Egzamin 2015
Transkrypt
Egzamin 2015
Egzamin z matematyki dyskretnej, informatyka stosowana, studia magisterskie, rok 1 4 II 2015 Informacje dla zdających: 1. Egzamin trwa 90 minut. Można pracę oddać wcześniej i wyjść, ale nie w ciągu ostatnich 10 minut. 2. Podczas egzaminu wolno korzystać jedynie z kalkulatora, narzędzi do pisania i materiałów otrzymanych od prowadzących egzamin. Wszelkie przedmioty poza wspomnianymi powinny być pozostawione w torbach/plecakach we wskazanym przez egzaminujących miejscu. W szczególności nie wolno używać telefonów komórkowych i własnych kartek. 3. Wszystkie kartki z rozwiązaniami należy podpisać imieniem i nazwiskiem. Na pierwszej kartce, obok imienia i nazwiska należy narysować prostokąt a w środku wpisać swój „pseudonim artystyczny” pod jakim wynik egzaminu zostanie ogłoszony. 4. Progi procentowe konieczne do uzyskania kolejnych ocen są takie same, jak na ćwiczeniach. 5. Definicje i twierdzenia w zadaniu 5 nie muszą być zapisywane formalnie, mogą być podane własnymi słowami. Zadania: 1. (400 punktów) Rozwiąż zależność rekurencyjną: 𝑠𝑛+1 = 𝑠𝑛 + 12𝑠𝑛−1 − 14 ⋅ (−3)𝑛 , 𝑠0 = −1, 𝑠1 = 4 2. (400 punktów) Firma PIMKO zatrudnia 17 pracowników, w tym 7 grafików i 6 programistów. Firma zaangażowała się w nowy projekt opatrzony kryptonimem ”FERDYDURKE”. Do projektu potrzeba wybrać 11 pracowników. a) Na ile sposobów można wybrać skład grupy projektowej, jeśli skład grupy projektowej jest dowolny? b) Na ile sposobów można wybrać skład grupy projektowej, jeśli w projekcie potrzebni są dokładnie czterej graficy i co najmniej 4 programistów? c) Premia z tytułu projektu ma być rozdzielona wśród pracowników z grupy projektowej w sposób losowy, przy czym każdy z zaangażowanych ma dostać co najmniej 3000 PLN, a wszystkie stawki wynagrodzenia mają być wielokrotnościami kwoty 1700 PLN. Na ile sposobów można porozdzielać 51 000 PLN, które firma dostanie za ten projekt? d) W czasie trwania projektu pracownicy zostają zobowiązani do tytułowania korespondencji mailowej anagramami słowa FERDYDURKE, przy czym w ciągu dnia żaden z tytułów nie może się powtórzyć. Ile wiadomości mogą maksymalnie dziennie wysłać członkowie grupy projektowej? (anagram - słowo powstałe z przestawienia liter danego słowa) e) Każdy z zaangażowanych pracowników codziennie ma mieć przydzielany osobisty klucz dostępu do ściśle tajnej bazy danych BLADACZKA. Klucze dostępu mają być liczbami czterocyfrowymi, podzielnymi przez 18 lub 45. Ile dni roboczych może maksymalnie trwać projekt, jeśli raz wykorzystany klucz nie może być już wykorzystany w czasie trwania projektu? 3. (400 punktów) a) Znajdź maksymalny przepływ pomiędzy wierzchołkami A i H w poniższym grafie skierowanym (graf po lewej). Uzupełnij odpowiednią tabelę przebiegu algorytmu. Nr etapu Ścieżka powiększająca Przepływ wzdłuż ścieżki Alternatywne ścieżki powiększające 2 b) Znajdź minimalne drzewo spinające dla poniższego grafu za pomocą algorytmu Kruskala/Prima. Uzupełnij odpowiednią tabelę przebiegu algorytmu. Wyznacz liczbę chromatyczną dla tego grafu i wskaż pełne skojarzenie w otrzymanym drzewie spinającym. Nr etapu Wybrana krawędź Krawędzie odrzucone przed wyborem/Alternatywy 4. (400 punktów) Wielki Elektronik planuje zachwiać bezpieczeństwem energetycznym Abecji. Profesor Kleks właśnie przechwycił skomplikowany klucz, który potrzebny jest do złamania szyfru, z którego korzysta Wielki Elektronik. Klucz składa się z dwu części - 3 liczb oraz jednego słowa. Pierwsza liczba jest rozwiązaniem poniższej kongruencji a dwie ostatnie - najmniejszymi liczbami naturalnymi, które spełniają poniższe równanie diofantyczne. Słowo zostało zaszyfrowane w postaci drzewa, a słowo klucz jest reprezentacją tego drzewa w notacji postfiksowej. Pomóż profesorowi Kleksowi znaleźć klucz i zapobiec katastrofie energetycznej w Abecji. ⎧ ⎨ 𝑧 ≡7 2 𝑧 ≡9 3 2091𝑢 − 2295𝑤 = 102 ⎩ 𝑧≡ 4 11 5. (400 punktów) a) Wyjaśnij na czym polega zasada indukcji matematycznej. Wskaż błąd w następującym rozumowaniu: „Teza: wszystkie ptaki mają ten sam kolor upierzenia. Dowód tego prowadzimy przez indukcję ze względu na liczbę ptaków w badanym zbiorze. Sprawdzenie indukcyjne: jeśli w zbiorze jest tylko jeden ptak to dla tego zbioru twierdzenie jest oczywiście prawdziwe (każdy ptak ma ten sam kolor upierzenia co on sam). Założenie indukcyjne: dla każdego zbioru, w którym jest 𝑛 ptaków twierdzenie jest prawdziwe. Niech będzie dany dowolny zbiór złożony z 𝑛 + 1 ptaków. Ustawiamy te ptaki w szeregu i numerujemy od 1 do 𝑛 + 1. Ptaki o numerach od 1 do 𝑛 tworzą zbiór 𝑛-elementowy, więc wszystkie mają to samo upierzenie (założenie indukcyjne). Ptaki o numerach od 2 do 𝑛+1 tworzą zbiór 𝑛-elementowy, więc wszystkie mają to samo upierzenie (założenie indukcyjne). Zatem wszystkie ptaki ze zbioru 𝑛 + 1-elementowego mają ten sam kolor, co ptak numer 2 (bo jest on w obu zbiorach). Zatem twierdzenie jest prawdziwe dla każdego zbioru złożonego z 𝑛 + 1 ptaków. Na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie, że wszystkie ptaki mają ten sam kolor upierzenia jest prawdziwe”. b) Podaj twierdzenia umożliwiające znalezienie wartości funkcji Eulera dla dowolnej liczby, dla której znamy rozkład na czynniki pierwsze i wykorzystaj je do znalezienia 𝜑(1925).