Najlepsze odpowiedzi (nie tylko w grach macierzowych)

Najlepsze odpowiedzi
(nie tylko w grach macierzowych)
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 1/10
Rozgrzewka
Gra małżeńska
T
T
M
(1,7) (0,0)
M (0,0) (7,1)
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 2/10
Rozgrzewka
Polowanie: królik 5, niedźwiedź 20 (dla każdego).
Wszyscy na niedźwiedzia: niedźwiedź złapany,
nie wszyscy na niedźwiedzia: niedźwiedź na wolności.
Królika każdy umie złapać sam.
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 3/10
Rozgrzewka
X
A
1,4
B
C
2,12 0,9
Y
3,0
1,2
0,1
Z 1,12
1,0
5,3
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 4/10
Rozgrzewka
A
L
0,0
P
0,0
B -2,1 1,-2
C 1,-2 -2,1
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 5/10
Rozgrzewka
A
L
0,0
P
0,0
B -2,1 1,-2
Gracz drugi gra L
C 1,-2 -2,1
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 5/10
Rozgrzewka
A
L
0,0
P
0,0
B -2,1 1,-2
Gracz drugi gra 12 L + 12 P
C 1,-2 -2,1
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 5/10
Rozgrzewka
A
L
0,0
P
0,0
B -2,1 1,-2
Gracz pierwszy gra A
C 1,-2 -2,1
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 5/10
Najlepsze odpowiedzi
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 6/10
Najlepsze odpowiedzi
Strategia σi ∈ Mi jest najlepsza˛ odpowiedzia˛ gracza i na
układ strategii σ̄−i przeciwników, gdy
∀
′
wi (σ̄−i ; σi′ ) 6 wi (σ̄−i ; σi )
(∗)
σi ∈Mi
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 6/10
Najlepsze odpowiedzi
Strategia σi ∈ Mi jest najlepsza˛ odpowiedzia˛ gracza i na
układ strategii σ̄−i przeciwników, gdy
∀
′
wi (σ̄−i ; σi′ ) 6 wi (σ̄−i ; σi )
(∗)
σi ∈Mi
Mbest
– zbiór najlepszych odpowiedzi gracza i
i
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 6/10
Najlepsze odpowiedzi
Strategia σi ∈ Mi jest najlepsza˛ odpowiedzia˛ gracza i na
układ strategii σ̄−i przeciwników, gdy
∀
′
wi (σ̄−i ; σi′ ) 6 wi (σ̄−i ; σi )
(∗)
σi ∈Mi
Mbest
– zbiór najlepszych odpowiedzi gracza i
i
σi jest najlepsza˛ odpowiedzia˛ na σ̄−i }
Mbest
= {σi ∈ Mi :
∃
i
σ̄−i ∈M−i
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 6/10
Najlepsze odpowiedzi
Strategia σi ∈ Mi jest najlepsza˛ odpowiedzia˛ gracza i na
układ strategii σ̄−i przeciwników, gdy
∀
′
wi (σ̄−i ; σi′ ) 6 wi (σ̄−i ; σi )
(∗)
σi ∈Mi
A
L
0,0
P
0,0
B -2,1 1,-2
Mbest
=?
2
C 1,-2 -2,1
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 6/10
Najlepsze odpowiedzi
Strategia σi ∈ Mi jest najlepsza˛ odpowiedzia˛ gracza i na
układ strategii σ̄−i przeciwników, gdy
∀
′
wi (σ̄−i ; σi′ ) 6 wi (σ̄−i ; σi )
(∗)
σi ∈Mi
A
L
0,0
P
0,0
B -2,1 1,-2
A jest n.o. na 12 L + 12 P ?
C 1,-2 -2,1
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 6/10
Najlepsze odpowiedzi
Strategia σi ∈ Mi jest najlepsza˛ odpowiedzia˛ gracza i na
układ strategii σ̄−i przeciwników, gdy
∀
′
wi (σ̄−i ; σi′ ) 6 wi (σ̄−i ; σi )
(∗)
σi ∈Mi
A
L
0,0
P
0,0
B -2,1 1,-2
Mbest
=?
