dla t c a jego wariancja jest wyznaczona dla
TPR18-356
wszystkich kierowców, jak również dla losowych pojęcia ε d (patrz (18.3.21)). Model ten
można rozwiązać za pomocą specjalnego oprogramowania dla wielowymiarowej techniki
ufności. Jednakże, nie można mieć pewności, że rozwiązanie zostanie znalezione. Dlatego,
metoda ta wydaje się zbyt złożona dla praktycznych zastosowań.
Mahmassani i Sheffi (1981) zaproponowali model ufności, który obliczał wpływ czasu
czekania na linii stopu na zachowanie kierowców. Liczba odstępów, które kierowca odrzucił
przed akceptacją odstępu, jest jednym parametrem modelu. W tym modelu wykorzystano
logarytmiczną funkcję wiarygodności dla estymacji teorii ufności. Estymacja prowadzi do
rozwiązania, w którym odstęp graniczny zależy od liczby odrzuconych odstępów. Taki rodzaj
rozwiązania może być stosowany na wejściu do modeli symulacyjnych, jeżeli pomysł
prowadzi do bardziej realistycznych, bazujących na badaniach doświadczalnych. Rozwiązanie
zawierające liczbę odrzuconych odstępów jest jednak nie użyteczne dla zastosowań w
instrukcjach lub w analitycznych obliczeniach przepustowości. Tutaj teorie pozwalają jedynie
na wyznaczenie typowej, wstępnej wartości t c , która będzie stosowana w dalszych
obliczeniach.
Istnieje pewien problem z wszystkimi metodami wiarygodności, mianowicie że
rozkład normalny może być niewłaściwy dla stosowanych odstępów granicznych, a więc
jakiś skośny rozkład t c może być właściwy. Koncept estymacji ufności dołączył do naszej
analizy rozwiązanie Hewitta.
18.3.8. Metoda Hewitta.
Hewitt (1983, 1985, 1988, 1993) opublikował serię artykułów o estymacji odstępów
granicznych. Dla pełnego wyjaśnienia wszystkich detali różnych procedur czytelnik musi
zwrócić się do źródeł oryginalnych. W dalszym ciągu podano krótką charakterystykę tych
metod.
Skala czasu jest podzielona na interwały stałej długości, tj. ∆t = 1 s . Środek każdego
przedziału i jest oznaczony t i . Metoda używa procedury iteracyjnej. W pierwszym podejściu
dla wyznaczenia funkcji akceptacji odstępu Fc (t ) używa się metody zwłoki. Jednak, dla
celów obliczeniowych Fc (t ) w pierwszym kroku jest estymowana zgodnie z metodą ufności.
Prowadzi to do wartości prawdopodobieństwa że t c jest wewnątrz interwału i, które jest
oznaczone ci 0 , gdzie indeks 0 oznacza zerowy krok iteracji.
Zgodnie z teoretycznymi względami prowadzącymi do wzoru na oczekiwaną liczbę
akceptowanych i odrzuconych odstępów, które są dane na następującej tablicy, zgodnie z
(18.3.25). Oczekiwana liczba odstępów lub zwłok podczas t j , które są używane przez
kierowców d z odstępem granicznym wielkości t cd ≅ t i :
Użyte:
Jako zwłoki
Akceptowane
β .N .c i . f j
Odrzucone
β .N .c i . f j
Jako odstępy
f j Ei
β .N .ci
(1 − Fi )
f E
β .N .ci 1 i
(1 − Fi )
Dla
j ≥i
j ≤i
gdzie
ci - prawdopodobieństwo, że odstęp graniczny jest wewnątrz interwału i;
TPR18-357
(18.3.25)
f i - prawdopodobieństwo, że odstęp potoku głównego jest wewnątrz interwału i
(Zakłada się, że rozkłady zwłok i odstępów są identyczne, a w tym przypadku, że są
wykładnicze);
Fi - wartość dystrybuanty dla głównego strumienia odstępów w środku przedziału i;
1, j ≠ i
.
0.5 j = i
β =
Stosując te wzory możemy obliczyć liczbę akceptowanych i odrzuconych odstępów i
zwłok dla danego zbioru {c i 0 }. Z tych wartości nowa estymacja {c i1 } może być obliczona, tj.
za pomocą techniki ufności. Ten zbiór {c i1 }pozwala na nową estymację t c . Również z tej
nowej {ci1 } (stosując (30)), są obliczane nowe liczby akceptowanych i odrzuconych
odstępów, co daje podstawę dla {c i 2 } i tak dalej. Ta iteracja jest powtarzana aż do kolejnej
wartości t c aż do uzyskania prawie niezmienności w następnych iteracjach.
