plik PDF

Marcin Braun
Po kryptarytmach
O kryptarytmach, czyli łamigłówkach,
w których cyfry zastąpiono literami,
i ich zastosowaniu na zajęciach kółka
pisano już w „Matematyce w Szkole”
sporo1 . Zarówno tym z Państwa,
którym kryptarytmy się spodobały, jak
i tym, dla których są zbyt mało matematyczne, chciałbym zaproponować
zadanie2 dość trudne i tym razem
„całkiem matematyczne”. Dobrze je
rozwiązywać zaraz po kryptarytmach,
bo sposób rozumowania jest podobny.
Za jego pomocą pokażemy uczniom
drogę od łamigłówek do matematyki.
Pierwszy warunek jest oczywiście zawsze spełniony. Nietrudno też zauważyć, że zawsze spełniony jest
także warunek ostatni, gdyż suma cyfr
1 + 2 + ... + 9 = 45 nie zależy od ich
kolejności i dzieli się przez 9.
Ale jak ustawić cyfry, aby spełnione
były wszystkie pozostałe warunki?
Naturalnie sprawdzenie wszystkich
9! = 362 880 ustawień nie wchodzi
w grę. (Jeśli na kółku mówiliśmy już
o kombinatoryce, możemy przy okazji
znaleźć tę liczbę).
Prościej
Zajęcia warto zacząć od podania
„pełnego” zadania. Jeśli przeraża ono
uczniów złożonością albo gdy nie
potrafią się za nie zabrać, spróbujmy
ograniczyć się do mniejszej liczby cyfr.
Teraz uczniowie powinni sobie radzić
samodzielnie.
Choć zadanie to wymaga tylko znajomości cech podzielności, więc teoretycznie nadawałoby się dla szkoły
podstawowej, pod względem stopnia
trudności pasuje do gimnazjum, a nawet szkoły średniej. Oto ono.
Czy można ustawić cyfry od 1 do 9
w takiej kolejności, aby:
• liczba utworzona z pierwszej cyfry
dzieliła się przez 1,
• liczba utworzona z pierwszych dwóch
cyfr dzieliła się przez 2,
• liczba utworzona z pierwszych trzech
cyfr dzieliła się przez 3,
• ...,
• liczba utworzona ze wszystkich dziewięciu cyfr dzieliła się przez 9?
• Dwie cyfry, 1 i 2, można ustawić
zgodnie z warunkami zadania w jeden sposób: 12.
• Trzy cyfry to nadal banalny przykład: środkową cyfrą musi być 2,
a pozostałe można ustawić dowolnie. Mamy dwa rozwiązania: 123
i 321.
• Gdy cyfry są cztery, uczniowie
muszą sobie przypomnieć cechę
podzielności przez 4. Nasza liczba
musi się kończyć na 12, 24 lub 32.
Widzimy, że 24 odpada, bo wtedy
drugą cyfrą byłoby 1 lub 3. W takim
razie ostatnią cyfrą jest 2. Pierwsze
trzy cyfry to 1, 3 oraz 4, a ich
suma wynosi 8, czyli niezależnie od
KÓŁKO
CYAN BLACK
MS26 str. 23
23
ustawienia otrzymamy liczbę niepodzielną przez 3. W tym wypadku
zadanie nie ma rozwiązania.
• Gdy dochodzi cyfra 5, musi ona stać
na ostatnim miejscu, a pozostałych
czterech – jak pamiętamy – nie da
się odpowiednio ustawić.
Sześć cyfr – to już coś
Sześć cyfr to po raz pierwszy złożone
zadanie. Sprawdzamy najpierw sumę
wszystkich sześciu: 1 + 2 + ... + 6 = 21.
Dzieli się przez 3. To dobrze, bo inaczej cała liczba nie byłaby podzielna
przez 3, a więc i przez 6. Zauważmy
przy tym, że suma pierwszych trzech
cyfr jest podzielna przez 3, więc i suma
kolejnych trzech cyfr jest podzielna
przez 3.
Wszystkie informacje możemy przedstawić graficznie. Narysujmy kratki,
w które będziemy wpisywać cyfry
i oznaczmy te cyfry literami, aby
łatwiej było o nich mówić.
Symbole „p” i „n” oznaczają cyfry
parzyste i nieparzyste.
Rozważmy liczbę złożoną z cyfr c i d
(oznaczać ją będziemy cd). Jest ona
24
podzielna przez 4. Może więc być
równa 12, 16, 32, 36, gdyż cyfra c
musi być nieparzysta i różna od 5.
Gdy d = 2, nie można znaleźć takiej
parzystej cyfry f , aby d + 5 + e było
podzielne przez 3. Wobec tego d = 6.
