Interpolacja Lagrange'a

Transkrypt

Uniwersytet Mikołaja Kopernika
Wydział Matematyki i Informatyki
Katedra Analizy Matematycznej
Agnieszka Rydzyńska
nr albumu: 254231
Praca Zaliczeniowa z Seminarium
Newton vs. Lagrange
- kto lepszy?
Opiekun pracy
dr Krzysztof Leśniak
Wydział Matematyki i Informatyki
Toruń 2014
Pracę przyjmuję i akceptuję
Potwierdzam złożenie pracy dyplomowej
.........................................
.........................................
data i podpis opiekuna pracy
data i podpis pracownika dziekanatu
Rozdział 1
Informacje
1.1
Wzór interpolacyjny Newtona
Zagadnienie interpolacji1 można sformułować w nastęujący sposób:
W przedziale domkniętym [a,b] danych jest n + 1 punktów x0 , x1 , x2 , . . . , xn zwanych
węzłami interpolacji 2 . Ponadto znane są wartości y0 , y1 , . . . , yn , jakie funkcja f(x) przyjmuje w tych punktach, tzn.
f (xj ) = yi .
(1.1)
Problem polega na wyznaczeniu funkcji f (x) należącej do z góry określonej klasy
funkcji i spełniającej warunki (1.1).
Geometryczną interpretacją problemu jest znalezienie takiej krzywej, z określonej rodziny krzywych, która przechodzi przez punkt (xi , yi ) dla i = 1, 2, . . . , n.
Wiele jest znanych wzorów interpolacyjnych, dających efektywną postać funkcji f (x).
Wśród nich rozróżniamy wzory dla przypadku, gdy odstępy między węzłami są równe.
Dla takiego przypadku podstawowy jest wzór Newtona, a dla pozostałych przypadków
klasyczny wzór Lagrange’a.
We wzorze interpolacyjnym Newtona odstęy między kolejnymi węzłami xk dla k =
0, . . . , n wynoszą h, czyli
xk = x0 + kh
dla
k = 0, . . . , n.
(1.2)
Oznaczamy
(x − x0 )(k) = (x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xk−1 )
(1.3)
Szukamy funkcji f (x) spełniającej warunki (1.1) w postaci
f (x) = a0 + a1 (x − x0 )(1) + a2 (x − x0 )(2) + . . . + an (x − x0 )(n) ,
(1.4)
przy czym chodzi o wyznaczenie współczynników ak dla k = 0, . . . , n.
1
metoda numeryczna polegająca na wyznaczaniu w danym przedziale tzw. funkcji interpolacyjnej,
która przyjmuje w nim z góry zadane wartości w ustalonych punktach, nazywanych węzłami
2
Węzeł funkcji(węzeł interpolacji) to argument funkcji, dla którego znana jest jej wartość. Jeżeli:
f : A → B, jest funkcją z A w B, xi jest elementem A, dla którego znana jest wartość f (xi ) : yi =
f (xi ), yi ∈ B to xi jest węzłem funkcji f .
3
4
ROZDZIAŁ 1. INFORMACJE
W tym celu wprowadza się specjalny operator różnicowania ∆k , określony następująco:
∆1 f (x) = f (x + h) − f (x), ∆k f (x) = ∆1 (∆k−1 f (x)).
(1.5)
Włąsnością tego operatora jest, iż
∆1 (x − x0 )(k) = hk(x − x0 )(k−1) .
(1.6)
Istotnie, na podstawie definicji operatora ∆1 i uwagi na (1.2) mamy
∆1 (x − x0 )(k) = (x + h − x0 )(k) − (x − x0 )(k) =