Jedna informacja będzie uzyskana z obserwacji dla każdego interwału czasowego i
długości ∆t są wyznaczone łączna liczba odstępów, liczba odrzuconych odstępów, łączna
liczba zwłok i liczba odrzuconych zwłok. Dla praktycznych zastosowań, pewne dodatkowe
aspekty powinny być obserwowane, czy pewne przedziały czasu nie są przepełnione
potrzebnymi obserwacjami. A więc sąsiednie interwały powinny być połączone. Natomiast
procedura ufności dla {c i } , w
której założono dla Fc (t ) że jedynie rozkład log-normalny może być stosowany. Cała
procedura estymacji jest zawarta w programie komputerowym nazywanym GAPTIM oraz
PROBIT, zgodnie z Hewittem (1995). Te programy były użyte do analizy metody Hewitta.
18.3.9. Procedury największej wiarygodności
Techniki największej wiarygodności dla estymacji odstępu granicznego wyglądają na
powrót do Millerra i Pretty (1968). Dla większych szczegółów można zobaczyć Millera
(1972). Ta metoda została opisana bardziej precyzyjnie przez Troutbeck (1992). Dla
zrozumienia podstawowych elementów tej metody załóżmy, że dla indywidualnego kierowcy
bocznej ulicy d my powinniśmy obserwować:
rd - największy odrzucony odstęp (s);
a d - akceptowany odstęp (s).
Metoda największej wiarygodności oblicza prawdopodobieństwo, że odstęp graniczny t c
będzie pomiędzy rd i a d . Dla estymacji tego prawdopodobieństwa użytkownik musi
wyspecyfikować generalną formę rozkładu odstępu granicznego Fc (t ) dla populacji
kierowców oraz my zakładamy, że wszyscy kierowcy są zgodni. Wiarygodność, że odstęp
graniczny kierowców będzie pomiędzy rd i a d jest dana przez Fa (a d ) i Fr (rd ) .
Wiarygodność L* z próbki n obserwacji kierowców ulicy bocznej, która jest dana przez dwa
wektory {rd } i {a d } i która została uzyskana z danego produktu:
n
L* = ∏ ( Fd (a d ) − Fr (rd ))
d =1
Logarytm L wiarygodności L* jest dany przez
TPR18-358
(18.3.26)
n
L = ∑ ln (Fa (a d − Fr (rd )))
(18.3.27)
d =1
W praktyce, rozkład log-normalny jest często używany jako rozkład odstępu granicznego t c .
Oczekiwana odstęp graniczny może być znaleziona dla tego rozkładu, będąca
reprezentatywnym wskaźnikiem akceptacji wyrażającym średnie zachowanie kierowców
(patrz Miller, 1972; Troutbeck, 1992).
Wiarygodność L* jest maksymalizowana, kiedy logarytm L jest maksymalizowany.
Właściwe wartości parametrów rozkładu odstępu granicznego (wartość oczekiwana i
wariancja) są wyznaczane poprzez przyrównanie pochodnych cząstkowych po tych
parametrach do zera. Prowadzi to do dwóch równań zależnych od wektorów obserwacji {rd } i
{a d } . Te dwa równania mogą być rozwiązane przez iteracyjne numeryczne techniki
rozwiązania. Troubeck (1992) opisuje procedurę dla estymacji parametrów odstępu
granicznego używającej techniki największej wiarygodności bardziej szczegółowo. Ta
metoda numeryczna była użyta do estymacji wartości t c w rozważaniach tego artykułu.
18.4. Kryteria dla klasyfikacji metod estymacji
Przed porównaniem różnych procedur estymacji, możemy zdefiniować wymagania do
użycia procedury estymacji odstępów granicznych. Te wymagania nie mogą być rozważane
bez użycia matematyki. Natomiast proponujemy następujący zbiór kryteriów.
18.4.1. Dystrybuanta
Odstęp graniczny t c nie jest wartością stałą. Jest natomiast zmiennym pojęciem, gdzie
zmienność jest oczekiwana pomiędzy różnymi kierowcami oraz dla każdego indywidualnego
kierowcy w całym czasie. Dlatego, odstępy graniczne, które kierowcy stosują w swoim
procesie decyzyjnym na skrzyżowaniach nieregulowanych są podobnie rozłożone jak
zmienna losowa. Dystrybuanta jest scharakteryzowana następująco.
(a) Minimalna wartość jaka jest od uzyskiwana od dołu, która jest ≥ 0 .
(b) Oczekiwana wartość µ c (średnia odstęp graniczny lub oczekiwana odstęp
graniczny;
która często jest oznaczana jako „odstęp graniczny”).
(c) Odchylenie standardowe σ .
(d) Współczynnik skośności, który jeżeli jest dodatni, to oznacza mający długi ogon
po prawej stronie.
Dystrybuanta i jej parametry nie mogą być wprost estymowane, ponieważ odstęp
graniczny nie może być obserwowana w indywidualnej sytuacji kierowcy. Tylko odrzucone i
akceptowane odstępy mogą być mierzone. Dlatego, takie procedury mogą być ustalone, które
próbują estymować dystrybuantę i jej parametry, tak dokładnie, jak to możliwe. Normalnie,
akceptowane i/lub odrzucone odstępy są podstawą dla takiej estymacji.
