Wykład 2 - Instytut Teleinformatyki

Akwizycja i przetwarzanie
sygnałów cyfrowych
Tadeusz Chmaj
Instytut Teleinformatyki
ITI PK Kraków
21 luty 2011
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Reprezentacje sygnału
Jak reprezentujemy sygnał:
wybieramy sygnały wzorcowe (baze)
˛
rozwijamy sygnał w wybranej bazie (sygnał – kombinacja
liniowa wektorów wzorcowych
reprezentacja sygnału (w danej bazie) - podanie
współczynników rozkładu (w tej bazie)
wybór wzorców niejednoznaczny – prowadzi do różnej
jakości reprezentacji
co to znaczy dobra jakość reprezentacji?
taka, w której kilka współczynników wystarcza
w której energia skupiona jest w kilku tylko składowych
można zapisać tylko te znaczace
˛ skladowe, reszte˛
zaniedbać – łatwość kompresji
Przykład - sygnał - wektor w R 2 ; naturalna baza to wektory
e0 , e1 :
1
0
a
~
e0 =
, e1 =
, A=
= ae0 + be1
0
1
b
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Reprezentacje sygnału - c.d.
Gdy sygnał wolno zmienny (skorelowany) - czyli a ≃ b (n.p.
a = 52, b = 50 - obie składowe równie ważne, podobny
wkład do energii
gdy inny wybór bazy:
1 1
1
1
f0 = √
, f1 = √
,
2 1
2 −1
~
A=
52
102
2
= √ f1 + √ f1
50
2
2
energia - tu nie zależy od wyboru bazy, sposób jej
koncentracji - tak
podobnie - dla obrazów dwuwymiarowych. Przykład obrazy 2x2:
wybór bazy: gdy vi - baza sygnału jednowymiarowego w
R 2 , to aˆij = vi vjT - baza w przestrzeni obrazów 2x2
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Reprezentacje sygnału - 2-D
wektory e~0 , e~1 generuja˛ baz˛e obrazów aˆij :
1 0
0
aˆ01 = e0 e1T =
0 0
0
0 0
0
T
T
aˆ10 = e1 e0 =
aˆ11 = e1 e1 =
1 0
0
aˆ00 = e0 e0T =
1
0
0
1
gdy weźmiemy wektory f~0 , f~1 - dostaniemy zupełnie inne
T
macierze bazowe: bˆij = ~fi ~fj w przestrzeni obrazów:
bˆ00 =
bˆ10 =
1/2 1/2
1/2 1/2
1/2
1/2
−1/2 −1/2
Tadeusz Chmaj
bˆ01 =
bˆ11 =
Wykład II
1/2 −1/2
1/2 −1/2
1/2 −1/2
−1/2 1/2
Reprezentacje sygnału - 2-D
wnioski – reprezentacja wolno zmienego obrazu znacznie
prostsza w bazie b̂ niż â; na przykład gdy dane to 52 53 52
51 to reprezentacje maja˛ postać:
baza â: [52 53 52 51],
baza b̂: [104 0 1 − 1]
w drugim przypadku - koncentracja energi znakomita;
możliwość kompresji danych
zastosowanie liniowej transformacji – podstawowy element
kodowania transformacyjnego (np. JPEG)
jak można uzyskać nowa˛ reprezentacje˛ sygnału x na
podstawie starej y ?
zawsze -jako wynik rozwiazania
˛
problem liniowego:
Ax = y ,
czyli :
x = A−1 y
gdzie A - macierz zmiany bazy
gdy bazy ortonormalne i mamy określony iloczyn skalarny gwarancja zachowania energii i ułatwienie w odczytaniu
składowych
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Reprezentacje sygnału - baza DCT
Realny przykład - baza DCT przestrzeń 8-mio wymiarowa
(x0 , ..., x7 )
losowo wybrany obszar 8 x 8 – zapis w bazie standardowej
105 110 103 116 108 110 109 107
113 108 106 109 108 107 112 109
112 116 106 108 106 107 110 109
109 102 104 109 110 106 105 115
110 101 105 109 107 108 110 109
107 106 102 112 108 107 108 108
105 113 106 105 109 108 108 117
107 106 105 107 109 106 113 111
współrz˛edne w bazie DCT
753 −209 167 −58
−200
60
−46 18
166
−46
38 −13
−59
14
−19
6
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Reprezentacje sygnału - baza DCT
64
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Reprezentacje sygnału - baza DCT
10
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Reprezentacje sygnału - baza DCT
6
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Przestrzenie sygnałów
Potrzeba określenia własności matematycznych sygnałów
Czego nam potrzeba ?