= (x + h − x0 )(x − x0 )(k−1) − (x − x0 )(k−1) [x − x0 − (k − 1)h] =
= (x − x0 )(k−1) (x + h − x0 − x + x0 + kh − h) =
= hk(x − x0 )(k−1) .
Działam teraz kolejno na funkcje f (x), określoną wzorem (1.4), operatorami ∆1 , ∆2 ,
. . ., ∆n , wykorzystując przy tym zależność (1.6). Otrzymamy
∆1 f (x) = ha1 + 2ha2 (x − x0 )(1) + 3ha3 (x − x0 )(2) + . . . +
+ hnan (x − x0 )(n−1) ,
∆2 f (x) = 2h2 a2 + 6h2 a3 (x − x0 )(1) + . . . +
+ h2 n(n − 1)an (x − x0 )(n−2) ,
(1.7)
...
∆n = f (x) = hn n!an
Jeżeli do wzorów (1.4) i (1.7) podstawimy x = x0 , to otrzymamy
f (x0 ) = a0 ,
∆ f (x0 ) = ha1 ,
∆2 f (x0 ) = 2h2 a2 ,
...
n
∆ f (x0 ) = n!hn an ,
1
skąd
ak = ∆k f (x0 )k!hk
(1.8)
przjmując ∆0 f (x0 ) = f (x0 ).
Wobec tego interpolacyjny wzór Newtona przyjmie ostateczną postać
∆1 f (x0 )
(x − x0 )(1) +
1!h
∆2 f (x0 )
+
(x − x0 )(2) +
2!h2
+ ...+
∆n f (x0 )
+
(x − x0 )(n)
n!hn
f (x) = f (x0 ) +
(1.9)
1.1. WZÓR INTERPOLACYJNY NEWTONA
5
f (x) ∆1 f (x) ∆2 f (x) ∆3 f (x) ∆4 f (x)
f (x0 ) ∆1 f (x0 ) ∆2 f (x0 ) ∆3 f (x0 ) ∆4 f (x0 )
f (x1 ) ∆1 f (x1 ) ∆2 f (x1 ) ∆3 f (x1 )
f (x2 ) ∆1 f (x2 ) ∆2 f (x2 )
f (x3 ) ∆1 f (x3 )
f (x4 )
Tabela 1.1: Tablica różnic
W celu zastosowania w praktyce wzoru interpolacyjnego ((1.9)) należy obliczyć wartości ∆1 f (x), ∆2 f (x), . . ., ∆n f (x) w odpowiednich punktach. Dla szybkiego obliczenia
tych wartości buduje się następującą tablicę trójkątną, której pierwsze wyrazy (pod kreską) każdej kolumny dają szukane wartości kolejnych różnic w punkcie x0 . Poniżej podano
taką tablicę dla n = 4.
W tablicy tej pierwsza kolumna zawiera wartości dane z góry f (x0 ), f (x1 ), . . ., f (xn ).
W następnej kolumnie
∆1 f (x0 ) = f (x1 ) − f (x0 ),
∆1 f (x0 ) = f (x2 ) − f (x1 ),
∆1 f (x0 ) = f (x3 ) − f (x2 ),
∆1 f (x0 ) = f (x4 ) − f (x3 ),
Widzimy zatem, iż każdy wyraz drugiej kolumny jest różnicą pewnych dwóch wyrazów
występujących kolejno w poprzedniej kolumnie. Analogiocznie postępujemy w kolejnych
kolumnach tablicy.
Przykład 1. Dany jest szereg statystyczny
xi
0
1
2
3
4
f (x)
7
11, 5
10
12, 1
13
yi
7
11, 5
10
12, 1
13
∆1 f (x) ∆2 f (x)
4, 5
−6
−1, 5
3, 6
2, 1
−1, 2
0, 9
∆3 f (x) ∆4 f (x)
9, 6
−14, 4
−4, 8
Szukaną funkcją f (x) jest zatem wedlug wzoru (1.9) funkcja
f (x) = 7 + 4, 5x − 3x(x − 1) + 1, 6x(x − 1)(x − 2) − 0, 51x(x − 1)(x − 2)(x − 3) =
= −0, 51x4 + 4, 66x3 − 13, 41x2 + 13, 76x + 7
6
ROZDZIAŁ 1. INFORMACJE
1.2
Wzór interpolacyjny Lagrange’a
W przypadku, gdy różne między sobą węzły interpolacji x0 , x1 , . . . , xn są rozmieszczone
w nierównych odstępach, dla wyznaczenia wielomianu co najwyżej stopnia n, mającego
własność
f (xi ) = yi
dla
i = 0, 1, . . . , n
(1.10)
gdzie yi są liczbami z góry dnaymi, można skorzystać ze wzoru interpolacyjnego Lagrange’a