1
C 1,-2 -2,1
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 6/10
Najlepsze odpowiedzi - własności
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 7/10
Najlepsze odpowiedzi - własności
(NO1) Warunek
(∗)
∀
σi′ ∈Mi
wi (σ̄−i ; σi′ ) 6 wi (σ̄−i ; σi )
wystarczy sprawdzić dla wszystkich si ∈ Si (zamiast σi′ ∈ Mi ).
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 7/10
Najlepsze odpowiedzi - własności
(NO1) Warunek
(∗)
∀
σi′ ∈Mi
wi (σ̄−i ; σi′ ) 6 wi (σ̄−i ; σi )
wystarczy sprawdzić dla wszystkich si ∈ Si (zamiast σi′ ∈ Mi ).
(NO2) Na każdy układ strategii σ̄−i przeciwników gracz i ma najlepsza˛
odpowiedź bed
˛ ac
˛ a˛ strategia˛ czysta.
˛
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 7/10
Najlepsze odpowiedzi - własności
(NO1) Warunek
(∗)
∀
σi′ ∈Mi
wi (σ̄−i ; σi′ ) 6 wi (σ̄−i ; σi )
wystarczy sprawdzić dla wszystkich si ∈ Si (zamiast σi′ ∈ Mi ).
(NO2) Na każdy układ strategii σ̄−i przeciwników gracz i ma najlepsza˛
odpowiedź bed
˛ ac
˛ a˛ strategia˛ czysta.
˛
(NO3) Jeżeli σi jest najlepsza˛ odpowiedzia˛ na σ̄−i , to każda strategia
czysta z nośnika σi daje te˛ sama˛ wypłate˛ wi w odpowiedzi na σ̄−i .
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 7/10
Najlepsze odpowiedzi - własności
(NO1) Warunek
(∗)
∀
σi′ ∈Mi
wi (σ̄−i ; σi′ ) 6 wi (σ̄−i ; σi )
wystarczy sprawdzić dla wszystkich si ∈ Si (zamiast σi′ ∈ Mi ).
(NO2) Na każdy układ strategii σ̄−i przeciwników gracz i ma najlepsza˛
odpowiedź bed
˛ ac
˛ a˛ strategia˛ czysta.
˛
(NO3) Jeżeli σi jest najlepsza˛ odpowiedzia˛ na σ̄−i , to każda strategia
czysta z nośnika σi daje te˛ sama˛ wypłate˛ wi w odpowiedzi na σ̄−i .
(NO4) σi jest n.o. na σ̄−i wtedy i tylko wtedy, gdy każda strategia czysta z
nośnika σi jest najlepsza˛ spośród str. czystych odpowiedzia˛ na σ̄−i .
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 7/10
Najlepsze odpowiedzi - własności
(NO1) Warunek
(∗)
∀
σi′ ∈Mi
wi (σ̄−i ; σi′ ) 6 wi (σ̄−i ; σi )
wystarczy sprawdzić dla wszystkich si ∈ Si (zamiast σi′ ∈ Mi ).
(NO2) Na każdy układ strategii σ̄−i przeciwników gracz i ma najlepsza˛
odpowiedź bed
˛ ac
˛ a˛ strategia˛ czysta.
˛
(NO3) Jeżeli σi jest najlepsza˛ odpowiedzia˛ na σ̄−i , to każda strategia
czysta z nośnika σi daje te˛ sama˛ wypłate˛ wi w odpowiedzi na σ̄−i .
(NO4) σi jest n.o. na σ̄−i wtedy i tylko wtedy, gdy każda strategia czysta z
nośnika σi jest najlepsza˛ spośród str. czystych odpowiedzia˛ na σ̄−i .
L
P
A
0,0
0,0
B
-2,1
1,-2
C
1,-2
-2,1
A jest n.o. na 21 L + 12 P ?
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 7/10
Najlepsze odpowiedzi - własności
(∗)
(NO1) Warunek
∀
σi′ ∈Mi
wi (σ̄−i ; σi′ ) 6 wi (σ̄−i ; σi )
wystarczy sprawdzić dla wszystkich si ∈ Si (zamiast σi′ ∈ Mi ).
