MATEMATYKA DLA I ROKU BIOCHEMII I BIOTECHNOLOGII Spis
Transkrypt
MATEMATYKA DLA I ROKU BIOCHEMII I BIOTECHNOLOGII Spis
MATEMATYKA DLA I ROKU BIOCHEMII I BIOTECHNOLOGII PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Spis treści Literatura 1. Pojęcia wstępne 1.1. Kwantyfikatory 1.2. Zbiory. Działania na zbiorach 2. Elementy algebry liniowej 2.1. Macierze. Działania na macierzach 2.2. Wyznaczniki. Macierze odwrotne 1 2 2 2 3 3 4 Literatura [1] [2] [3] [4] [5] W. Krysicki, L. Włodarski Analiza Matematyczna w zadaniach, PWN, Warszawa, 1996. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa, 1978. G. M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa, 1995. P. Kajetanowicz, J. Wierzejewski Algebra z geometrią analityczną, PWN, Warszawa, 2008. R. Leitner Zarys matematyki wyższej dla studentów, WNT, Warszawa 1997. Date: 8 października 2014. 1 1. Pojęcia wstępne 1.1. Kwantyfikatory. Zwrot „dla każdego x” nazywamy kwantyfiakatorem dużym i oznaczamy ∀x (łac. affirmo=potwierdzać). Zwrot „istnieje takie x, że” nazywamy kwantyfiakatorem małym i oznaczamy ∃x (łac. existo=istnieć). 1.2. Zbiory. Działania na zbiorach. Zbiory oznaczamy najczęściej dużymi literami, np. A, B, C, zaś elementy zbioru — małymi literami. Jeśli a jest elementem zbioru A, piszemy a ∈ A. Jeśli a nie jest elementem zbioru A, piszemy a∈ / A. Zbiór nie posiadający żadnego elementu nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy ∅. Mówimy, że zbiór A jest podzbiorem zbioru B (lub zbiór B zawiera zbiór A), co zapisujemy A ⊂ B, jeśli każdy element zbioru A jest elementem zbioru B. Relacja zawierania ⊂ nazywana jest też inkluzją. Jeśli A ⊂ B i A 6= B, to piszemy A ( B. Definicja 1.2.1. Dla dowolnych zbiorów A, B definiujemy ich sumę mnogościową A ∪ B := {x : x ∈ A lub x ∈ B}, iloczyn mnogościowy lub część wspólną A ∩ B := {x : x ∈ A i x ∈ B} oraz różnicę mnogościową A \ B := {x : x ∈ A i x ∈ / B}. Będziemy stosować następujące oznaczenia • N := {1, 2, . . . } — zbiór liczb naturalnych; • Z := {−2, −1, 0, 1, 2, . . . } — zbiór liczb całkowitych; • Q := { pq : p, q ∈ Z, q 6= 0} — zbiór liczb wymiernych; • R — zbiór liczb rzeczywistych. Formalna definicja wykracza poza materiał tego kursu. Pierwsze aksjomatyczne definicje R pojawiły się w XIX wieku (Méray1 (1869), Cantor2 (1871), Dedekind3 (1872)). Dla dowolnego zbioru A ⊂ R niech A+ := {x ∈ A : x > 0}. Uwaga 1.2.2. Pomiędzy powyższymi zbiorami zachodzą naturalne inkluzje N ( Z ( Q ( R. Ponadto, np. Z+ = {0, 1, 2, . . . }. Definicja 1.2.3. Dla dowolnych a, b ∈ R, a < b, definujemy przedziały • domknięty [a, b] := {x ∈ R : a 6 x 6 b}, • otwarty (a, b) := {x ∈ R : a < x < b}, • jednostronnie otwarte (a, b] := {x ∈ R : a < x 6 b}, [a, b) := {x ∈ R : a 6 x < b}, • nieograniczone (a, ∞) := {x ∈ R : a < x}, (−∞, b) := {x ∈ R : x < b} i (−∞, ∞) := R. Przykład 1.2.4. Niech A = (0, 2], B = [−1, 2). Wtedy A ∪ B = [−1, 2], A ∩ B = (0, 2), A \ B = {2} i B \ A = [−1, 0]. Zadanie 1.2.5. Wyznaczyć A ∪ B, A ∩ B, A \ B i B \ A, jeśli (1) A = R, B = R, (2) A = Q, B = ∅, (3) A = Z, B = [0, 1], (4) A = (−1, 1), B = {−1, 1}, 1Hugues Charles Robert Méray (ur. 12 listopada 1835 w Chalon-sur-Saône, Saône-et-Loire, zm. 2 lutego 1911 w Dijon) — matematyk francuski. 2Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (ur. 3 marca 1845 w Sankt Petersburgu, zm. 6 stycznia 1918 w sanatorium w Halle) — matematyk niemiecki. 3Julius Wilhelm Richard Dedekind (ur. 6 października 1831 w Brunszwiku, zm. 12 lutego 1916) — matematyk niemiecki. 2 (5) A = {0}, B = (0, ∞). (6) A = [1, 4), B = (2, 6]. 2. Elementy algebry liniowej 2.1. Macierze. Działania na macierzach. Jednym z podstawowych pojęć algebry są macierze. Definicja 2.1.1. Macierzą wymiaru m × n nazywamy prostokątną tablicę liczb aj,k ∈ R ułożonych w m wierszy i n kolumn. a1,1 a1,2 . . . a1,n a2,1 a2,2 . . . a2,n . A = [aj,k ] = [aj,k ]j=1,...,m = ... ... ... ... k=1,...,n am,1 am,2 . . . am,n Zbiór macierzy wymiaru m × n oznaczamy przez Rm×n . Liczba aj,k jest elementem macierzy A stojącym w wierszu j i kolumnie k. Jeśli m = 1 (odp. n = 1) to macierz A nazywamy wierszową (odp. kolumnową). Jeśli m = n, to macierz nazywamy kwadratową, a n jej stopniem. Macierz złożoną z samych zer oznaczamy przez 0 i nazywamy macierzą zerową. Macierz kwadratową złożoną z jedynek na głównej przekątnej i samych zer poza nią 1 0 ... 0 0 0 1 . . . 0 0 In := ... ... . . . ... ... ∈ Rn×n 0 0 . . . 1 0 0 0 ... 0 1 nazywamy macierzą jednostkową stopnia n. Definicja 2.1.2. Jeśli t ∈ R, A = [aj,k ] ∈ Rm×n , to określamy iloczyn tA liczby t przez macierz A wzorem tA := [taj,k ] ∈ Rm×n . −2 4 2 −1 Przykład 2.1.3. −2 13 −2 = −6 12 −4 . −6 2 Definicja 2.1.4. Jeśli A = [aj,k ], B = [bj,k ] ∈ Rm×n , to określamy sumę A + B macierzy A i B wzorem A + B := [aj,k + bj,k ] ∈ Rm×n , zaś różnicę A − B macierzy A i B wzorem A − B := A + (−1)B. Przykład 2.1.5. (1) Jeśli A, 0 ∈ Rm×n , to A + 0 = 0 + A = A (macierz zerowa jest elementem neutralnym dodawania h 1 −2 i h 1 −3 i macierzy). h1 0 i (2) 3 0 0 − 2 −4 2 = 8 −4 . 2 −1 0 1 6 −5 Zadanie 2.1.6. Obliczyć h 1 −2 1 i h 6 1 −3 i (1) −2 0 0 2 + 4 0 −4 2 , 2 −1 4 0 1 1 −2 6 12 −3 1 (2) − 2 −1 4 − 2 0 −4 2 . Definicja 2.1.7. Jeśli A = [aj,k ] ∈ Rm×l , B = [bj,k ] ∈ Rl×n , to określamy iloczyn AB macierzy A i B wzorem AB = [cj,k ] ∈ Rm×n , gdzie l X cj,k := aj,i bi,k . i=1 m×n Przykład 2.1.8. (1) Jeśli A ∈ R neutralnym mnożenia macierzy). h 1 −2 i h −3 −3 −6 i 1 −3 −4 (2) 0 0 = 0 0 0 . 