Ln (x) =
n
X
i=0
yi
(x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xi−1 )(x − xi+1 ) . . . (x − xn )
(xi − x0 )(xi − x1 ) . . . (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) . . . (xi − xn )
(1.11)
Dla wykazania, że Ln (x) jest szukaną funkcją f (x), wygodnie jest wprowadzić pomocniczy wielomian (n+1)-go stopnia
wn+1 (x) =
n
X
(x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xj−1 )(x − xj+1 ) . . . (x − xn )
(1.12)
j=0
0
Wielomian wn+1
ma następujące własnośći:
1. wn+1 (xi ) = 0 dla i = 0, 1, . . . , n,
0
2. wn+1
= (x − x0 ) . . . (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) . . . (xi − xn ),
3.
wn+1 (x) x−xi 
0
x=xj
=
dlaj =
6 i
0
(xi ) dlaj = i.
wn+1
Powyższe własności wielominau wn+1 (x) pozwalają na przedstawienie funkcji Ln (x) w
uproszczonej potaci
n
X
wn+1 (x)
1
yi
Ln (x) =
,
(1.13)
· 0
x − xj wn+1 (xi )
i=0
Przykład 2. Znaleźć wielomian co najwyżej trzeciego stopnia, który by w punktach 0,1,3,6
przyjmował odpowiednio wartości 1,2,8,64. Obliczyć wartość tego wielomianu w punkcie 4.
W tym przypadku
w4 (x) = x(x − 1)(x − 3)(x − 6)
w40 (x) = (x − 1)(x − 3)(x − 6) + x(x − 3)(x − 6) + x(x − 1)(x − 3),
w40 (0) = −18,
w40 (1) = 10,
w40 (3) = −18,
w40 (6) = 90.
Szukanym wielomianem jest zatem według wzoru (1.13)
1
1
(x − 1)(x − 3)(x − 6) + x(x − 3)(x − 6)+
18
5
4
32
− x(x − 1)(x − 6) + x(x − 1)(x − 3) =
9
45
37
44
47
= x3 − x2 + x + 1
90
45
30
A zatem L3 (4) = 17, 9.
L3 (x) = −
Rozdział 2
Interpolacja wielomianem tzreciego
stopnia
Poniżej przedstawię interpolacje niektórych charakterystycznych funkcji. Dla każdego z
przykładów powtarzają się niektóre obliczenia. Do obu typów interpolacji potrzebna jest
prosta tabelka:
xi
.
.
.
yi
.
.
.
gdzie xi są kolejnymi argumentami funkcji dla i = 0, 1, . . . , n a yi to wartości funkcji w
punktach xi .
Dla interpolacji Newtona na początku tworzymy tabelę postaci 1.1. Każda z nich jest
tworzona odrębnie w zależnościod wartości yi powyższej tabeli.
Interpolację Lagrange’a także można uprościć.
W interpolacji Lagrange’a korzystam z wielomianu
w4 (x) = x(x − 1)(x − 2)(x − 3)
(2.1)
w4 (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)
(2.2)
albo
Na ich podstawie liczę w40 (x) dostając odpowiednio:
w40 (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3) + x(x − 2)(x − 3)
+ x(x − 1)(x − 3) + x(x − 1)(x − 2)
(2.3)
w40 (x) = (x − 2)(x − 3)(x − 4) + (x − 1)(x − 3)(x − 4)
+ (x − 1)(x − 2)(x − 4) + (x − 1)(x − 2)(x − 3)
(2.4)
oraz
Dalej, patrząc na definicję metody Lagrange’a otzrymujemy, że:
7
8
ROZDZIAŁ 2. INTERPOLACJA WIELOMIANEM TZRECIEGO STOPNIA
• dla wzorów (2.1)
w40 (0) = −6
w40 (1) = 2
w40 (2) = −2
w40 (3) = 6
(2.5)
w40 (10) = −6
w40 (2) = 2
w40 (3) = −2
w40 (4) = 6
