Dauphin fr

Stany nieustalone w SEE
wykład II
Obciążenie generatora synchronicznego
Désiré Dauphin Rasolomampionona, prof. PW
Obciążenie generatora z biegunami utajonymi
Prądy obciążenia generatora można ogólnie wyrazić następującymi wzorami
iA = I m cos (ωt − λ )
2π 

iB = I m cos  ωt − λ −

3


4π 

iC = I m cos  ωt − λ −

3 

Im
jest wartością szczytową,
λ
kąt opóźnienia w stosunku do
napięć źródłowych,
Prądom tym odpowiadają przepływy
FA = N a iA
FB = N a iB
FC = N a iC
Przepływ uzwojenia każdej fazy
wywołuje strumień rozproszenia
Φl
zależny od oporności magnetycznej ℜ l
drogi rozproszenia oraz strumień przechodzący
ze stojana do wirnika.
Oporność magnetyczna tej drogi zależy głównie od oporności magnetycznej szczeliny między
stojanem a wirnikiem (oporność magnetyczna żelaza może być pominięta).
Obciążenie generatora z biegunami utajonymi
W generatorze z biegunami utajonymi (rys. 2.2a w książce JM) szczelina między stojanem a
wirnikiem jest praktycznie jednakowa dla całego obwodu wirnika.
Stąd dla przepływów uzwojeń stojana wchodzących do wirnika można przyjąć jednakową
oporność magnetyczną szczeliny ℜ a
Sumaryczny przepływ pochodzący od trzech uzwojeń stojana można obliczyć sumując FA, FB,
FC z uwzględnieniem wzajemnego przesunięcia uzwojeń stojana:
F a = F A + F B + F C = FA e j 0 + FB e j 2π / 3 + FC e j 4π / 3
Wiedząc, że prądy obciążenia w poszczególnych fazach są dane wzorami
iA = I m cos (ωt − λ )
2π 