2 0 1 2 −1 , to AIn = Im A = A (macierz jednostkowa jest elementem 6 −6 −9 Zadanie 2.1.9. h 1 −2 1 i(1) h 6 Obliczyć i 1 −3 (a) 0 0 2 0 −4 2 , 2 −1 4 1 −2 1 2 06 11 −3 h 1 i 2 , (b) 2 −1 4 − 0 −4 2 4 3 1 2 3 4 [ 1 2 3 4 ], 5 (d) − [ 1 2 3 4 ] 67 . (c) 8 (2) Znaleźć dwie macierze A, B ∈ R2×2 takie, że AB 6= BA. (3) Znaleźć niezerowe macierze A, B ∈ R2×2 takie, że AB = 0. Definicja 2.1.10. Jeśli A ∈ Rm×n , to określamy macierz transponowaną AT macierzy A wzorem AT := [bj,k ] ∈ Rn×m , gdzie bj,k := ak,j . Uwaga 2.1.11. Zauważmy, że operacja transponowania polega na zamianie wierszy na kolumny, zaś kolumn na wiersze, przy czym kolejność wierszy i kolumn jest zachowana. h 1 −2 iT 1 0 2 Przykład 2.1.12. 0 0 = −2 0 −1 . 2 −1 Zadanie 2.1.13. (1) Obliczyć h i h 6 1 −3 iT 1 −2 1 T 0 0 2 (a) −2 + 4 0 −4 2 , 2 −1 4 2 0 1 1 −3 T 1 −2 + 2 04 . (b) − −1 4 2 (2) Wyznaczyć wszystkie macierze A ∈ R2×2 takie, że A = AT . (3) Wyznaczyć wszystkie macierze A ∈ R2×2 takie, że A = −AT . 2.2. Wyznaczniki. Macierze odwrotne. Każdej macierzy kwadratowej A przyporządkowujemy liczbę zwaną wyznacznikiem, oznaczaną det A lub |A|. Poniżej przedstawimy indukcyjną definicję tego pojęcia. Definicja 2.2.1. Minorem macierzy A ∈ Rm×n nazywamy każdą macierz kwadratową powstałą z macierzy A przez skreślenie pewnej liczby wierszy i kolumn. Definicja 2.2.2. Niech A = [aj,k ] ∈ Rn×n . Minorem odpowiadającym elementowi aj,k macierzy A nazywamy minor macierzy A powstały przez skreślenie wiersza j i kolumny k. Oznaczamy go symbolem Mj,k . Zauważmy, że Mj,k ∈ Rn−1×n−1 . Definicja 2.2.3 (Indukcyjna definicja wyznacznika). Niech A = [aj,k ] ∈ Rn×n . Jeśli A = [a] ∈ R1×1 , to przyjmujemy det A := a. Następnie, począwszy od n = 2, dla kolejnych liczb naturalnych powtarzamy następujące kroki (1) definiujemy dopełnienie algebraiczne dj,k elementu aj,k jako dj,k := (−1)j+k det Mj,k ; (2) dowodzimy, że suma aj,1 dj,1 + aj,2 dj,2 + · · · + aj,n dj,n nie zależy od wyboru j = 1, . . . , n; (3) definiujemy wyznacznik macierzy A jako det A := aj,1 dj,1 + aj,2 dj,2 + · · · + aj,n dj,n , gdzie j ∈ N jest dowolną liczbą, 1 6 j 6 n. Uwaga 2.2.4. W praktyce, dla n = 2 powyższa definicja sprowadza się do następującego wzoru a b c d = ad − bc, a dla n = 3, dzięki regule Sarrusa 4, a1 b1 c1 a2 b2 c2 = a1 b2 c3 + a2 b3 c1 + a3 b1 c2 − a3 b2 c1 − a1 b3 c2 − a2 b1 c3 . a3 b3 c3 −1 0 3 = 5, 2 −4 −2 = 32. Przykład 2.2.5. 13 −1 2 3 1 −2 sin x cos 1 2 1 0 0 1 Zadanie 2.2.6. Obliczyć | 05 20 |, cos x − sin x , 3 2 0 i 0 2 0 . 300 101 4Pierre Frédéric Sarrus (ur. 10 marca 1798 w Saint-Affrique, zm. 20 XI 1861) — matematyk francuski. 4