18.4.2. Zgodność
TPR18-359
Procedura estymacji powinna być zgodna. Oznacza to, że jeżeli kierowcy ulicy
bocznej w ich specyficznej kompozycji strumieni ruchu mają daną dystrybuantę odstępów
granicznych, to procedura powinna dawać możliwość odtworzenia tej dystrybuanty, raczej
dokładnie. Procedura powinna w końcu odtwarzać średnią odstęp graniczny dość
niezawodnie.
Te jakości reprodukcyjne nie powinny zależeć od innych parametrów takich jak
wielkość ruchu na głównej ulicy lub opóźnienie kierowców na ulicy głównej i bocznej
doświadczanej przez kierowców lub innych zewnętrznych wpływów. Tylko wtedy może być
używana do badania wpływów zewnętrznych parametrów na odstęp graniczny, jeżeli ta
zgodność była dowiedziona za pomocą specjalnej procedury. W przeciwnym razie, wpływy
znalezione w badaniach empirycznych mogą być zarówno z niezgodności procedury
estymacji, jak i z tych wpływów, które mogą rzeczywiście być w rozważanych parametrach
zewnętrznych.
Dla większości znanych dobrze procedur estymacji odstępów granicznych ta
zgodność nie była dowiedziona. Tutaj jest mocne przeczucie, że wielki podział (jeżeli nie
starszeństwo) wszystkich powiązań pomiędzy odstępami granicznymi a innymi parametrami
(takimi jak wielkość ruchu, czas w kolejce, opóźnienie na linii stopu jako czasy obsługi w
zawartym systemie kolejkowym oraz geometryczne charakterystyki skrzyżowań, które
normalnie my traktujemy, jako różne miejsca z różnymi wielkościami ruchu) znalezione w
literaturze w rzeczywistości nie występować, ponieważ różnice jakie są mogą być wynikiem
tej niezgodności.
18.4.3. Moc metod
Ten aspekt, jak to już było zauważone przez Millera (1972), a następnie wyrażone
przez Hewitta (1995) w dyskusji doświadczeń opisanych w tym artykule. Oznacza to, że
wyniki procedur estymacji nie byłyby zbyt znaczące dla założeń poczynionych tutaj, jako że
założenia o rozkładach odstępów granicznych i odstępów w potoku głównym.
Inny czynnik, który zajmuje uwagę to rozmiar odchylenia standardowego oczekiwanej
odstępu granicznego. To jest możliwe, że metoda powoduje drobny wpływ ale mały błąd
odchylenia kwadratowego może być preferowana w stosunku do metody bez wpływu ale za
to z dużym odchyleniem kwadratowym (Hewitt, 1995).
18.4.3. Zgodność modeli przepustowości.
Estymacja odstępu granicznego nie jest celem samym w sobie. Odstępy graniczne są
stosowane do obliczeń przepustowości skrzyżowań niesygnalizowanych. Estymowane
odstępy graniczne w różnych modelach maja różny wpływ na wynik obliczeń
przepustowości. Można tu gwarantować, że estymowana odstęp graniczny, wraz w
powiązaniu z czasem następstwa t f (i jego procedurą estymacji), daje wiarygodną i
realistyczną estymację przepustowości niezależnie od zewnętrznych parametrów, szczególnie
wielkości ruchu strumienia głównego.
W żadnym przypadku nie jest sensowne stosowanie modelu przepustowości bez
związków ze sposobem estymacji odstępu granicznego. Innymi słowy, procedura estymacji
odstępu granicznego oraz model przepustowości (jak również, odpowiedni model opóźnienia)
muszą tworzyć jedną zintegrowaną całość.
Należy stwierdzić, że ta zgodność modelu przepustowości dana jest tylko w metodzie
Sieglocha, jak to wyżej pokazano. Dla każdej innej procedury estymacji, metoda estymacji
odstępu granicznego oraz metody obliczeń przepustowości (jak również opóźnienia) nie mają
teoretycznych związków. Niektóre metody jednakże dają rezultaty, które nie mogą być
zalecane do zwykłych obliczeń przepustowości, na przykład wyniki procedury ufności (patrz
wyżej).
TPR18-360
18.5. Badania symulacyjne
18.5.1. Opis pomysłu symulacji.
Te cechy procedury estymacji, a szczególnie zgodność, mogą być tylko badane w
modelu symulacyjnym, natomiast nie są możliwe w podejściu analitycznym. Aż do końca
przeprowadza się poszerzone badania symulacyjne dla zbadania wpływu różnych procedur
estymacji t c na zgodność. Dwa strumienie ruchu (patrz Rys. 1) będą generowane według
losowych procedur. Dla każdego przebiegu symulacyjnego przeprowadzono stałą kombinację
wielkości ruchu q p i q n . q p zmieniało się pomiędzy 100 i 900 vph. q n zmieniało się
pomiędzy 0 a przepustowością c zależną od q p . Każdy przebieg symulacyjny trwał przez
stałą wielkość ruchu dla 10 h. Stąd uzyskano 46 różnych kombinacji q p i q n (gdzie q n <
przepustowość) dla dwóch różnych przypadków, będących kombinacjami wartości t c i t f .