iB = I m cos  ωt − λ −

3 

4π 

iC = I m cos  ωt − λ −

3 

Prądom tym odpowiadają przepływy
FA = N a iA
FB = N a iB
FC = N a iC
Sumaryczny przepływ uzwojeń twornika dany wzorem Fa = 1,5 ⋅ N a I m
nazywany jest oddziaływaniem (reakcją) twornika.
Obciążenie generatora z biegunami utajonymi
Sumaryczny przepływ pochodzący od trzech uzwojeń stojana można obliczyć sumując
FA, FB, FC z uwzględnieniem wzajemnego przesunięcia uzwojeń stojana:
F a = N a I m {cos (ωt − λ ) + [− 0.5 cos (ωt − λ ) + 0.866 sin (ωt − β )](− 0.5 + j0.866 ) +
+ [− 0.5 cos (ωt − λ ) − 0.866 sin (ωt − λ )](− 0.5 − j0.866 )} =
= N a I m [1.5 cos (ωt − λ ) + 1.5 j sin (ωt − λ )] = 1.5 N a I m e j(ωt −λ ) = Fa ⋅ e j(ω t −λ )
Sumaryczny przepływ uzwojeń twornika nazywany jest oddziaływaniem (reakcją) twornika.
Z powyższego wzoru wynika, że fazor oddziaływania twornika wiruje z prędkością
wirowania wirnika.
Oznacza to, że przepływ uzwojeń stojana jest polem wirującym synchronicznie z wirnikiem,
lecz ogólnie przesuniętym w fazie względem przepływu wzbudzenia.
Podobnie jak dla przepływu wzbudzenia F f , oporność magnetyczna na drodze przepływu
oddziaływania twornika F a odpowiada głównie szczelinie między stojanem a wirnikiem,
czyli jest równa ℜ a .
Obciążenie generatora z biegunami utajonymi
Stan magnetyczny generatora
a)
Na osi d wirnika narysowano
fazor Ff odpowiadający
przepływowi wzbudzenia
Ff
Xl
R
jXa I
jXl I
RI
Ef
I
Ug
Er
If
Ff jest przesunięty o kąt λ
względem Fa odpowiadający
przepływowi oddziaływania
twornika.
Suma fazorów: F r = F f + F a
b)
d
Fa
odpowiadają przepływowi wypadkowemu
q
Ef
Ff δfr Fr
λ
Temu przepływowi odpowiada
strumień
Φr = Fr / ℜ a
Xa
Fa
Ten strumień oraz strumień rozproszenia oznaczono liniami
przerywanymi na poprzednim rysunku
β
ϕg
δg
δfr
Ug
RI
jXd I
jXa I = -E a
Er
jXl I
I
Schemat zastępczy i wykres fazorowy generatora
synchronicznego z biegunami utajonymi w stanie ustalonym
Obciążenie generatora z biegunami utajonymi
Stan magnetyczny generatora
a)
W schematach zastępczych obwodów
prądu przemiennego zawierających
uzwojenia każdemu strumieniowi
można przyporządkować siłę
elektromotoryczną opóźnioną w fazie
o kąt π/2.
Każdej oporności magnetycznej na
drodze strumienia odpowiednią
indukcyjność (lub reaktancję) zastępczą.
Ff
Xa
Xl
R
jXa I
jXl I
RI
Ef
I
Ug
Er
If
b)
Równoległym drogom magnetycznym
odpowiadają przy tym szeregowo połączone
indukcyjności i odwrotnie szeregowym
drogom magnetycznym odpowiadają
równolegle połączone indukcyjności
d
Fa
q
Ef
Ff δfr Fr
λ
Fa
β
ϕg
δg
δfr
Ug
RI
jXd I
jXa I = -E a
Er
jXl I
I
Schemat zastępczy i wykres fazorowy generatora
synchronicznego z biegunami utajonymi w stanie ustalonym
Obciążenie generatora z biegunami utajonymi
Stan magnetyczny generatora
a)
Przepływ wzbudzenia Ff zgodny z
osią wzdłużną d indukuje siłę
elektromotoryczną Ef opóźnioną w
fazie o kąt π/2, czyli zgodną z osią
poprzeczną q
Prąd I jest opóźniony względem o
kąt λ oraz o kąt β względem Ef.
Ff
Xa
Xl
R
jXa I
jXl I
RI
Ef
Ug
Er
If
b)
d
Fa
W schemacie zastępczym oporności
magnetycznej na drodze przepływu
oddziaływania twornika Fa odpowiada
reaktancja Xa nazywana reaktancją
oddziaływania twornika. Przepływowi
oddziaływania twornika odpowiada
natomiast napięcie
E a = -jX a I
I
q
Ef
Ff δfr Fr
λ
Fa
β
ϕg
δg
δfr
Ug
RI
jXd I
jXa I = -E a