możliwosć pomiaru sygnału, określenia jego długości,
odległości od innego, pomiar kata
˛ pomiedzy
˛
sygnałami –
własności metryczne
możliwość manipulowania sygnałami: mnożenie sygnału
przez liczbe,
˛ dodawania sygnałów, określenia sygnałów
bazowych – własności algebraiczne
zupełność zbioru sygnałów (czy ciagi
˛ Couchy’ego
elementów zbioru sygnałów maja˛ granice w tym zbiorze)
Minimum własności metrycznych – wyposażenie zbioru
sygnałów w metryk˛e czyli funkcjonał, który każdej parze
sygnałów x, y przypisze nieujemna˛ liczbe˛ rzeczywista˛
̺(x, y) ≥ 0 o własnościach:
̺(x , y ) = 0 ⇔ x = y (identyczność nierozróżnialnych)
̺(x , y ) = ̺(y , x ) symetria
̺(x , z) ≤ ̺(x , y ) + ̺(y , z) nierówność trójkata
˛
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Własności algebraiczne
Przestrzeń sygnałów jest przestrzenia˛ liniowa˛ (wektorowa)
˛
gdy określimy dla niej dwie operacje: dodawanie sygnałów
(opreacja "+") oraz mnożenia przez liczbe˛ (operacja "*") o
własnościach:
przemienność dodawania: x + y = y + x
łaczność
˛
dodawania: ((x + y ) + z) = (x + (y + z))
łaczność
˛
mnożenia: (α(βx )) = ((αβ)x )
rozdzielność mnożenia wzgledem
˛
dodawania:
(α(x + y )) = (αx + αy ) oraz (α + β)x = (αx + βx )
Przykłady przestrzeni liniowych sygnałów:
Zbiór sygnałów o ograniczonej energii, z dołaczonym
˛
sygnałem zerowym. Jest to tzw. przestrzeń sygnałów
(funkcji) całkowalnych z kwadratem i oznaczana L2
Zbiór sygnałów okresowych o okresie T i ograniczonej
energii z dołaczonym
˛
sygnałem zerowym – oznaczenie: L2T
zbiór sygnałów dyskretnych o ograniczonej energii z
dołaczonym
˛
sygnałem zerowym. Jest to przestrzeń ciagów
˛
sumowalnych z kwadratem oznaczana˛ przez l 2 .
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Liniowa niezależność, baza przestrzeni
Niech XN = {xk (t) : k = 1, 2, . . . , N} – zbiór N sygnałów z
przestrzeni liniowej X . Wtedy każdy sygnał postaci:
N
P
x(t) =
αk xk (t) - liniowa kombinacja sygnałów xk (t).
k =1
Mówimy, że sygnały - elementy zbioru XN sa˛ liniowo
niezależne gdy znikanie kombinacji liniowej pociaga
˛ za
soba˛ zerowanie sie˛ wszyskich współczynników αk tej
kombinacji
Baza˛ przestrzeni X nazywamy podzbiór B wektorów tej
przestrzeni o własnościach:
wektory w B sa˛ liniowo niezależne
zbiór B generuje cała˛ przestrzeń (każdy wektor X da sie˛
zapisać jako liniowa kombinacja wektorów z B)
przedstawienie każdego wektora jako kombinacji liniowej
elementów bazy jest jednoznaczne
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Norma, iloczyn skalarny
Liniowa przestrzeń unormowana - przestrzeń liniowa
wyposażona w norme˛ – odwzorowanie które każdemu
sygnałowi x przypisuje nieujemna˛ liczbe˛ rzeczywista˛ kxk –
norme˛ tego sygnału o własnościach:
kx k = 0 ⇔ x = 0
k αx k = |α|kx k
k x + y k ≤ kx k + ky k
Możemy mieć metryk˛e wyznaczona˛ (indukowana)
˛ przez
morme:
˛ ̺(x, y) = kx − yk
Iloczyn skalarny - odwozorowanie przypisujace
˛
uporzadkowanej
˛
parze sygnałów {x, y} liczbe˛ < x, y > tak,
że spełnione sa˛ warunki:
< x , y >=< y , x >∗
< αx + βy , z >= α < x , z > +β < y , z >
x 6= 0 ⇒< x , x >> 0
x = 0 ⇒< x , x >= 0
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Przestrzeń Hilberta sygnałów
Przestrzeń unitarna - przestrzeń liniowa z iloczynem
skalarnym, unormowanana przez norme˛ zadana˛ przez
√
iloczyn skalarny: kxk = < x, x >
Kat
˛ pomiedzy
˛
wektorami x i y:
cos(ϕxy ) =
cos(ϕxy ) =
Re<x,y >
kxkky k dla przestrzeni rzeczywistych
<x,y >
kxkky k dla przestrzeni zespolonych
Przestrzeń Hilberta sygnałów - przestrzeń unitarna,
zupełna metrycznie w sensie metryki określonej przez
iloczyn skalarny
Przykłady przestrzeni Hilberta sygnałów: L2 , L2T , l 2 i
iloczynami skalarnymi:
< x , y >L2 =
< x, y
R∞
x (t)y ∗ (t)dt
−∞
RT
>L2 = T1
T
0
∞
P
< x , y >l 2 =
x (t)y ∗ (t)dt
x (n)y ∗ (n)
−∞
Tadeusz Chmaj
Wykład II
Bazy w przestrzeniach Hilberta sygnałów
Niech XN = {xk (t) : k = 1, 2, . . . , N} - baza N-wymiarowej
przestrzeni Hilberta sygnałów X (dopuszczamy N
nieskończone). Taka˛ baz˛e nazywamy:
ortogonalna,
˛ gdy każde dwa różne elementy z XN sa˛
ortogonalne (prostopadłe) oraz gdy w X nie istnieje
niezerowy sygnał prostopadły do wszystkich xk (t) z XN
ortonormalna,
˛ gdy jest ortogonalna i normy wszystkich
wektorów bazowych sa˛ równe 1
Nie w każdej przestrzeni Hilberta istnieje baza
ortogonalna. Przestrzeń, która na to pozwala nazywamy
ośrodkowa˛ (przeliczalnie gest
˛ a)
˛
Majac
˛ zbiór liniowo niezależnych wektorów - baz˛e w
ośrodkowej przestrzeni Hilberta możemy uzyskać baz˛e
ortonormalna˛ przy pomocy iteracyjnej procedury
Gramma-Schmidta
Tadeusz Chmaj
Wykład II