Pierwszy przypadek odpowiada zachowaniu przy prawo skręcie z ulicy bocznej, natomiast
drugi przypadek odpowiada zachowaniu przy lewoskręcie z ulicy bocznej.
P.”5.8”
5.8
Odstęp graniczny t c
Minimalna wartość t c
s
Rząd rozkładu Erlanga k
Maksymalna wartość t c
Czas następstwa t f
P.”7.2”
7.2
2.0
5
12.5
2.6
Minimalna wartość t f
s
Rząd rozkładu Erlanga k
Maksymalna wartość t f
2.2
5
15.5
3.6
1.2
2
7.2
s
s
s
1.6
2
10
s
Odstęp graniczny t c oraz czas następstwa t f dla każdego symulowanego kierowcy
były generowane zgodnie z przesuniętym rozkładem Erlanga przy użyciu powyższych
parametrów. Każdy kierowca jak założono jest zgodny, to jest utrzymuje czas t c na swój
wyjazd. Generowane wartości t c i t f spoza przedziałów minimalny i maksymalny pozwoliły
określić te granice zmienności.
Jednakże, dla osiągnięcia realistycznego rozkładu odstępów, należałoby zastosować
do głównego strumienia tzw. rozkład Erlanga (patrz Dawson, 1969, Grossman,1991). Jednak
dla strumienia bocznego powyższe założenia są właściwe. Te skomplikowane rozkłady są
zbyt złożone niż proste realistyczne sytuacje ruchowe.
W każdym przebiegu symulacyjnym odstęp graniczny t c jest estymowana poza
symulacją, zgodnie z metodami przedstawionym wyżej. Uzyskano serię 46 estymatorów t c
dla każdej metody.
18.5.2. Wyniki analizy odstępu granicznego
Rys. 5 ilustruje wyniki analizy odstępu granicznego. Przedstawiono wszystkie t c
estymowane za pomocą metody Hewitta dla różnych wartości q p . Narysowano tutaj
wszystkie wielkości strumienia ruchu, które były generowane podczas symulacji. Ten typ
relacji, po pewnych porównaniach, okazuje się najlepszym wynikiem w relacji do strumienia
TPR18-361
bocznego q n , który okazuje się mieć dużo mniejszą zmienność. Każde przecięcie
reprezentuje jedną wartość t c . Przecięcia narysowane jeden nad drugim były uzyskane dla
różnych q n . Zarówno dla potoków ruchu, jak i symulowanych wielkości (nie przez wartości
zadane lecz przez generowanie odstępów) zostały otrzymane następujące rysunki.
Widzimy, że za pomocą metody Hewitta uzyskujemy wartości t c pomiędzy 5.63 a
5.98 s, dla dokładnej wartości 5.8 s oraz pomiędzy 7.08 a 7.52 s, dla dokładnej wartości 7.2 s.
Tak więc, należy stwierdzić wielką zmienność wyników. Dla uzyskania wartości t c należy
zastosować analizę regresji dla znalezienia zależności od q p . W tym przypadku linia regresji
była raczej horyzontalna oraz i zbieżna do dokładnych wartości w obydwu przypadkach.
Oznacza to, że metoda Hewitta daje średnio bardzo dobrą zbieżność do wartości dokładnej i
wyniki nie są zależne od wielkości ruchu potoku głównego. Tak więc metoda ta spełnia nasz
najważniejsze kryterium jakości – zgodność, z wysokim raczej wynikiem. Zobaczymy, że tak
nie jest w większości innych metod.
t c = 5.8 s
metoda Hewitta dla
estymowana odstęp graniczny
metoda Hewitta dla
6.0
5.9
5.8
5.7
5.6
t c = 7.2 s
7.5
7.4
7.3
7.2
7.1
100 200 300 400 500 600 700 800 900
wielkość strumienia priorytetowego (poj/h)
100 200 300 400 500 600 700 800 900
Rys. 18.5. Wyniki przebiegów symulacyjnych metody Hewitta dla dwóch wartości t c .
Troutbeck t c = 7.2 s
Troutbeck t c = 5.8 s
6.0
5.9
5.8
5.7
5.6
100 200 300 400 500 600 700 800 900
7.4
7.3
7.2
7.1
7.0
100 200 300 400 500 600 700 800 900
Rys. 18.6. Wyniki przebiegów symulacyjnych metody Troutbecka dla dwóch wartości t c .
