Krok 1 - E-SGH

Ekonometria
WYKŁAD 3
Piotr Ciżkowicz
Katedra Międzynarodowych Studiów Porównawczych
Plan
Czym się zajmiemy:
1. Testy postaci funkcyjnej, stabilności i
kompletności modelu
2. Testy założeń odnośnie do rozkładu
składnika losowego: autokorelacja,
normalność rozkładu, heteroskedastyczność
Uogólniony test Walda dla restrykcji liniowych
►Test Walda łącznej istotności parametrów jest szczególnym
przypadkiem ogólniejszego testu, gdzie weryfikacji poddawany jest
zestaw hipotez
►Przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka
ma rozkład F-Snedecora przy liczbie stopni swobody q i T-(k+1),
gdzie q liczba nałożonych restrykcji, e i v to wektory reszt dla
modeli, odpowiednio, bez i z resrykcjami
Uogólniony test Walda dla restrykcji liniowych - przykład
►Testowany jest zestaw hipotez postaci:
►Ujmując to inaczej jest to test porównujący jakość
dopasowania do danych dwóch modeli:
►Zestaw restrykcji w formule macierzowej dla 3 zmiennych :
Test postaci funkcyjnej Ramsey’a (RESET)
►Przedmiotem testu jest standardowa postać funkcyjna
modelu liniowego z wieloma zmiennymi
►Procedura testowa:
►Krok 1: estymujemy model MNK
►Krok 2: wyznaczamy wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej
►Krok 3: estymujemy model postaci
►Krok 4: testujemy zestaw hipotez
za pomocą statystyki
Test pominiętych zmiennych
►Test weryfikuje zasadność usunięcia z modelu wybranej
zmiennej lub zmiennych np. dwóch ostatnich zmiennych w
modelu postaci
►Test bazuje więc na porównaniu stopnia dopasowania powyższego
modelu i modelu
►Testujemy zestaw hipotez
za pomocą statystyki
Test Davidsona - McKinnona
►Test pozwala zweryfikować pod kątem kompletności
informacji dwa modele niezagnieżdżone postaci
►Procedura testowa porównania kompletności (1) względem (2):
►Krok 1: estymujemy model (2)
►Krok 2: estymujemy model (1) poszerzony o wartości
teoretyczne z modelu (2) postaci:
►Krok 3: Testem t-Studenta testujemy istotność oszacowania
parametru przy teoretycznych wartościach z modelu (2); jeśli
parametr jest nieistotny to informacje zawarte w modelu (2)
nie polepszają stopnia objaśnienia zmiennej y.
Test Chowa stabilności oszacowań parametrów
►Test pozwala stwierdzić, czy oszacowania parametrów
strukturalnych otrzymane na podstawie całej próby są
stabilne w czasie.
►Procedura testowa:
►Krok 1: dzielimy próbę t na dwa podokresy (1.. T1, T1+1…t)
►Krok 2: estymujemy model podstawowy dla całej próby oraz
dwa modele dla dwóch podokresów.
►Krok 3: testujemy zestaw hipotez
►Krok 4: Przy prawdziwości hipotezy zerowej poniższa
statystyka ma rozkład F
Test Jarque – Bery normalności rozkładu składnika
losowego
►Test bada, czy założenie o normalności rozkładu składnika
losowego przyjmowane przy estymacji MNK, jest spełnione,
stąd zestaw stosowanych hipotez to:
►Test polega na badaniu skośności :
i kurtozy:
►Jeśli skośność jest różna od 0, to rozkład nie jest symetryczny, a dla
kurtozy większej od 3 rozkład wykazuje leptokurtozę (grube ogony,
czyli częstsze, niż w rozkładzie normalnym występowanie
obserwacji nietypowych
►Przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka testowa (poniżej) ma
rozkład Chi-kwadrat o 2 stopniach swobody
Co to jest autokorelacja składnika losowego (1)
►Składniki losowe z różnych okresów nie są niezależne, lecz wykazują
się niezerową korelacją tzn. składnik losowy ut z okresu t jest
skorelowany ze składnikami losowymi ut -1 ut-2 … oraz ut+1 ut+2…
►Korelacja między ut a ut-k nazywa się autokorelacją rzędu k i określa ją
współczynnik autokorelacji postaci:
Co to jest autokorelacja składnika losowego (2)
►Autokorelacja I rzędu, czyli proces AR(1)
(przy czym e nie podlegają autokorelacji, mają stałą
wariancję i zerową wartość oczekiwaną)
► Autokorelacja II rzędu, czyli proces AR(2)
►Autokorelacja wyższych rzędów - analogicznie
Konsekwencje autokorelacji składnika losowego (1)
►Dla standardowego modelu postaci
► …macierz wariancji i kowariancji estymatora MNK przy
założeniu…
► ma postać….