(2.6)
• dla wzoru (2.2)
Ilustracje na końcu każdego podrozdziału rozdziału drugiego przedstawiają tzry wykresy funkcji. Pierwszy to wykres funkcji interpolowanej oznaczony kolorem niebieskim,
drugi to interpolacja Newtona oznaczona kolorem czerwonym a trzecia to interpolacja metodą Lagrange’a oznaczona kolorem zielonym. Kolor fioletowy na niektórych wykresach
symbolizuje pokrywanie się funkcji pierwotnej z rozwinięciem interpolacyjnym.
Tak przygotowani możemy zająć się porównaniem podstawowych funkcji.
2.1
Funkcje postaci f (x) = ax + b, f (x) = ax2 + bx + c,
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d
Do każdej z tych funkcji można w sposób identyczny zastosować interpolację Newtona,
jak i Lagrange’a. Wynikiem będzie ta sama funkcja f (x), na której chcemy zastosować
interpolację. Dla udowodnienia mojej tezy, poniżej przedstawię dwa przykłady, które potwierdzą prawdziwość moich spostrzeżeń.
Przykład 3. Stosując interpolację Lagrange’a znależć wielomian funkcji f (x) = 2x2 +
5x − 7.
Na początku tworzę tabelkę:
xi
0
1
2
3
yi
-7
0
11
26
Korzystając z gotowych już wyników: (2.1) , (2.3) i (2.5) otzrymuję
L3 (x) = − 7(x − 1)(x − 2)(x − 3) · (−0.17)
+ 0 · x(x − 2)(x − 3) · (0.5)
+ 11x(x − 1)(x − 3) · (−0.5)
+ 26x(x − 1)(x − 2) · (0.17) =
2.2. FUNKCJA LN X
9
Ostatecznie otrzymuję
L3 (x)2x2 + 5x − 7
Przykład 4. Stosując interpolację Newtona znależć wielomian funkcji f (x) = 4x3 −9x2 +
2x − 11.
Na początku tworzę tabele:
xi
0
1
2
3
yi
-11
-14
-11
22
oraz
f (x) ∆1 f (x)
-11
-3
-14
3
-11
33
22
∆2 f (x)
6
30
∆3 f (x)
30
Wprost ze wzoru (1.9) otrzymujemy
F (x) = −11 − 3x + 6x(x − 1) + 30x(x − 1)(x − 2)
I ostatecznie:
F (x) = 4x3 − 9x2 + 2x − 11
2.2
Funkcja ln x
xi
1
2
3
4
2.2.1
yi
0
0.69
1.10
1.39
Interpolacja wg. Newtona
f (x) ∆1 f (x)
0
0.69
0.69
0.41
1.10
0.29
1.39
∆2 f (x)
-0.28
-0.12
∆3 f (x)
0.16
F (x) = 0 + 0.69 · (x − 1) − 0.28 ·
1
1
(x − 1)(x − 2) + 0.16 · (x − 1)(x − 2)(x − 3)
2!
3!
I ostatecznie
F (x) = 0.03x3 − 0.30x2 + 1.40x − 1.13
10
2.2.2
Interpolacja wg. Lagrange’a
1
L3 (x) =0 · (x − 2)(x − 3)(x − 4) · (− )
6
1
+ 0.69 · (x − 1)(x − 3)(x − 4) · ( )
2
1
+ 1.1(x − 1)(x − 2)(x − 4) · (− )
2
1
+ 1.39(x − 1)(x − 2)(x − 3) · ( ) =
6
Ostatecznie
L3 (x) = 0.03x3 − 0.3x2 + 1.41x − 1.13
2.2.3
2.3
Wykres
Funkcja sin x
xi
0
1
2
3
2.3.1
yi
0
0.02
0.04
0.05
f (x)
0
0.02
0.04
0.05
∆1 f (x)
0.02
0.02
0.01
∆2 f (x) ∆3 f (x)
0
0.01
0.01
2.4. FUNKCJA
√
X
11
F (x) = 0 + 0.02 · x + 0 ·
1
1
x(x − 1) + 0.01 · (x − 1)(x − 2)(x − 3)
2!
3!
Ostatecznie
F (x) = 0.002x3 − 0.005x2 + 0.023x
2.3.2
1
L3 (x) =0 · (x − 1)(x − 2)(x − 3) · (− )
6
1
+ 0.02 · x(x − 2)(x − 3) · ( )
2
1
+ 0.04x(x − 1)(x − 3) · (− )
2
1
+ 0.05x(x − 1)(x − 2) · ( ) =
6
Ostatecznie
