elalg1
Transkrypt
elalg1
Elementy algebry. Macierze i wyznaczniki. Def.1 Macierzą A wymiaru m x n, gdzie m, nN, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z m ∙ n liczb rzeczywistych ustawionych w m wierszach i n kolumnach: a11 a12 a a22 21 A am1 am 2 ... a1n ... a2 n ... . ... amn Macierze oznaczamy dużymi literami z początku alfabetu. Inne oznaczenia , . Element stojący w i- tym wierszu oraz w j-tej kolumnie oznaczamy Przykład: 1 1 5 A 0 9 5, 11 3 0,5 1 a b 2 , B 33 c 2 4 6 8 2 C 1 3 5 7 Def.2 Macierzą kwadratową nazywamy macierz, gdzie m = n. . Wartość n nazywany stopniem macierzy kwadratowej. Def.3 Macierz jednostkowa to macierz kwadratowa zawierająca na głównej przekątnej 1, pozostałe elementy to 0. 1 0 ... 0 0 1 ... 0 In ... 0 0 ... 1 Def.4. Dodawanie macierzy A i B o jednakowych(!) wymiarach m x n określamy następująco: , gdzie i=1,…,m; j=1,…,n. Odejmowanie macierzy A i B o jednakowych(!) wymiarach m x n określamy następująco: , gdzie i=1,…,m; j=1,…,n. Przykład: 1 3 5 7 9 A , 1 3 5 7 8 1 0 5 0 9 B , 1 3 5 7 8 2 3 10 7 18 A B 2 6 0 14 16 0 3 0 7 0 A B 0 0 10 0 0 Def.5. Mnożenie macierzy przez liczbę określamy następująco: , gdzie i=1,…,m; j=1,…,n. Fakt1. Niech A, B, C będą dowolnymi macierzami o jednakowych wymiarach (!), a k, l dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wówczas: 1. 2. 3. 4. 5. 6. A + B =B + A k ∙(A + B)= k ∙ A + k ∙ B 1∙A=A A + (B + C)= (A +B) +C (k +l)∙ A= k ∙ A +l ∙ A (k ∙ l) ∙ A= k ∙(l ∙ A) Przykład: 1 2 0 A , 0 3 1 1 0,5 1 B 2 0 1 5( A 2 B ) 4(2 A B) 5 A 10B 8 A 4 B 13A 6 B 13 26 0 6 3 6 0 39 13 6 12 0 7 29 6 6 51 13 Def.6. Niech A= B= ma wymiar m x n, a macierz ma wymiar n x k. Iloczynem macierzy A ∙ B nazywamy macierz C= elementach otrzymanych według wzoru: wymiaru m x k o cij ai1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j ... ainbnj , gdzie i=1,…,m; j=1,…,k. Przykład: 1 2 A , 3 4 5 6 7 B 8 9 0 1 5 2 8 1 6 2 9 1 7 2 0 21 24 7 C 47 54 21 3 5 4 8 3 6 4 9 3 7 4 0 Fakt.2 Niech A, B, C będą macierzami o rozmiarach pozwalających na działanie. Wówczas: 1. A ∙(B +C)=A ∙ B +A ∙ C 2. ( A +B)∙ C = A ∙ C + B ∙ C 3. A ∙(k ∙ B)=(k ∙ A)∙ B= k ∙( A ∙ B) 4. (A ∙ B)∙ C= A ∙(B ∙ C) 5. A ∙ In =A, In ∙ A= A Przykład: 1 2 A , 3 4 5 6 B 7 8 19 22 A B , 43 50 23 34 B A 31 46 A B B A Def.7. Niech A= będzie macierzą m x n. Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz B= AT . o wymiarach n x m, gdzie , oznaczamy ją Przykład: 1 3 5 7 9 A , 2 4 6 8 0 1 3 T A 5 7 9 2 4 6 8 0