Er
jXl I
I
Schemat zastępczy i wykres fazorowy generatora
synchronicznego z biegunami utajonymi w stanie ustalonym
Obciążenie generatora z biegunami utajonymi
Stan magnetyczny generatora
a)
Jak wcześniej napisano przepływ Fa
dodaje się do przepływu Ff dając
razem wypadkowy przepływ
szczelinowy Fr.
Odpowiednio napięcie Ea sumuje się
z siłą elektromotoryczną Ef dając
napięcie Er opóźnione w stosunku do
Fr o kąt
ą π/2.
E r = E f + E a = E f − jX a I
zwane napięciem szczelinowym
(ponieważ odpowiada wypadkowemu
przepływowi szczelinowemu Fr)
Ff
Xa
Xl
R
jXa I
jXl I
RI
Ef
I
Ug
Er
If
b)
d
Fa
q
Ef
Ff δfr Fr
λ
Fa
β
ϕg
δg
δfr
Ug
RI
jXd I
jXa I = -E a
Er
jXl I
I
Schemat zastępczy i wykres fazorowy generatora
synchronicznego z biegunami utajonymi w stanie ustalonym
Obciążenie generatora z biegunami utajonymi
Stan magnetyczny generatora
a)
Drogą magnetyczną równoległą do
drogi oddziaływania twornika jest
droga rozproszenia o oporności ℜ l
Ff
Xa
Xl
R
jXa I
jXl I
RI
Ef
I
Ug
Er
If
W schemacie zastępczym oporności
tej odpowiada reaktancja Xl
nazywana reaktancją rozproszenia.
Reaktancja rozproszenia jest
połączona szeregowo z reaktancją
oddziaływania twornika Xa
b)
d
Fa
q
(gdyż odpowiadające im drogi
magnetyczne są równoległe)
Na reaktancji rozproszenia prąd
obciążenia powoduje stratę napięcia jX l I
Ef
Ff δfr Fr
λ
Fa
β
ϕg
δg
δfr
Ug
RI
jXd I
jXa I = -E a
Er
jXl I
Na rezystancji uzwojeń twornika
I
generatora prąd obciążenia powoduje
stratę napięcia RI.
Schemat zastępczy i wykres fazorowy generatora
synchronicznego z biegunami utajonymi w stanie ustalonym
Obciążenie generatora z biegunami utajonymi
Stan magnetyczny generatora
a)
Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa
napięcie na zaciskach generatora
określone jest następującym wzorem:
Ff
Słowo „synchroniczna” podkreśla tu
fakt, że reaktancja ta odpowiada
stanowi ustalonemu w którym
przepływ wzbudzenia Ff oraz
przepływ oddziaływania twornika Fa
mają tę samą prędkość (są
synchroniczne).
Xl
R
jXa I
jXl I
RI
Ef
U g = E f − jX a I − jX l I − R I = E f − jX d I − R I
gdzie Xg jest reaktancją synchroniczną
generatora.
Xa
I
Ug
Er
If
b)
d
Fa
q
Ef
Ff δfr Fr
λ
Fa
β
ϕg
δg
δfr
Ug
RI
jXd I
jXa I = -E a
Er
jXl I
Na rezystancji uzwojeń twornika
I
generatora prąd obciążenia powoduje
stratę napięcia RI.
Schemat zastępczy i wykres fazorowy generatora
synchronicznego z biegunami utajonymi w stanie ustalonym
Obciążenie generatora z biegunami wydatnymi
W generatorze z biegunami wydatnymi szczelina między stojanem a wirnikiem nie jest
jednakowa
Z tego względu oporność magnetyczna szczeliny ℜ a wzdłuż obwodu wirnika zmienia się jak
na rysunku.
ℜaq
ℜa
ℜad
d
q
d
q
obwód
wirnika
Funkcja ta jest kosinusoidą o amplitudzie (ℜ aq − ℜ ad ) / 2 podniesioną względem zera (linia
przerywana na rysunku) o wartość średnią (ℜ aq + ℜ ad ) / 2 .
Najmniejsza oporność magnetyczna ℜ ad jest w osi d, zaś największa ℜ aq w osi q.
Obciążenie generatora z biegunami wydatnymi
Dla danego obciążenia generatora
(rys. **) przepływ oddziaływania
twornika Fa przenika wirnik pod kątem
β i przechodzi przez szczelinę o
oporności ℜ a odpowiadającej temu
miejscu na obwodzie wirnika (rys. *).
Oznacza to, że oporność ℜ a = ℜ a ( β )
jest funkcją trygonometryczną kąta β,
czyli zależy od rodzaju obciążenia
generatora.