Logit model (odstępy i zwłoki) t c = 5.8 s
Logit model (tylko odstępy) t c = 5.8 s
TPR18-362
6.5
6
5.5
5
4.5
6.5
6
5.5
5
4.5
100 200 300 400 500 600 700 800 900
100 200 300 400 500 600 700 800 900
Ashworth t c = 7.2 s
Ashworth t c = 5.8 s
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
8.0
7.0
6.0
5.0
4.0
100 200 300 400 500 600 700 800 900
100 200 300 400 500 600 700 800 900
Rys. 18.7. Wyniki przebiegów symulacyjnych metody Ashwortha. Dla metody logit tylko
oceniono dla t c = 5.8 s.
Z badań wszystkich innych metod tylko metoda największej wiarygodności (na Rys. oznaczona jako
metoda Troutbecka) osiąga tę samą ocenę co metoda Hewitta. Tutaj jeszcze raz linia regresji zbieżna jest do
wyników estymacji. Jeszcze raz i raczej z dużą zmiennością wyników dla różnych wielkości ruchu bocznego
można odczytać wyniki z rysunków. Niemniej te dwa przypadki spełniają formułowane wyżej najważniejszej
cechy – zgodności.
Podobne rysunki uzyskano dla ilustracji innych badanych metod symulacyjnych. Dla metod typu logit
(Rys. 7) widzimy, że wyniki stają się bardzo różne, jeżeli my używamy odstępów i zwłok lub tylko odstępów. W
naszym przykładzie (tylko oceniano t c = 5.8 s) tylko dla wyłącznego stosowania odstępów (bez zwłok
stosowano w drugim przykładzie) uzyskano średnio dokładną wartość t c . Włączenie zwłok do procesu
estymacji prowadzi do godnej uwagi estymacji odstępu granicznego. Jednakże, w każdym podejściu, wyniki
wykazują dużą zależność od wielkości ruchu potoku głównego. Tak więc, procedura typu logit nie spełnia
kryterium zgodności i w konsekwencji nie może być rekomendowana do stosowania praktycznego w formie
przedstawionej wyżej. Natomiast skorygowana procedura może stać się dopuszczalna.
Dla metody Ashwortha (Rys. 7) widzimy że najwięcej wyników estymowanych ma mniejszą wartość
niż dokładne wartości. Jeszcze raz, jako że ty wyniki nie wyglądają na właściwe, ta procedura (w końcu jej
niepoprawność pokazana została w równaniu (5)) nie może być rekomendowana do zastosowań.
Raczej zaskakujące wyniki otrzymano z symulacji metody Raffa oraz Hardersa (Rys.8). Metoda Raffa
daje właściwe wyniki tylko dla środkowych wielkości ruchu potoku głównego, natomiast metoda Hardersa
prowadzi nas do ogromnego przeszacowania odstępu granicznego. Tylko, jeżeli w metodzie Hardersa zawierają
się zwłoki ocenione w pewnym innym procesie estymacji, można przyjąć rezultat t c . Jeszcze większy problem
jest jednak kiedy stosujemy wyniki z dwóch typów procedur które mają mocny związek z wielkością głównego
potoku ruchu a cechą która mogłaby być osiągnięta. Dlatego, żadna z tych metod nie powinna być stosowana do
estymacji odstępu granicznego.
TPR18-363
Raff t c = 7.2 s
Raff t c = 5.8 s
7.0
6.5
6.0
5.5
5.0
8.0
7.5
7.0
6.5
6.0
100 200 300 400 500 600 700 800 900
100 200 300 400 500 600 700 800 900
Harders t c = 7.2 s
Harders t c = 5.8 s
7.5
7.0
6.5
6.0
5.5
9.0
8.5
8.0
7.5
7.0
100 200 300 400 500 600 700 800 900
100 200 300 400 500 600 700 800 900
Harders (z odstępami) t c = 7.2 s
Harders (z odstępami) t c = 5.8 s
6.5
6.0
5.5
5.0
4.5
100 200 300 400 500 600 700 800 900
8.5
8.0
7.5
7.0
6.5
100 200 300 400 500 600 700 800 900
Rys. 18.8. Wyniki przebiegów symulacyjnych metod Raffa i Hardersa dla dwóch wartości t c .
TPR18-364
Dla estymacji według metody Sieglocha uzyskujemy lepszy wynik (Rys. 18.9). Tak
jak w obydwu metodach Hewitta i Trotbecka w obu przykładach wartości t c są średnio na
dobrym poziomie prawdziwej wartości t c . W dodatku linie regresji nie są dużo odbiegające
od wielkości głównego potoku ruchu; jest to tak, że wielkość ruchu potoku głównego nie ma
systematycznego wpływu na wyniki estymacji. Dlatego metoda Sieglocha wygląda na
pożyteczną technikę estymacji.
