WYKŁAD 1 8.10 Źródła błędów

WYKŁAD 1
8.10
Metody numeryczne zajmują się badaniem sposobów umożliwiających rozwiązywanie zadao
matematycznych za pomocą działao arytmetycznych.
Czasami prowadzi to do ulepszania algorytmów rozwiązywania zadao, które mają już postad
wyrażoną operacjami arytmetycznymi bądź do konieczności konstruowania nowych algorytmów.
Przykład:
,
,
Uwaga
Dlaczego zajmowad się numerycznym rozwiązywaniem układu n liniowych równao algebraicznych o n
niewiadomych, skoro znane są wzory Cramera (na I roku)? Jednakże zastosowanie wzorów Cramera i
obliczanie wyznacznika wprost z definicji
wymaga
dla
mnożeo
Metody numeryczne zajmują się wyborem takiej procedury która jest „najlepiej dostosowana” do
danego zadania. Problemy którymi zajmują się metody numeryczne to w szczególności:
- interpolacja i aproksymacja
- różniczkowanie i całkowanie
(w przyszłym roku)
- rozwiązywanie równao nieliniowych
- rozwiązywanie układów liniowych równao algebraicznych
- rozwiązywanie zagadnieo własnych
- rozwiązywanie równao różniczkowych zwyczajnych
- rozwiązywanie równao różniczkowych cząstkowych
Źródła błędów:
Błędy, którymi obarczone są numeryczne rozwiązania zagadnieo powstają na 2 następujących
etapach:
a) Matematyczne formułowanie zagadnienia (obciąd, zaokrąglid)
b) Podczas wykonywania obliczeo (skrócenia, zaokrąglenia)
Def
Zadanie numeryczne jest funkcjonalnym powiązaniem między danymi wejściowymi a danymi
wyjściowymi
Def
Algorytm dla danego zadania numerycznego jest z definicji pełnym opisem poprawnie określonych
operacji przekształcających wektor danych wejściowych na wektor wyników. Przez operacje
rozumiemy tu działania wykonywane przez komputer
Def
Metoda numeryczna oznacza użyteczną procedurę służącą albo do aproksymacji zadania
matematycznego za pomocą (zadania)? numerycznego, albo do rozwiązania zadania numerycznego.
Metoda numeryczna ma znaczenie szersze niż algorytm (nie kładziemy w niej nacisku na zupełnośd
szczegółów obliczeniowych)
Przykład:
Metoda Newtona rozwiązywania
ma postad
…
Pojęcie błędu
Błąd bezwzględny i względny:
- wartośd dokładna
– wartośd przybliżona
Def
Błąd bezwzględny określa równośd
Ponieważ najczęściej liczba dokładna nie jest znana to zamiast nieznacznego błędu bezwzględnego
wprowadza się oszacowanie
Def
Błąd względny określa równośd
W praktyce wartośd dokładna w mianowniku zastępuje się wartością przybliżoną
Przykład:
Przybliżamy
Błąd bezwzględny
liczbą
Zauważmy, że
W powyższych definicjach wielkości i nie muszą byd liczbami, mogą byd wektorami lub
macierzami. W takich przypadkach moduł zastępujemy normą.
Błędy działao arytmetycznych
Błąd sumy
Błąd różnicy
Jeżeli
różnią się nieznacznie, to ich różnica
jest wielkością małą.
W tym przypadku ocena błędu względnego różnicy może byd znaczna nawet wtedy, gdy błędy
względne odjemnej i odjemnika są małe. W takiej sytuacji ma miejsce utrata dokładności przy
odejmowaniu liczb o bliskich wartościach bezwzględnych.
W obliczeniach przybliżonych należy w miarę możliwości unikad odejmowania dwóch prawie
równych liczb przybliżonych.
Błąd iloczynu
Błąd ilorazu
Morał z tego taki, że dodawanie i odejmowanie jest obarczone dośd dużym błędem, natomiast
dzielenie i w szczególności mnożenie małym.
Cyfry znaczące i zaokrąglenia liczb
Cyfry istotne – wszystkie cyfry z wyjątkiem zer na początku liczby pomagających określid pozycję
kropki
Cyfry ułamkowe – wszystkie cyfry po kropce (także zera między kropką i pierwszą cyfrą od zera)
Przykłady:
5 ułamkowych
4 istotne
3 cyfry istotne
2 ułamkowe
Def
Jeżeli
to mówimy, że przybliżenie ma poprawnych cyfr ułamkowych. Cyfry
istotne występujące w aż do pozycji -tej po kropce nazywamy cyframi znaczącymi.
Cyfra znacząca nazywa się dokładną, jeśli błąd bezwzględny liczby nie przewyższa jedności pozycji
dziesiętnej odpowiadającej tej liczbie.
Przykład:
Określid liczbę cyfr poprawnych i znaczących dla danych
Odp: Przybliżenie ma 5 poprawnych cyfr ułamkowych i 3 cyfry znaczące
(tak tak, do -4)
Liczba cyfr poprawnych daje pojęcie o wielkości błędu bezwzględnego a liczba cyfr znaczących o
wielkości błędu względnego