W schemacie zastępczym generatora
oporności magnetycznej ℜ a odpowiada
reaktancja oddziaływania twornika Xa.
Ponieważ ℜ a jest funkcją kąta β , tym
samym również reaktancja X a = X a ( β )
jest funkcją od kąta β, czyli zależy od
rodzaju obciążenia generatora.
W praktyce posługiwanie się
schematem zastępczym, którego
reaktancja zależy od rodzaju
obciążenia X a = X a ( β ) , nie jest
wygodne.
ℜaq
ℜa
ℜad
d
q
obwód
wirnika
q
d
Rys. *. Zmiany oporności magnetycznej
szczeliny wzdłuż obwodu wirnika
d
Fa
Ff
Fd
δf r
Fr
q
Iq
λ
β
Fa
Fad
I
Id
Rys. **. Rozłożenie prądu i przepływu
oddziaływania twornika na składowe ortogonalne
Obciążenie generatora z biegunami wydatnymi
d
Z tego względu w przypadku
generatorów z biegunami wydatnymi
korzysta się z metody Blondela
nazywanej też metodą dwóch reakcji.
Zarówno prąd I jak i odpowiadający
mu przepływ Fa rozkłada (rys. **) się
na dwie składowe ortogonalne o
kierunku zgodnym odpowiednio z osią
d oraz osią q:
F a = F ad + F aq
Fa
Ff
Fd
δf r
Fr
q
Iq
λ
β
Fa
Fad
I
Id
I = Id + Iq
Podobnie można rozłożyć też przepływ
wypadkowy Fr :
F r = F rd + F rq
przy czym
F rd = F ad + F f
F rq = F aq
gdyż w osi d nie ma przepływu
wzbudzenia
Rys. **. Rozłożenie prądu i przepływu
oddziaływania twornika na składowe ortogonalne
W schematach zastępczych generatora opornościom
magnetycznym ℜ ad oraz ℜ aq można
przyporządkować odpowiednio reaktancje Xad oraz
Xaq.
Obciążenie generatora z biegunami wydatnymi
Obowiązuje przy tym zależność Xad> Xaq, gdyż im mniejsza jest oporność magnetyczna
tym większa jest odpowiadająca jej reaktancja, a jak wiadomo ℜ ad < ℜ aq (szerokość
szczeliny w osi q jest większa od szerokości w osi d).
Podobnie jak w przypadku generatora z biegunami utajonymi przepływom Fad oraz Faq
w schematach zastępczych można przyporządkować straty napięcia E aq = − jX ad I d
oraz E ad = − jX aq I q
Można zatem określić napięcie szczelinowe
E r = E f + E aq + E ad = E f − jX ad I d − jX aq I q
opóźnione w stosunku do Fr o kąt o kąt π/2.
Drogą magnetyczną równoległą do drogi oddziaływania twornika jest droga rozproszenia
o oporności ℜ l .
W schemacie zastępczym oporności tej odpowiada reaktancja rozproszenia Xl.
Na reaktancji rozproszenia prąd obciążenia powoduje stratę napięcia jXlI.
Na rezystancji uzwojeń twornika generatora prąd obciążenia powoduje stratę napięcia RI.
Obciążenie generatora z biegunami wydatnymi
Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa
napięcie na zaciskach generatora Ug
określone jest następującym wzorem:
U g = E f − jX d I d − jX q I q − R I
(*)
gdzie X d = X ad + X l oraz X q = X aq + X l
są reaktancjami synchronicznymi
odpowiednio w osi d oraz w osi q. Warto
pamiętać,
ę ć że
ż X ad > X aq . Tym samym
Xd > Xq
Korzystając z sumowania składowych
poszczególnych fazorów pokazanego na tym
wykresie można równanie (*) dla liczb
zespolonych zastąpić dwoma następującymi
równaniami dla liczb rzeczywistych
E q = U gq + RI q − X d I d = E f
(**a)
E d = U gd + RI d + X q I q = 0
(**b)
Schemat zastępczy i wykres fazorowy
generatora synchronicznego z biegunami
wydatnymi w stanie ustalonym
Obciążenie generatora z biegunami wydatnymi
Równania te dotyczą składowych
poszczególnych fazorów w osiach d,q.
Dla składowych prądu i napięcia w
oparciu o wykres fazorowy można
napisać:
I d = − I sin β
I q = I cos β
U gd = −U g sin δ g
U gq = U g cos δ g
(*)
gdzie β = δ g + ϕ g
W równaniu (**a - poprzednia strona)
dotyczącym sumowania napięć w osi q
występuje strata napięcia na reaktancji w osi
d wywołana składową prądu w osi d.
Podobnie, w równaniu (**b - poprzednia
strona) ) dotyczącym sumowania napięć w osi Schemat zastępczy i wykres fazorowy
generatora synchronicznego z biegunami
d występuje strata napięcia na reaktancji w
osi q wywołana składową prądu w osi q.
wydatnymi w stanie ustalonym
Obciążenie generatora z biegunami wydatnymi
Takie połączenie wielości odnoszących
się do obu osi wynika z faktu, że między
stratą napięcia a wywołującym ją
prądem jest przesunięcie o kąt π/2
wynikające z indukcyjnego charakteru
obwodu
Równania
E q = U gq + RI q − X d I d = E f
(*a)
E d = U gd + RI d + X q I q = 0
(*b)
wygodnie jest zapisać macierzowo w
następujący sposób:
 E d  U gd   R
 E  = U  + 
 q   gq  − X d
+ X q I d   0 
 =
R   I q   E f 
W schemacie zastępczym generatora z
biegunami wydatnymi (rys. a) reaktancjom
w obu osiach Xd, Xq, oraz składowym prądu
Id, Iq przyporządkowano oddzielne obwody.
Schemat zastępczy i wykres fazorowy
generatora synchronicznego z biegunami
wydatnymi w stanie ustalonym
Obciążenie generatora z biegunami wydatnymi
W szczególnym przypadku (Xd = Xq)
obwody te można połączyć w jeden
obwód jak w schemacie generatora z
biegunami utajonymi.
Wynika to z równania napięcia na
zaciskach generatora,
U g = E f − jX d I d − jX q I q − R I
które w tym przypadku sprowadza sięę do
równania
U g = E f − jX a I − jX l I − R I = E f − jX d I − R I
gdyż zachodzi
Id + Iq = I
Patrz metodę
Blondela
Schemat zastępczy i wykres fazorowy
generatora synchronicznego z biegunami
wydatnymi w stanie ustalonym
Wykreślanie wykresu fazorowego na podstawie obciążenia
Do wykreślenia wykresu fazorowego w oparciu o powyższe równania niezbędny jest
kąt β pozwalający obliczyć składowe prądu stojana Id oraz Iq w oparciu o wzory
I d = − I sin β
I q = I cos β
U gd = −U g sin δ g
U gq = U g cos δ g
Zwykle jednak ani kąt β ani położenie osi d,q nie są z góry znane i trzeba je najpierw
wyznaczyć w oparciu o napięcie na zaciskach generatora Ug oraz obciążenie generatora
Sg = Pg+jQg
W tym celu trzeba poczynić następujące obserwacje dotyczące wykresu fazorowego. Z
równania
U g = E f − jX d I d − jX q I q − R I
wynika
E f = U g + R I + jX q I + j( X d − X q )I d = E Q + j( X d − X q )I d
gdzie
E Q = U g + ( R + jX q )I
jest fikcyjnym napięciem (rys. na poprzednim slajdzie) leżącym na osi q.
Wyznaczenie tego fikcyjnego napięcia jest więc bardzo pomocne, gdyż pozwala wyznaczyć
kierunek osi q.
Wykreślanie wykresu fazorowego na podstawie obciążenia
Do wyznaczenia
E Q = U g + ( R + jX q )I
nie jest potrzebny rozkład prądu na składowe.
Wystarczy znajomość prądu I oraz jego przesunięcia względem napięcia Ug.
Tok postępowania przy wyznaczaniu wykresu fazorowego
1.
2.
Zakłada się, że oś rzeczywista liczb zespolonych pokrywa się z fazorem napięcia, czyli
Ug=Ug,
Na podstawie zależności określającej moc pozorną generatora Sg = Pg+jQg=3Ug.I
oblicza się prąd I oraz jego argument ϕ g = arg I
3.
Korzystając z wzoru E Q = U g + ( R + jX q )I oblicza się fikcyjne napięcie EQ oraz jego
argument δ g = arg E Q
4.
oblicza się kąt β = δ g + ϕ g