Symulacja dla metody Sieglocha pozwala nam ocenić przepustowość z zadanymi
wartościami t c i t f ponieważ ciągła kolejka powinna być wygenerowana w symulacji. W
wyniku liczba pojazdów potoku bocznego jaka będzie mogła przejechać strefę konfliktową
jest dokładnie przepustowością skrzyżowania. Zanotowano wyniki symulacji 10 h
przebiegów. Zostały one opisane przez funkcję regresji (patrz Rys. 18.10):
c = Ae − Bp
(18.5.1)
Siegloch t c = 5.8 s
która jest tego samego rodzaju co funkcja przepustowości Sieglocha (4). Wartości A i B mogą
być estymowane metodą najmniejszych kwadratów za pomocą techniki „spreadsheet” bez
uprzedniej liniowej transformacji. Ten typ funkcji wymaga innego rodzaju estymacji t c i t f :
9.0
8.0
7.0
6.0
5.0
Siegloch t c = 7.2 s
9.0
8.0
7.0
6.0
5.0
100 200 300 400 500 600 700 800 900
100 200 300 400 500 600 700 800 900
t c = 5.8 s
1100
obliczone
925
750
575
400
t c = 7.2 s
przep. bocznego strum. poj/h
przep. bocznego strum. (poj/h
Rys. 18.9. Wyniki przebiegów symulacyjnych dla metody Sieglocha.
symulowane:
c=1448.87*e(0.00152*qp
estymowane:
tc=6.7s tf=2.4 s
800
obliczone
650
500
350
200
100 200 300 400 500 600 700 800 900
symulowane:
c=1096.95*e(0.00184*qp)
estymowane:
tc=8.3 s tf= 3.3 s
100 200 300 400 500 600 700 800 900
Rys. 18.10 . Symulowane przepustowości porównane z wynikami obliczeń według wzoru
Sieglocha (4) (używając dany odstęp graniczny t c i czas następstwa t f ).
tf =
3600
A
tc = B +
TPR18-365
tf
2
(s)
(18.5.2)
Wyniki symulowanej przepustowości i „symulowana” funkcja regresji są przedstawione na
Rys. 10. Regresja ma wyjątkowo wysoką wartość r, która powoduje bardzo dobrą korelację.
Jednakże wartości t c i t f uzyskane z funkcji regresji są różne od wartości prawdziwych.
Relacja pomiędzy przepustowością a potokiem głównym, jak to można obliczyć na podstawie
oryginalnego wzoru Sieglocha z prawdziwymi wartościami t c i t f wynikają również z Rys.
18.10 („obliczone”). Obie krzywe przepustowości pokazują znaczące różnice. Dlatego
kryteria dopuszczalności nie są spełnione. Przyczyną tego jest to, że wzór Sieglocha (18.2.4)
jest tylko dokładnie spełniony dla stałych wartości t c i t f oraz strumienia Poissona w potoku
głównym, podczas gdy w symulacji założono bardziej realistyczne założenie, w szczególności
nie-Poisonowski strumień przybyć dla potoku głównego. Z tych wyników można
wnioskować, że technika estymacji Sieglocha jest wrażliwa od rozkładu potoku głównego
(porównaj z kryterium dopuszczalności).
Rys. 18.11 daje przegląd wszystkich linii regresji pokazanych na Rys. 18.5 – 18.9.
Pewne procedury mogą być wprowadzone z dodatkowymi korygującymi poprawkami. To jest
cel przyszłych badań.
18.5.3. Wyniki wariancji estymowanej odstępu granicznego.
Symulowano 10 h stałe potoki nie reprezentującej próbki, jakie można zaobserwować
w rzeczywistości. Na podstawie doświadczeń praktycznych zastosowano miary dla 1 h lub 2
h. Dlatego rozważamy jeszcze zbieżne zachowania pewnych metod. Zamieszczono tutaj
wyniki metody największej wiarygodności. Rys. 12 pokazuje rząd wartości minimalnych i
maksymalnych t c , z różnych okresów obserwacji. Widzimy, że dla 1 h (nie dłużej)
przedziałów, zmienność jest mniejsza niż 0.2 s.
estymowana odstęp graniczny (s)
t c = 5.8
7.0
Siegloch
Troutbeck
Ashword
Raff
Harders
Hard (+zwłoka)
Hewitt
6.5
6.0
5.5
5.0
4.5
200 300 400 500 600 700 800
wielkość strumienia głównego (poj/h)
Rys. 18.11. Porównanie linii regresji dla relacji pomiędzy potokiem głównym a
estymowanymi wartościami t c dla (a) t c = 5.8 s i (b) t c = 7.2 s.
Wielkość ruchu również powinny być brane pod uwagę jako dodatkowy czynnik
zależny. Rys. 18.13 pokazuje odchylenie standardowe w odniesieniu do prawdziwej wartości
jako funkcja symulowanej liczby pojazdów potoku bocznego. Na osi poziomej użyto skali
logarytmicznej. W próbkach powyżej 100 poj odchylenie standardowe jest mniejsze niż 0.3 s.
Relacja przedstawiona na Rys. 18.13 wygląda na bardziej ogólną, niż pokazana na Rys.
18.12.