Konsekwencje autokorelacji składnika losowego (2)
►W przypadku występowania autokorelacji składnika losowego
założenie …
► .. nie jest prawdziwe, gdyż …
► … zaś macierz wariancji i kowariancji estymatora MNK ma
postać…
Konsekwencje autokorelacji składnika losowego (3)
►W szczególności macierz może mieć postać…
… co zachodzi, gdy korelacja między składnikami losowymi ze
wszystkich okresów jest taka sama (zależność czysto
teoretyczna, niewystępująca raczej w praktyce)
Konsekwencje autokorelacji składnika losowego (4)
►Oznacza to, że :
► estymator MNK pozostaje estymatorem nieobciążonym, bo
nadal zachodzi…
►estymator MNK przestaje być najefektywniejszy
►estymator wariancji składnika losowego jest obciążony, przy
czym kierunek obciążenia zależy od kierunku autokorelacji;
►to oznacza, że (zwykle) niedoszacowane są średnie błędy
estymatorów parametrów (przeszacowane statystyki t ) oraz
przeszacowany jest współczynnik determinacji
Przyczyny występowania autokorelacji (1)
1. Błędna struktura funkcyjna modelu np.
•
Brak uwzględnienia zjawiska sezonowości
•
Błędna postać założonej relacji między zmienną objaśnianą
i zmiennymi objaśniającymi
Przyczyny występowania autokorelacji (2)
2. Nieodpowiednia struktura dynamiczna modelu tzn. w modelu
nie została uwzględniona (a powinna) opóźniona zmienna
objaśniana jako zmienna objaśniająca lub opóźniona zmienna
objaśniająca np. model…
… można zapisać jako…
… co jest równoważne…
… przy założeniu, że
Przyczyny występowania autokorelacji (3)
3. Pominięcie w specyfikacji istotnej zmiennej (przykład na
laboratoriach)
4. Przekształcenia jakim poddawane są dane (interpolacja,
wygładzanie, agregacja itp.)
Testowanie autokorelacji (1)
►Test Durbina - Watsona
► Test ten bazuje na estymacji współczynnika autokorelacji I
rzędu, gdyż jest równoważny…
► … a to wyrażenie jest równe w przybliżeniu (dla dużych prób)…
Testowanie autokorelacji (2)
► Interpretacja wyników testu:
►0<d < dL: odrzucamy hipotezę zerową o braku atuokorelacji
na rzecz hipotezy o autokorelacji dodatniej
►dL<d<dU: obszar niekonkluzywności
►dU<d<4-dU: brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o
braku autokorelacji
►4-dU<d<4-dL: obszar niekonkluzywności
► 4- dU <d < 4: odrzucamy hipotezę zerową o braku
atuokorelacji na rzecz hipotezy o autokorelacji ujemnej
Testowanie autokorelacji (3)
►Uwaga 1: Podane przybliżenie jest prawdziwe dla dużych prób,
bo dla współczynnika autokorelacji I rzędu równego 0 wartość
oczekiwana d wynosi
► Uwaga 2: Test DW można stosować
►do badania autokorelacji I rzędu
►gdy w modelu występuje wyraz wolny
►gdy w modelu nie występuje opóźniona zmienna objaśniana
jako zmienna objaśniająca
Testowanie autokorelacji (4)
►W przypadku testowania autokorelacji wyższych rzędów można
stosować test Breuscha-Godfreya oparty na zasadzie
mnożników Lagrange’a.
►Dla równania postaci….