W takim razie f = 4 (nie może być 1,
bo jest parzyste).
Wszystkie cyfry parzyste poza 2 mamy
zajęte, więc b = 2.
Dostajemy więc dwa rozwiązania:
123 654 i 321 654. Proszę popatrzeć,
jakie to ładne liczby!
Siedem cyfr
Uczniowie pewnie zapytają o cechę
podzielności przez 7. Niestety, cecha
ta niby jest, ale zupełnie bezużyteczna,
bo zbyt skomplikowana. Będziemy
więc po prostu dzielić na kalkulatorze.
Rozwiązanie wygląda podobnie jak
dla sześciu cyfr, ale mamy dodatkowe możliwości dla cd: 72 i 76.
Po rozważeniu wszystkich przypadków
dostajemy dwie liczby, które spełniają
warunki dla pierwszych dwóch, trzech,
..., sześciu cyfr: 1 236 547 i 3 216 547.
Trzeba tylko sprawdzić, czy są podzielne przez 7. Nie są. Zadanie nie
ma rozwiązania.
Osiem cyfr
W wypadku ośmiu cyfr zwracamy
uwagę na cechę podzielności przez 8.
Liczba jest podzielna przez 8, gdy
jej ostatnie trzy cyfry tworzą liczbę
podzielną przez 8. Ponieważ jednak
w naszym wypadku pierwsza z tych
trzech cyfr (czyli f na diagramie
na następnej stronie) jest parzysta,
a parzysta liczba setek jest podzielna
przez 8, wystarczy sprawdzić dwie
ostatnie cyfry.
KÓŁKO
CYAN BLACK
MS26 str. 24
Nie będę Państwa zanudzał kolejnymi
przypadkami, bo i tak ciekawiej rozwiązać zadanie samodzielnie. Okazuje
się wreszcie, że jest tylko jedno
rozwiązanie: 381 654 729.
Liczba gh jest podzielna przez 8, ma
pierwszą cyfrę nieparzystą i różną
od 5, a drugą różną od zera i od
pierwszej cyfry. Są tylko trzy liczby
spełniające ten warunek: 16, 32, 64.
Dla każdej z nich możemy sprawdzić,
czy z pozostałych cyfr da się zbudować
podzielną przez 4 liczbę cd. Kolejne
warunki pozwalają nam eliminować
część możliwości, aż w końcu dostajemy trzy rozwiązania: 34 725 816,
78 165 432, 38 165 472.
W ten sposób gładko doszliśmy do
właściwego zadania. Wykorzystamy
wszystkie zebrane informacje i doświadczenie we wnioskowaniu i rozważaniu przypadków.
Co dalej?
Uff! Doszliśmy w pewnym sensie
do końca. W pewnym sensie, bo
w matematyce zawsze można iść dalej.
Mam dla Państwa kolejne pytanie: jak
jest w układach niedziesiątkowych?
To już zadanie dla zdolnych licealistów, jeśli jednak zainteresowało
Państwa (albo mają Państwo tak wybitnych uczniów), zapraszam do przeczytania drugiej części tego artykułu
w „Matematyce w Szkole” dla szkół
średnich za dwa miesiące (wówczas
pojawi się ono także na stronie
internetowej www.gwo.pl/gazeta2).
Dziewięć cyfr
Przypominamy sobie cząstkowe obserwacje. Na piątym miejscu stoi cyfra 5,
na parzystych miejscach parzyste cyfry,
liczba cd jest podzielna przez 4, a gh
przez 8. Kolejne trójki cyfr tworzą
liczby podzielne przez 3.
Możemy przedstawić te informacje
graficznie:
Pytanie jest bardzo trudne dlatego, że
wymaga wymyślania cech podzielności
w układach niedziesiątkowych. Pytanie na rozgrzewkę:
Jakie są cechy podzielności przez 2
i 3 w układzie szóstkowym, a jakie
w siódemkowym?
1
Rozważmy przypadki dla gh. Jest
to liczba podzielna przez 8, której
pierwsza cyfra jest nieparzysta i różna
od 5. Takie liczby są cztery: 16, 32,
72, 96.
A. Ciesielska, Gra w kryptarytmy, „Matematyka w Szkole” nr sygnalny, ss. 10–11;
A. Ciesielska, A może kryptarytmy?,
„MwS” nr 1, ss. 17–19; A. Kmiecik,
Kryptarytmy – pomysł na lekcję, „MwS”
nr 18, ss. 14–15.
2 Autora, niestety, nie znam – zadanie
należy do folkloru matematycznego.
KÓŁKO
CYAN BLACK
MS26 str. 25
25