TPR18-366
Zmienność estymowanych tc (s)
6.4
6.2
6.0
5.8
5.6
5.4
5.2
5.0
15 30 40 60 75 100 120 150 200 300 600
wielkość przedziału czasu (min)
t c = 5.8 s
Rys. 18.12. Minimum i maksimum estymatorów odstępu granicznego w zależności od
wielkości okresu obserwacji (dla metody największej wiarygodności i danej t c = 5.8 s).
0.70
Odchylenie standardowe (s)
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
10
10000
100
1000
średnia l. poj. bocznego potoku na odstęp
t c = 5.8 s
Rys. 1813. Odchylenie standardowe estymowanych odstępów granicznych t c w zależności
od wielkości próbki ruchu ulicy bocznej (dla metody największej wiarygodności i danej
t c = 5.8 s).
18.6. Wnioski
Przegląd publikacji o estymacji odstępu granicznego odkrywa wiele różnych
proponowanych rozwiązań. Jest tu trudno zrozumieć, które procedury są wiarygodne a
które nie. Z serii metod badanych w tym artykule, metoda największej wiarygodności i
TPR18-367
metoda Hewitta dają najlepsze wyniki. Obydwie były spełnione dla badanych
przypadków. Wyjaśnia to wybór metody największej wiarygodności dla oceny odstępu
granicznego jako metody następnej edycji HCM, Rozdział 10. (Patrz Kyte i in., 1996).
Rozważania różnych teoretycznych koncepcji pokazują, że założenia różnych metod
mogą być kombinowane. W przyszłości powstaną być może inne metody estymacji
odstępu granicznego.
Dodatek
Definicje zmiennych:
Ai - liczba akceptowanych odstępów wielkości i (metoda Hardersa) lub liczba
akceptowanych zwłok wielkości i (metoda zwłok)
a i = Ai N i - natężenie akceptacji odstępu wielkości t i (metoda Hardersa)
a i = Ai N i - natężenie akceptacji zwłoki wielkości t i (metoda zwłok)
c - przepustowość, tj. maksymalna liczba pojazdów potoku bocznego, które mogą przeciąć
strumień główny podczas jednej godziny (vph)
∆t - długość przedziału czasu w metodzie Hardersa
f a (t ) - statystyczna funkcja gęstości prawdopodobieństwa odstępów akceptowanych
Fa (t ) - dystrybuanta rozkładu odstępów akceptowanych
f c (t ) - statystyczna funkcja gęstości prawdopodobieństwa odstępu granicznego
Fc (t ) - dystrybuanta rozkładu odstępu granicznego
f r (t ) - statystyczna funkcja gęstości prawdopodobieństwa odstępów odrzuconych
Fr (t ) - dystrybuanta rozkładu odstępów odrzuconych
g
- obserwowana wartość g (t )
g (t ) - liczba pojazdów ulicy bocznej, które wejdą w odstęp ulicy głównej wielkości t
- statystyczna funkcja gęstości odstępów (odstępów) pomiędzy pojazdami potoku
h(t )
głównego
L
- logarytmiczna funkcja wiarygodności
*
L
- funkcja wiarygodności
µ a - wartość oczekiwana odstępów akceptowanych t a (s)
µ c - średnia odstęp graniczny lub oczekiwana z dystrybuantą Fc (t ) (s)
n
- liczba obserwowanych kierowców ulicy bocznej
N i - liczba wszystkich odstępów wielkości i, które są dostarczone przez pojazdy boczne (metoda Hardersa) lub
liczba zwłok wielkości i, które są dostarczone przez pojazdy boczne (metoda zwłok)
p - główny (priorytetowy) wielkość ruchu - q p 3600 (poj/s)
q n - wielkość ruchu potoku bocznego (vph)
q p - wielkość ruchu potoku głównego (vph)
σ a - odchylenie standardowe odstępów akceptowanych t a (s)
σ c - odchylenie standardowe odstępów granicznych
t
ta
tc
odchylenie standardowe z dystrybuantą Fc (t ) (s)
- indeks czasu w metodzie typu logit
- odstęp akceptowany (s)
- odstęp graniczny (s)
TPR18-368
tf
- czas następstwa (s)
t g - średnia wartość t dla każdego g (metoda Sieglocha) (s)
t i - środek i-tego przedziału czasu w metodzie Hardersa (s)
t r - odstęp odrzucona (s)
W - liczba przedziałów czasu (metoda zwłok)
TPR18-369
Literatura
Ashworth, R., 1968. A note on the selection of gap acceptance criteria for traffic simulation
studies. Transportation Research 2(2), 171-175.
Ashworth, R., 1970. The analysis and interpretation of gap acceptance data. Transportation
Science 4, 270-280
Ashworth, R., 1979. The analysis and interpretation of gap acceptance data. Transportation
Research, pp. 270-280.
Ben-Akiva, M., Lerman, S. R., 1987. Diskret choice analysis. Mass. Institute of Technology
Press: Cambridge, MA.