… gdzie składnik losowy jest opisany procesem…
… testujemy hipotezę postaci…
Testowanie autokorelacji (5)
►Postępowanie składa się z trzech kroków:
►I: szacujemy model dla zmiennej objaśniającej bez
zakładania postaci procesu dla składnika losowego
►II: na podstawie otrzymanych reszt szacujemy równanie…
►III : obliczamy standardową statystykę F i weryfikujemy
hipotezę zerową postaci
… korzystając z tego, że przy jej prawdziwości statystyka
p*F ma rozkład
z p stopniami swobody
Testowanie autokorelacji (6)
►Przykład: dla danych kwartalnych możemy testować
występowanie autokorelacji 4 rzędu postaci:
►W tym celu po oszacowaniu równania wyjściowego
szacujemy równanie dla reszt postaci
…i weryfikujemy hipotezę zerową postaci
Testowanie autokorelacji (7)
►Uwaga 1: Test LM jest testem dla dużych prób (n>30). Należy
pamiętać, że każde dodatkowe opóźnienia zmniejsza
liczebność próby w równaniu reszt, a więc i precyzję testu
►Uwaga 2: W teście LM nie jest ważna postać procesu
generującego składnik losowy, lecz maksymalny rząd
opóźnienia. Dla każdego z poniższych przypadków…
…weryfikujemy tę samą hipotezę zerową postaci
►Uwaga 3: Alternatywna postać równania testującego opiera
się na koncepcji testu dodanych zmiennych
Postępowanie w przypadku autokorelacji (1)
►Sprawdzenie, czy w modelu nie pominięto istotnej zmiennej
(test dodanej zmiennej)
►Sprawdzenie, czy model ma poprawną postać funkcyjną i
stabilne w czasie oszacowania parametrów (test RESET, test
Chowa)
►Sprawdzenie, czy model ma poprawnie wyspecyfikowaną
strukturę dynamiczną np. dla modelu postaci
…zweryfikować hipotezę
za pomocą testu
Walda, ilorazu wiarygodności lub LM
Postępowanie w przypadku autokorelacji (2)
►Sprawdzenie, czy w modelu nie występuje trend
deterministyczny postaci
np.
..lub trend stochastyczny postaci…
►Zastosowanie błędów standardowych odpornych na
autokorelację i heteroskedastyczność
►Zastosownie metod estymacji uwzględniających autokorelację
opartych na Uogólnionej Metodzie Najmniejszych Kwadratów
(np. metoda Cochrane’a – Orcutta)
Heteroskedastyczność składnika losowego
►Heteroskedastyczność jest naruszeniem kolejnego założenia
MNK tzn. stałości wariancji składnika losowego między
okresami (w przypadku szeregu czasowego) lub jednostkami (w
przypadku danych przekrojowych)
►Oznacza to, że macierz wariancji i kowariancji składnika
losowego może mieć postać np.
jeśli wariancja przyjmuje dwie różne wartości dla dwóch podprób
Standardowa postać wykresu reszt z
heteroskedastycznością
Konsekwencje heteroskedastyczności składnika
losowego
►Podobnie jak w przypadku autokorelacji tzn.
► estymator MNK pozostaje estymatorem nieobciążonym, bo
nadal zachodzi…
►estymator MNK przestaje być najefektywniejszy
►estymator wariancji składnika losowego jest obciążony, co
oznacza, że (zwykle) niedoszacowane są średnie błędy
estymatorów parametrów (przeszacowane statystyki t ) oraz
przeszacowany jest współczynnik determinacji
Testowanie heteroskedastyczności – test White’a
►Testowany jest następujący zestaw hipotez:
►Procedura testowa:
►Krok 1: estymujemy model MNK
►Krok 2: estymujemy model pomocniczy postaci (dla dwóch
zmiennych objaśniających):
►Krok 3: testujemy zestaw hipotez
►Przy prawdziwości hipotezy zerowej (homoskedastyczność)
statystyk testowa postaci T*R^2 ma rozkład Chi-kwadrat z liczbą
stopni swobody równą liczbie restrykcji w hipotezie
Skorygowane błędy standardowe w przypadku
autokorelacji i heteroskedastyczności
►Postać ogólna macierzy kowariancji składnika losowego
►Postać ogólna macierzy kowariancji estymatora:
►Postać macierzy kowariancji dla estymatora FGLS (feasible
generalized least squares) lub EGLS (od estimated):
Heteroscedasticity- consistent standard errors (błędy
White’a lub błędy HC)
►Na podstawie
macierz kowariancji można zapisać też jako:
►White (1980) pokazał, że do estymacji tej macierzy potrzebny
jest jedynie zgodny estymator macierzy
Heteroscedasticity- consistent standard errors (błędy
White’a lub błędy HC)
►Przy dość ogólnych założeniach zgodnym estymatorem
powyższej macierzy jest
co pozwala na estymację „prawdziwej” macierzy kowariancji
estymatora OLS
►Na tej postawie można wyznaczyć zgodne błędy szacunku
Heteroscedasticity-and-autocorellation- consistent
standard errors (błędy HAC lub błędy Neweya-Westa)
►Podejście HA jest szczególnym przypadkiem estymacji
błędów HAC postaci:
gdzie
►Dla w(j)=0 otrzymujemy błędy HA. Przy autokorelacji
najczęściej stosuje się wagi Bartletta postaci
►Intuicyjnie oddają one fakt, że zazwyczaj autokorelacja
maleje wraz z rzędem opóźnienia j.
Dziękuję za uwagę