L3 (x) = 0.01x3 + 0.02x
2.3.3
Wykres
2.4
Funkcja
√
x
xi
0
1
2
3
yi
0
1
1.41
1.73
12
2.4.1
f (x)
0
1
1.41
1.73
∆1 f (x)
1
0.41
0.32
∆2 f (x) ∆3 f (x)
-0.59
0.50
-0.09
F (x) = 0 + 1 · x − 0.59 ·
1
1
x(x − 1) + 0.50 · (x − 1)(x − 2)(x − 3)
2!
3!
Ostatecznie
F (x) = 0.008x3 − 0.54x2 + 1.46x
2.4.2
1
L3 (x) =0 · (x − 1)(x − 2)(x − 3) · (− )
6
1
+ 1 · x(x − 2)(x − 3) · ( )
2
1
+ 1.41x(x − 1)(x − 3) · (− )
2
1
+ 1.73x(x − 1)(x − 2) · ( ) =
6
Ostatecznie
L3 (x) = 0.08x3 + 0.53x + 1.45x
2.5. FUNKCJA
√
3
X
2.4.3
Wykres
2.5
Funkcja
13
√
3
x
xi
0
1
2
3
2.5.1
yi
0
1
1.26
1.44
f (x) ∆1 f (x)
0
1
1
0.26
1.26
0.18
1.44
∆2 f (x)
-0.74
-0.08
∆3 f (x)
0.66
1
1
F (x) = 0 + 1 · x − 0.74 · x(x − 1) + 0.66 · (x − 1)(x − 2)(x − 3)
2
3
Ostatecznie
F (x) = 0.11x3 − 0.7x2 + 1.59x
14
2.5.2
1
L3 (x) =0 · (x − 1)(x − 2)(x − 3) · (− )
6
1
+ 1 · x(x − 2)(x − 3) · ( )
2
1
+ 1.26x(x − 1)(x − 3) · (− )
2
1
+ 1.44x(x − 1)(x − 2) · ( ) =
6
Ostatecznie
L3 (x) = 0.11x3 + 0.7x + 1.59x
2.5.3
2.6
Wykres
Funkcja ex
xi
0
1
2
3
yi
1
2.72
7.39
20.09
2.6. FUNKCJA E X
2.6.1
15
f (x) ∆1 f (x) ∆2 f (x)
0
1.72
2.95
2.72
4.67
8.03
7.39
12.7
20.09
∆3 f (x)
5.08
1
1
F (x) = 1 + 1.72 · x + 2.95 · x(x − 1) + 5.08 · (x − 1)(x − 2)(x − 3)
2
6
Ostatecznie
F (x) = 0.85x3 − 1.07x2 + 1.94x
2.6.2
Korzystając z gotowych już wyników: (2.1) , (2.3) i (2.5) otzrymuję A zatem
1
L3 (x) =1(x − 1)(x − 2)(x − 3) · (− )
6
1
+ 2.72 · x(x − 2)(x − 3) · ( )
2
1
+ 7.39x(x − 1)(x − 3) · (− )
2
1
+ 20.09x(x − 1)(x − 2) · ( ) =
6
Ostatecznie
L3 (x) = 0.85x3 − 1.06x2 + 3.60x + 1
16
2.6.3
Wykres
2.7
Funkcja 2x
xi
0
1
2
3
2.7.1
yi
1
2
4
8
f (x)
1
2
44
8
∆1 f (x)
1
2
4
∆2 f (x) ∆3 f (x)
1
1
2
1
1
F (x) = 1 + 1 · x + 1 · x(x − 1) + 1 · x(x − 1)(x − 2)
2
6
Ostatecznie
F (x) = 0.17x3 − 0.83x + 1
2.8. FUNKCJA
2.7.2
√
X
2
17
1
L3 (x) =1(x − 1)(x − 2)(x − 3) · (− )
6
1
+ 2 · x(x − 2)(x − 3) · ( )
2
1
+ 4x(x − 1)(x − 3) · (− )
2
1
+ 8x(x − 1)(x − 2) · ( ) =
6
Ostatecznie
L3 (x) = 0.17x3 − 2.50x + 1
2.7.3
2.8
Wykres
Funkcja
√
x
2
xi
1
2
3
4
yi
2
1.41
1.26
1.19
18
2.8.1
f (x)
2
1.41
1.26
1.19
∆1 f (x)
-0.59
-0.15
-0.07
∆2 f (x) ∆3 f (x)
0.44
-0.36
0.08
F (x) = 2 − 0.59(x − 1) + 0.44(x − 1)(x − 2) ·
1
1
− 0.36(x − 1)(x − 2)(x − 3) ·
2!
3!
= −0.12x3 + 0.71x2 − 1.30x + 0.71
2.8.2
Korzystając z gotowych już wyników: (2.2) , (2.4) i (2.6) otzrymuję A zatem
L3 (x) =2(x − 2)(x − 3)(x − 4) ·
−1
+
6
1
+ 1.41(x − 1)(x − 3)(x − 4) · +
2
−1
+ 1.26(x − 1)(x − 2)(x − 4) ·
+
2
1
+ 2(x − 1)(x − 2)(x − 3) ·
6
Ostatecznie
L3 (x) = −0.06x3 + 0.57x2 − 8.14x + 3.38
2.8.3
Wykres
2.9. FUNKCJA X SIN(X)
2.9
19
Funkcja x sin(x)
xi
1
2
3
4
2.9.1
yi
0.02
0.07
0.16
0.28
f (x) ∆1 f (x)
0.02
0.05
0.07
0.09
0.16
0.12
0.28
∆2 f (x)
0.04
0.03
∆3 f (x)
-0.01
F (x) = 0.02 − 0.05(x − 1) + 0.04(x − 1)(x − 2) ·
