Pobierz spis treści

SPIS TREŚCI
PRZEDMOWA ........................................................................................................ 7
1. INTERPOLACJA ................................................................................................. 9
1.1. Wstęp .............................................................................................................. 9
1.2. Interpolacja Lagrange’a – wzór wielomianu interpolacyjnego ..................10
1.3. Interpolacja Newtona – tablica ilorazów różnicowych, wzór wielomianu
interpolacyjnego, oszacowanie błędu interpolacji .....................................12
1.4. Węzły interpolacji – równoodległe i węzły Czebyszewa ..........................15
1.5. Zjawisko Rungego ........................................................................................ 17
1.6. Wzór Taylora i oszacowanie błędu we wzorze Taylora ............................... 19
1.7. Interpolacja Hermite’a – wzór wielomianu interpolacyjnego i warunki
na funkcje występujące w tym wzorze, błąd interpolacji dla zwykłego
i zmodyfikowanego wzoru Hermite’a .......................................................... 22
1.8. Definicja funkcji sklejanej. Przyczyny stosowania funkcji sklejanych
w interpolacji ..................................................................................................... 25
1.9. Sposób wyznaczenia funkcji sklejanej trzeciego stopnia s poprzez
wyznaczenie wartości M j  s' ' (x j ), j  0,,n ............................................. 27
2. APROKSYMACJA.................................................................................................. 29
2.1. Wstęp.................................................................................................................. 29
2.2. Aproksymacja liniowa i wymierna ............................................................... 29
2.3. Przykłady funkcji bazowych ........................................................................ 31
2.4. Aproksymacja średniokwadratowa i jednostajna .............................................. 32
2.5. Postać układu normalnego dla dowolnej bazy ............................................. 33
2.6. Definicja ortogonalnego ciągu funkcyjnego. Zalety bazy ortogonalnej
w aproksymacji średniokwadratowej ........................................................... 37
2.7. Postać szeregu Fouriera i jego współczynników w przypadku ciągłym.
Wielomiany trygonometryczne w przypadku ciągłym i dyskretnym .............. 41
2.8. Warunki Dirichleta i twierdzenie Dirichleta ................................................ 46
2.9. Ortogonalność funkcji bazowych występujących
w wielomianach trygonometrycznych .................................................................. 48
2.10. Rozwinięcie funkcji f określonej na przedziale 0;T  w szereg samych
kosinusów i w szereg samych sinusów ........................................................ 50
2.11. Aproksymacja jednostajna. Definicja przybliżenia Padégo............................. 58
2.12. Wyznaczenie współczynników przybliżenia Padégo ..................................... 59
2.13. Zastosowanie wielomianów Czebyszewa do aproksymacji jednostajnej ... 62
3. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH ..................................................................... 64
3.1. Metoda Cramera. Dlaczego nie stosuje się tej metody
do numerycznego rozwiązywania układów równań liniowych? ...................... 64
3.2. Metoda eliminacji Gaussa. Częściowy i pełny wybór elementu głównego ..... 66
3.3. Metoda Cholesky’ego (Banachiewicza).
Macierze symetryczne, dodatnio określone .................................................. 72
3.4. Numeryczne metody wyznaczania macierzy odwrotnej .................................. 74
3.5. Metoda Jacobiego .............................................................................................. 75
3.6. Metoda Gaussa-Seidla ........................................................................................ 79
3.7. Testy stopu dla metod iteracyjnych .............................................................. 83
4. WARTOŚCI I WEKTORY WŁASNE MACIERZY ......................................... 86
4.1. Definicja wartości własnej i wektora własnego.
Podstawowe twierdzenia i pojęcia .................................................................... 86
4.2. Lokalizacja wartości własnych. Tw. Gerszgorina ........................................ 88
4.3. Metoda Kryłowa – opis i przeznaczenie ........................................................... 94
4.4. Wyznaczanie wartości własnych i wektorów własnych
macierzy symetrycznych .............................................................................. 96
5. RÓWNANIA NIELINIOWE ............................................................................. 98
5.1. Lokalizacja rozwiązań ....................................................................................... 98
5.2. Metoda połowienia (bisekcji) ............................................................................. 99
5.3. Metoda siecznych............................................................................................. 102
5.4. Metoda Newtona (stycznych) ..................................................................... 107
5.5. Metody iteracyjne jednopunktowe .................................................................. 109
6. UKŁADY RÓWNAŃ NIELINIOWYCH ........................................................ 111
6.1. Lokalizacja rozwiązań układów nieliniowych ............................................ 111
6.2. Metoda Newtona dla układów nieliniowych................................................... 113
6.3. Dyskretna metoda Newtona dla układów nieliniowych ............................. 115
7. CAŁKOWANIE NUMERYCZNE ....................................................................... 119
7.1. Metoda prostokątów środkowych, lewych i prawych. Oszacowanie błędu
globalnego dla metody prostokątów środkowych ...................................... 119
7.2. Metoda trapezów. Oszacowanie błędu globalnego ......................................... 124
7.3. Metoda Simpsona. Oszacowanie błędu globalnego........................................ 125
8. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ...................................................................... 130
8.1. Wstęp................................................................................................................ 130
8.2. Metoda Eulera........................................................................................................131
8.3. Ogólna postać metod różnicowych. Wzór ekstrapolacyjny (jawny),
wzór interpolacyjny (uwikłany). Jawna metoda punktu środkowego............ 134
8.4. Rodzaje błędów popełnianych przy stosowaniu metod różnicowych ........ 137
8.5. Istota i znaczenie metod typu Rungego-Kutty.
Metody typu Rungego-Kutty a metody różnicowe ..................................... 137
8.6. Stosowanie metod numerycznych rozwiązywania równań różniczkowych
dla równań wyższych rzędów ......................................................................... 139
8.7. Zagadnienie brzegowe ................................................................................ 141
8.8. Zagadnienie własne .......................................................................................... 144
8.9. Metoda różnicowa dla zagadnień brzegowych i własnych......................... 147
LITERATURA ..................................................................................................... 152