(NO2) Na każdy układ strategii σ̄−i przeciwników gracz i ma najlepsza˛
odpowiedź bed
˛ ac
˛ a˛ strategia˛ czysta.
˛
(NO3) Jeżeli σi jest najlepsza˛ odpowiedzia˛ na σ̄−i , to każda strategia
czysta z nośnika σi daje te˛ sama˛ wypłate˛ wi w odpowiedzi na σ̄−i .
(NO4) σi jest n.o. na σ̄−i wtedy i tylko wtedy, gdy każda strategia czysta z
nośnika σi jest najlepsza˛ spośród str. czystych odpowiedzia˛ na σ̄−i .
L
P
A
6
0
B
0
6
C
4
4
D
1
5
Co jest n.o. na 13 L + 23 P ?
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 7/10
Najlepsze odpowiedzi - własności
(NO1) Warunek
(∗)
∀
σi′ ∈Mi
wi (σ̄−i ; σi′ ) 6 wi (σ̄−i ; σi )
wystarczy sprawdzić dla wszystkich si ∈ Si (zamiast σi′ ∈ Mi ).
(NO2) Na każdy układ strategii σ̄−i przeciwników gracz i ma najlepsza˛
odpowiedź bed
˛ ac
˛ a˛ strategia˛ czysta.
˛
(NO3) Jeżeli σi jest najlepsza˛ odpowiedzia˛ na σ̄−i , to każda strategia
czysta z nośnika σi daje te˛ sama˛ wypłate˛ wi w odpowiedzi na σ̄−i .
(NO4) σi jest n.o. na σ̄−i wtedy i tylko wtedy, gdy każda strategia czysta z
nośnika σi jest najlepsza˛ spośród str. czystych odpowiedzia˛ na σ̄−i .
(NO4’) σi jest n.o. na σ̄−i wtedy i tylko wtedy, gdy każda strategia czysta z
nośnika σi jest najlepsza˛ odpowiedzia˛ na σ̄−i .
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 7/10
Najlepsze odpowiedzi - własności
(NO1) Warunek
(∗)
∀
σi′ ∈Mi
wi (σ̄−i ; σi′ ) 6 wi (σ̄−i ; σi )
wystarczy sprawdzić dla wszystkich si ∈ Si (zamiast σi′ ∈ Mi ).
(NO2) Na każdy układ strategii σ̄−i przeciwników gracz i ma najlepsza˛
odpowiedź bed
˛ ac
˛ a˛ strategia˛ czysta.
˛
(NO3) Jeżeli σi jest najlepsza˛ odpowiedzia˛ na σ̄−i , to każda strategia
czysta z nośnika σi daje te˛ sama˛ wypłate˛ wi w odpowiedzi na σ̄−i .
(NO4) σi jest n.o. na σ̄−i wtedy i tylko wtedy, gdy każda strategia czysta z
nośnika σi jest najlepsza˛ spośród str. czystych odpowiedzia˛ na σ̄−i .
(NO4’) σi jest n.o. na σ̄−i wtedy i tylko wtedy, gdy każda strategia czysta z
nośnika σi jest najlepsza˛ odpowiedzia˛ na σ̄−i .
(NO5) Nie zawsze strategia rozpieta
˛ na strategiach czystych z Mbest
jest
i
najlepsza˛ odpowiedzia.
˛
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 7/10
Najlepsze odpowiedzi - własności
(NO1) Warunek
(∗)
∀
σi′ ∈Mi
wi (σ̄−i ; σi′ ) 6 wi (σ̄−i ; σi )
wystarczy sprawdzić dla wszystkich si ∈ Si (zamiast σi′ ∈ Mi ).
(NO2) Na każdy układ strategii σ̄−i przeciwników gracz i ma najlepsza˛
odpowiedź bed
˛ ac
˛ a˛ strategia˛ czysta.
˛
(NO3) Jeżeli σi jest najlepsza˛ odpowiedzia˛ na σ̄−i , to każda strategia
czysta z nośnika σi daje te˛ sama˛ wypłate˛ wi w odpowiedzi na σ̄−i .
(NO4) σi jest n.o. na σ̄−i wtedy i tylko wtedy, gdy każda strategia czysta z
nośnika σi jest najlepsza˛ spośród str. czystych odpowiedzia˛ na σ̄−i .