5.
korzystając z wzorów
I d = − I sin β
I q = I cos β
U gd = −U g sin δ g
oblicza się składowe prądu Id, Iq oraz składowe napięcia Ugd, Ugq,
U gq = U g cos δ g
Wykreślanie wykresu fazorowego na podstawie obciążenia
Tok postępowania przy wyznaczaniu wykresu fazorowego (ciąg dalszy)
6.
Korzystając ze wzoru
E q = U gq + RI q − X d I d = E f
oblicza się Eq
7.
całość rachunków można sprawdzić za pomocą równania E d = U gd + RI d + X q I q = 0
Uwzględnienie impedancji transformatora blokowego
Większość generatorów w SEE pracuje na
sieć elektroenergetyczną poprzez
transformatory blokowe podwyższające
napięcie.
Istotne jest omówienie opisu
matematycznego zespołu generatortransformator blokowy.
Schemat i wykres fazorowy takiego układu z
generatorem z biegunami utajonymi
pokazano na rys. *.
Transformator blokowy odwzorowano za
pomocą impedancji RT + jX T
Do napięcia Ug dodaje się stratę napięcia UT
na impedancji transformatora uzyskując
napięcie U.
Rys. *. Schemat zastępczy i wykres fazorowy w
stanie ustalonym zespołu składającego się z
generatora synchronicznego z biegunami
utajonymi i transformatora blokowego
Uwzględnienie impedancji transformatora blokowego
Analogicznie do
U g = E f − jX a I − jX l I − R I = E f − jX d I − R I
Można napisać U = E f − jX d I − R I − jX T I − RT I = E f − j( X d + X T )I − (R + RT )I
Lub w skrócie
U = E f − jx d I − r I
gdzie xd = X d + X T jest reaktancją
generatora powiększoną o reaktancję
transformatora,
podobnie r = R + RT jest rezystancją
generatora powiększoną o rezystancję
transformatora.
Rys. *. Schemat zastępczy i wykres fazorowy w
stanie ustalonym zespołu składającego się z
generatora synchronicznego z biegunami
utajonymi i transformatora blokowego
Uwzględnienie impedancji transformatora blokowego
U g = E f − jX d I d − jX q I q − R I
Dla generatora z biegunami wydatnymi analogicznie do wzoru
otrzymuje się
U g = E f − jX d I d − jX q I q − R I − X T I − RT I
(
)
= E f − jX d I d − jX q I q − R I − X T I d + I q − RT I
lub w skrócie
gdzie
U g = E f − jx d I d − jx q I q − r I
xd = X d + X T
Stąd analogicznie do
xq = X q + X T
r = R + RT
E q = U gq + RI q − X d I d = E f
E d = U gd + RI d + X q I q = 0
Składowe d i q siły elektromotorycznej E można wyrazić następującymi wzorami
E d = U d + rI d + xq I q = 0
E q = U q + rI q − xd I d = E f
gdzie
I d = − I sin β
I q = I cos β
U q = U cos δ gt
U d = −U sin δ gt
a
β = δ gt + ϕ
przy czym δgt jest argumentem siły elektromotorycznej generatora względem
napięcia na zaciskach bloku generator – transformator
Uwzględnienie impedancji transformatora blokowego
Czyli dla zespołu generator- transformator wzory są takie same jak dla samego generatora
lecz reaktancje i rezystancja muszą być powiększone odpowiednio o reaktancję i
rezystancję transformatora.
Równania na składowe d i q siły elektromotorycznej E łatwo zapisać macierzowo w
następujący sposób:
 E d  U d   r
 E  = U  + 
 q   q  − xd
+ xq   I d   0 
I  =  

r   q   Ef 
Należy również pamiętać, że kąt fazowy między prądem i napięciem jest inny dla napięcia
na zaciskach generatora Ug oraz napięcia U na zaciskach transformatora blokowego po
stronie wysokiego napięcia.
Tym samym moce mierzone po obu stronach transformatora są inne. Różnią się stratami
odpowiednio mocy czynnej i biernej.