DRZEWA DECYZYJNE
Transkrypt
DRZEWA DECYZYJNE
DRZEWA DECYZYJNE 1. Wprowadzenie Rozważmy sytuację w której decydent podejmuje działania, których wynik zależy od okoliczności od niego niezależnych, ale na których wyniki może reagować podejmując kolejne działania. Powiemy wówczas, że decydent podejmuje decyzje sekwencyjne w warunkach niepewności. Proces podejmowania decyzji sekwencyjnych wygodnie jest przedstawić w postaci drzewa decyzyjnego. W drzewie wyróżniamy : - węzły decyzyjne (kwadraty) reprezentujące decyzje, - wierzchołki (kółka) reprezentujące zdarzenia losowe. Łuki wychodzące z węzłów decyzyjnych będziemy utożsamiać z podjętymi decyzjami, a łuki wychodzące z wierzchołków odpowiadających zdarzeniom losowym z wynikami jakie wystąpią w przypadku zajścia zdarzeń losowych wpływających na proces decyzyjny (wynik podjętej decyzji). Pod łukami będziemy umieszczać prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia, któremu odpowiada dany łuk, wewnątrz wierzchołków – wypłaty, które uzyskujemy w kolejnych etapach procesu decyzyjnego. 2. Przykład Poszukiwacz ropy musi podjąć decyzję, czy rozpocząć wiercenie szybu naftowego w pewnym miejscu przed wygaśnięciem licencji na wykonywanie odwiertów. Koszt wiercenia wynosi 200 tys. dol., całkowite zyski (bez uwzględnienia kosztów wierceń) w przypadku natrafienia na ropę – 800 tys. dol. Prawdopodobieństwo natrafienia na ropę jest równe 0,4. 1. Decyzja o podjęciu wierceń jest pozytywna, jeżeli oczekiwany zysk związany z podjęciem decyzji jest dodatni. 2. Jeżeli decyzja jest podejmowana wielokrotnie, to wybór kryterium maksymalizacji oczekiwanego zysku jest w pełni uzasadniony. 3. Prawdopodobieństwo natrafienia na ropę oszacowano na podstawie danych historycznych. Drzewo decyzyjne problemu wyboru strategii wierceń sukces wiercić 0,4 120 porażka 120 0,6 nie wiercić 600 0 1 -200 J. Marcinkowski Badania operacyjne 3. Problem kosztów zakupu dodatkowej informacji Powiedzmy, że przed dokonaniem odwiertu możemy przeprowadzić test sejsmiczny pozwalający na bardziej precyzyjną ocenę warunków geologicznych działki. Test ten pozwala z większą dokładnością odpowiedzieć na pytanie, czy trafimy na ropę. Oznacza to zwiększenie prawdopodobieństwa trafienia i zmniejszenie prawdopodobieństwa nietrafienia na ropę – a więc zwiększenie wartości oczekiwanej wypłaty (zysku). Przeprowadzenie testu wiąże się z poniesieniem dodatkowych kosztów. Kiedy warto je ponieść? Przykład (cd) W tabeli zawarto zestawienie wyników poszukiwań ropy na 100 działkach o cechach geologicznych zbliżonych do rozpatrywanej działki. Wyniki testu sejsmicznego Wyniki testu Pozytywne (A) Negatywne (B) Ogółem Tak (H1) 30 10 40 Występowanie złóż Nie (H2) 20 40 60 Ogółem 50 50 100 Na podstawie danych historycznych szacujemy prawdopodobieństwa a posteriori. Oznaczmy przez H 1 – zdarzenie polegające na natrafienie na złoże, H 2 – zdarzenie polegające na nie trafienie na złoże, - A – pozytywny wynik testu, - B – negatywny wynik testu. P ( H1 / A) = 30/50 = 0.6 (prawdopodobieństwo natrafienia na złoże w przypadku pozytywnego wyniku testu). P ( H1 / B) = 10/50 = 0.2 prawdopodobieństwo natrafienia na złoże w przypadku negatywnego wyniku testu). P ( H 2 / A) = 20/50 = 0.4 (prawdopodobieństwo nie natrafienia na złoże w przypadku pozytywnego wyniku testu). P ( H 2 / B ) = 40/50 = 0.8 (prawdopodobieństwo nie natrafienia na złoże w przypadku negatywnego wyniku testu. Prawdopodobieństwa, że test skończy się wynikiem pozytywnym bądź negatywnym, tj. P( A) i P(B) , są równe 1/2. 2 J. Marcinkowski Badania operacyjne Drzewa decyzyjne Drzewo decyzyjne problemu wyboru strategii wierceń sukces wiercić 0,4 600 120 porażka 120 -200 0,6 nie wiercić 0 Drzewo decyzyjne problemu pozyskania dodatkowej informacji nie wiercić 0 wynik pozytywny ropa 280 0,5 test wiercić 140 nie wiercić wynik negatywny 0,5 0 280 0 0,6 brak ropy ropa 0,4 wiercić -40 0,2 600 -200 600 brak ropy -200 0,8 Różnica pomiędzy oczekiwanym zyskiem w przypadku możliwości dokonywania testu i braku takiej możliwości jest równe maksymalnej cenie, jaką warto zapłacić za przeprowadzenie testu sejsmicznego. 4. Możliwości i ograniczenia wykorzystywania drzew decyzyjnych w modelowaniu procesu decyzyjnego 1. Ocena decyzji powinna następować na podstawie informacji, którą rozporządzał decydent w momencie jej podejmowania, a nie tej, która jest dostępna w momencie dokonywania oceny. Jeżeli np. po dokonaniu odwiertu okazało się, że nie natrafiono na ropę (zysk równy –200), to nie znaczy, że nie należało podejmować wierceń (zysk byłby równy 0). Podobnie dobry wynik wcale nie oznacza, że podjęto właściwą decyzje. 2. Możliwości efektywnego zastosowania metody zależą od kosztu i możliwości pozyskania danych – tj. prawdopodobieństw oraz kosztów i zysków wyrażonych w wartościach pieniężnych. Najlepiej korzystać z prawdopodobieństw szacowanych na podstawie częstotliwości występowania danej sytuacji w przeszłości. W ten sposób oszacowano prawdopodobieństwa natrafienia lub nie natrafienia na ropę. 3. Jeżeli nie możemy wyznaczyć prawdopodobieństw na podstawie danych historycznych, wykorzystuje się prawdopodobieństwa subiektywne. 4. Problem niedokładności danych można częściowo rozwiązać przeprowadzając analizę wrażliwości w celu wyznaczenia wrażliwości wartości oczekiwanej i rozwiązania (optymalnej ścieżki w grafie) na wartości parametrów. 5. Dodatkowa informacja jest przydatna, jeżeli zwiększa ona wartość oczekiwaną i jest dostępna przed podjęciem decyzji. 3