Brilon, W., Koenig, R., Troutbeck, R.J., 1999. Useful estimation procedures for critical gaps.
Transportation Research Part A 33, 161-186.
Cassidy, M. J., Madanat, S. M., Wang, Mu-Han, and Yang, Fan., 1995. Unsignalized
intersection capacity and level of service: revisiting critical gap. Preprint 950138,
Transportation Research Board, annual meeting.
Daganzo, C., 1981. Estimation of gap acceptance parameters within and across the population
from direct roadside observation. Transportation Research 15B 1-15.
Dawson, R. F., 1969. The hypererlang probability distribution – a generalized traffic headway
model. In: Proceedings of International Symposium on the Theory of Traffic Flow
and Transportation. Karlruhe, Series Strassenbau und Strassenverkehrstechnik. No.
86.
Grossman, M., 1991. Methoden zur Berechnung und Beurteilung von Leistungfaehigkeit und
Vekehrqualitaet an Knotenpunkten ohne Lichtsignalanlagen (Methods for the
Calculation and Assessment of Capacity and Quality at Unsignalized Intersections)
(in German). Ruhr-University Bochum, Institute for Traffic Engineering, No. 76.
Harders, J., 1968. Die Leistungsfaehigkeit nicht signalgeregelter staedtischer
Verkehrsknotenpunkte. (Capacity of Urban Unsignalized Intersection) (in German)
Series Strassenbau und Strassenverkehrstechnik, No. 76.
Hewitt, R. H., 1983. Measuring critical gap. Transportation Science 17(1), 87-109.
Hewitt, R. H., 1985. A comparison between some methods of measuring critical gap. Traffic
Engineering and Control 26(1), 13-22.
Hewitt, R. H., 1988. Analysis of critical gaps using probit analysis. Paper presented at Second
International Workshop on Unsignalized Intersection in Bochum. (The English
version of the paper is unpublished, a copy is avaible from the authors of this paper on
request; a German version has been published: Hewitt, 1993)
Hewitt, R. H., 1993. Analyse von Greenzzeitluecken durch Probit-Analyse (Analysis of
Critical
Gaps by Probit Analysis) (in German)Strassenverkehrstechnik, Germany, pp. 142-148.
Hewitt, R. H., 1995. Personal corespodence with Werner Brilon.
Kyte, M., Tian, Z. Mir, Z., Hameedmansoor, Z., Kitelson, W., Vandhey, M., Robinson, B.,
Brilon, W., Bondzio, L., Wu, N. and Troutbeck, R., 1996. Capacity and level of
service
at unsignalized intersections, final report: volum 1- two-way stop-controlled
intersections. National Cooperative Highway Research Program, Project 3-46.
Mahmassani, H., Sheffi, Y., 1981. Using gap sequences to estimate gap acceptance functions.
Transportation Research 15B, 143-148.
Miller, A. J., 1972. Nine estimators for gap-acceptance parameters. In: Newell, G. (Ed.),
Proceedings of the International Symposium on the Theory of Traffic Flow and
Transportation. Berkeley, California June 1971. Elsevier Amsterdam.
Pant, P. D. and Balakrishnan, P., 1994. Neural networks for gap acceptance at stop-controlled
intersections. ASCE Jurnal, 433-446.
TPR18-370
Raff, M.S. and Hart, J.W., 1950. A volum warrant for urban stop signs. Eno foundation for
highway traffic control: Saugatuck, Connecticut.
Retzko, H. G., 1961. Vergleichende Bewrtung verschiedener Arten der Verkehregelung an
steadtischen Strassenverkehrsknotenpunkten (Comparative Evaluation of Different
Kinds of Traffic Control at Urban Intersections) (in German), Series Strassenbau und
Strassenverkehrstechnik, No. 154.
Siegloch, W., 1973. Die Leistungsermittlung an Knotenpunkten ohne Lichtsignalanlagen
(Capacity Calculations at Unsiggnalized Intersections) (in German), Series
Strassenbau
und Strassenverkehrstechnik, No. 12.
Solberg, P. and Openlander, J., 1966. Lag and gap acceptance at stop-controled intersections.
Highway Capacity Record, No. 118, 48-67.
Troutbeck, R. J., 1992. Estimating the critical acceptance gap from traffic movements.
Physical infrastructure centre, Queensland University of Technology,
Research Report 92-5.
TPR18-371

wg Brilon, Koenig, Troutbeck, 1999

Transkrypt

Podobne dokumenty

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra

Prof. Stanisław Trybuła - Instytut Badań Systemowych PAN

PRZECIWSKAZANIA: aktywna opryszczka aktywne choroby skóry

Motif Matik - Instrukcja

Profilaktyka wydłużania odstępu QT - toksykologia

Stan graniczny konstrukcji - Piotr Jermołowicz

wg Chodur, 2001

Pewien badacz jest zainteresowany modelowaniem kształtowania

Formatowanie wizualne – polecenia formatujące tekst