(NO4’) σi jest n.o. na σ̄−i wtedy i tylko wtedy, gdy każda strategia czysta z
nośnika σi jest najlepsza˛ odpowiedzia˛ na σ̄−i .
(NO5) Nie zawsze strategia rozpieta
˛ na strategiach czystych z Mbest
jest
i
najlepsza˛ odpowiedzia.
˛
(NO6) Strategia zdominowana nie może być najlepsza˛ odpowiedzia.
˛
Mbest
⊆ Mndom
i
i
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 7/10
ndom
Twierdzenie. W grach dwumacierzowych Mbest
=
M
.
i
i
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 8/10
ndom
Twierdzenie. W grach dwumacierzowych Mbest
=
M
.
i
i
n > 3 nie
W3 :
L P
G 3 0
L P
G 0 3
L P
G 0 0
L P
G 2 0
D 0
D 3
D 0
D 0
X
0
Y
0
Z
3
2
V
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 8/10
ndom
Twierdzenie. W grach dwumacierzowych Mbest
=
M
.
i
i
n > 3 nie
W3 :
L P
G 3 0
L P
G 0 3
L P
G 0 0
L P
G 2 0
D 0
D 3
D 0
D 0
0
X
Y
0
Z
3
2
V
V ∈ Mndom
3
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 8/10
ndom
Twierdzenie. W grach dwumacierzowych Mbest
=
M
.
i
i
n > 3 nie
W3 :
L P
G 3 0
L P
G 0 3
L P
G 0 0
L P
G 2 0
D 0
D 3
D 0
D 0
0
X
Y
0
Z
3
2
V
V ∈ Mndom
3
V 6∈ Mbest
3
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 8/10
ndom
Twierdzenie. W grach dwumacierzowych Mbest
=
M
.
i
i
n > 3 nie
W3 :
L P
G 3 0
L P
G 0 3
L P
G 0 0
L P
G 2 0
D 0
D 3
D 0
D 0
0
X
Y
0
Z
3
2
V
V ∈ Mndom
3
V 6∈ Mbest
3



(2 − p1 )(2 − q1 ) > 2
(p1 + 1)(q1 + 1) > 2


 1
1
( 2 − p1 )( 21 − q1 ) > 20
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 8/10
Metody graficzne wyznaczania
best
Mi
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 9/10
Metody graficzne wyznaczania
best
Mi
Przykład 1.
L P
A 6 0
B 0
6
C 4
4
D 1
5
na co B i C sa˛ najl.odp. jednoczesnie?
najl.odp. na 13 L + 23 P ?
Mbest
=?
1
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 9/10
Metody graficzne wyznaczania
best
Mi
Przykład 2.
L P
A 6 0
B 0
6
C 4
4
D 2
5
na co B i C sa˛ najl.odp. jednoczesnie?
najl.odp. na 13 L + 23 P ?
Mbest
=?
1
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 9/10
Metody graficzne wyznaczania
best
Mi
Przykład 3.
L P
A 6 0
B 0
6
C 4
4
D 6
1
na co B i C sa˛ najl.odp. jednoczesnie?
najl.odp. na 13 L + 23 P ?
Mbest
=?
1
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 9/10
N.o. w grach o sumie zerowej
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 10/10
N.o. w grach o sumie zerowej
Przykład 4.
L P
A 6 0
B 0
6
C 4
4
D 1
5
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 10/10
N.o. w grach o sumie zerowej
Przykład 5.
X Y
A -3 -2
Z
2
V
-1
X
Y
Z
V
A -3,3 -2,2 2,-2 -1,1
B -1 -1 -3
3
B -1,1 -1,1 -3,3 3,-3
C
0
-1
1
0
C
0,0
-1,1 1,-1
0,0
D -3 -2
4
-3
D -3,3 -2,2 4,-4 -3,3
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 10/10
N.o. w grach o sumie zerowej
(PB7) Strategie optymalne sa˛ najlepszymi odpowiedziami na
siebie nawzajem.
Najlepsze odpowiedzi(nie tylko w grach macierzowych) – p. 10/10