1
1
− 0.01(x − 1)(x − 2)(x − 3) ·
2
6
Ostatecznie
F (x) = −0.001x3 + 0.026x2 − 0.021x + 0.016
2.9.2
−1
+
6
1
+ 0.07(x − 1)(x − 3)(x − 4) · +
2
−1
+ 0.16(x − 1)(x − 2)(x − 4) ·
+
2
1
+ 0.28(x − 1)(x − 2)(x − 3) ·
6
L3 (x) =0.02(x − 2)(x − 3)(x − 4) ·
Ostatecznie
L3 (x) = −0.001x3 + 0.1x2 − 0.305x + 0.23
20
2.9.3
Wykres
Bibliografia
[1] Eugeniusz Zeniuk, Marta Kapturczak, Krzysztof Szerszeń: Zastosowanie
wielomianów interpolacyjnych Lagrange’a do aproksymacji funkcji brzegowych.
[2] J. Stoer, R. Bulirsch: Introduction to Numerical Analysis.
[3] prof. dr hab. Oleksandr Gomilko: Metody numeryczne
21
22
BIBLIOGRAFIA
Spis treści
1 Informacje
1.1 Wzór interpolacyjny Newtona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Wzór interpolacyjny Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
6
2 Interpolacja wielomianem tzreciego stopnia
2.1 Funkcje postaci f (x) = ax + b, f (x) = ax2 + bx + c, f (x) = ax3 + bx2 + cx + d
2.2 Funkcja ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Interpolacja wg. Newtona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Interpolacja wg. Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Wykres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Funkcja sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Wykres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
2.4 Funkcja x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Wykres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
2.5 Funkcja 3 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Wykres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Funkcja ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Wykres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Funkcja 2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3 Wykres
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
x
2.8 Funkcja 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.3 Wykres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Funkcja x sin(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
8
9
9
10
10
10
10
11
11
11
12
12
13
13
13
14
14
14
15
15
16
16
16
17
17
17
18
18
18
19
19
23
24
SPIS TREŚCI
2.9.2
2.9.3
Interpolacja wg. Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Wykres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Interpolacja Lagrange'a

Transkrypt

Podobne dokumenty

Interpolacje Newtona i Lagrange`a

Krzysztof Piekarski “Wprowadzenie do metod numerycznych

Lab3 - interpolacja

Pobierz spis treści

Analiza zmienności ciągłej w GIS

6. Interpolacja wielomianowa

Egzamin z Mechaniki Teoretycznej (FM, FŚ, MF) Rozważmy dwie

3. Interpolacja

Analiza numeryczna Interpolacja Lagrange`a

Interpolacja-metoda Lagrange`a