U b e zp ie c ze n ia ż y c io w e 1

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa 10
Ubezpieczenia yciowe 1
Ubezpieczenia yciowe, to ubezpieczenia,
w których w zamian za wniesion przez
ubezpieczonego składk , ubezpieczyciel
( zakład ubezpieczeniowy) wypłaca
ubezpieczonemu lub uposa onemu
( uprawnionemu przez ubezpieczonego) w
ustalonych terminach wiadczenia
ubezpieczeniowe, w przypadku
wyst pienia, lub niewyst pienia,
okre lonych wypadków losowych
zwi zanych z yciem ubezpieczonego.
Typowe ubezpieczenia yciowe:
1. Bezterminowe ubezpieczenie na ycie
(na wypadek mierci) - zakład
ubezpieczeniowy zobowi zuje sie do
wypłaty wiadczenia w wypadku mierci
ubezpieczonego, niezale nie od tego, kiedy
do niej dojdzie (ale do 100 roku ycia).
2. Terminowe ubezpieczenie na ycie zapewnia wypłat wiadczenia osobie
uprawnionej przez ubezpieczonego na
wypadek jego mierci w okresie trwania
ubezpieczenia; je li ubezpieczony prze yje
ustalony w umowie okres czasu (zwykle
1-20 lat), to nie przysługuje adne
wiadczenie; w przypadku ubezpiecze
grupowych okres trwania ubezpieczenia
jest krótki (zwykle 1 rok), a składka
jednorazowa.
3. Ubezpieczenie na do ycie ubezpieczenie to zakłada wypłat
wiadczenia ubezpieczonemu w momencie,
gdy do yje on czasu okre lonego w umowie
(cz
spo ród ubezpieczonych otrzymuje
atrakcyjniejsze wiadczenie ni w
przypadku konta oszcz dno ciowego,
poniewa reszta umiera przed ko cem
okresu ubezpieczenia i zakład ubezpiecze
nie musi im nic wypłaca ).
4. Ubezpieczenie na ycie i do ycie
(mieszane) - zawiera ono w sobie
terminowe ubezpieczenie na ycie i
ubezpieczenie na do ycie. W umowie
ustalony jest okres trwania ubezpieczenia
(zwykle do 20 lat), w czasie którego mier
ubezpieczonego zobowi zuje
ubezpieczyciela do wypłaty wiadczenia
uposa onemu. Je li ubezpieczony do yje
okre lonego wieku, to zakład ubezpiecze
wypłaca mu wiadczenie.
5. Ubezpieczenie na ycie i do ycie z
funduszem inwestycyjnym - jest
ubezpieczeniem na ycie i do ycie, mo e w
nim by z góry okre lona gwarantowana
minimalna warto
wiadczenia w wypadku
mierci, jednak pełna warto
wiadczenia
w wypadku mierci, a tak e do ycia zale y
od stopy zwrotu w funduszu inwestycyjnym.
6. Ubezpieczenie posagowe i rentowe jest to ubezpieczenia zaopatrzenia dzieci.
Dziecko otrzyma wiadczenie, gdy do yje
okre lonego wieku, niezale nie od tego czy
ubezpieczony tak e do yje momentu jego
wypłaty. Je li ubezpieczony umrze
wcze niej, zakład ubezpiecze odstepuje
od pobierania składek, ale umowa
ubezpieczeniowa nadal obowi zuje. Je li
dziecko umrze wcze niej, umowa wygasa,
a ubezpieczyciel nie wypłaca wiadczenia,
ale zwraca ubezpieczonemu wpłacone
składki.
Czas trwania ycia - model
Pr T x
t
Gx t
0
t
g x t dt –
probabilistyczny, tablice trwania ycia
Punktem wyj cia do ustalania wysoko ci
składek w ubezpieczeniach yciowych jest
analiza czasu trwania ludzkiego ycia jako
zjawiska o charakterze losowym.
Niech zmienna losowa T x oznacza
dalszy czas trwania ycia osoby w wieku
x (osoba ta umiera w wieku x T x ), a
g x t , t 0, g sto rozkładu zmiennej
losowej T x .
W tradycji aktuarialnej stosowane s
oznaczenia:
tqx
prawdopodobie stwo, e osoba w wieku x
umrze w ci gu t dalszych lat; G x t
gx t
Pr T x t
1 Gx t –
tpx
prawdopodobie stwo, e osoba w wieku x
prze yje (co najmniej) t dalszych lat
Uwaga:
1) Zamiast 1 p x pisze si p x , a zamiast 1 q x
pisze si q x
2) interpretuj c p x k jako
prawdopodobie stwo warunkowe prze ycia
przez x-latka kolejnych k 1 lat pod
kpx
px
k
k 1px
warunkiem, e prze yje on co najmniej k lat
(p x k Pr T x k 1 T k ), mamy
równo :
ex
E Tx
0
t g x t dt
Oczekiwany czas trwania ycia oznacza
si symbolem e x i definiuje si jako warto
oczekiwan zmiennej losowej T x :
t p x dt
0
0
1
1
t
G x t dt
Gx t
t g x t dt
0
0
1
0
gx t
Gx t
tdt
t dt
Mo na wykaza , całkuj c przez cz ci i
korzystaj c z własno ci dystrybuanty, e
0
czyli
E Kx
k
ex
kpx
0
k 1
t p x dt
qx
k
k Pr K x
k
W praktyce stosuje si zmienn losow
dyskretn K x
T x , której warto ci to
całkowite liczby pełnych lat ycia, jakie
pozostały osobie w wieku x, a oczekiwan
warto zmiennej losowej K x oznaczamy
symbolem e x i wyliczamy z wzoru:
ex
k 1
gdzie:
k p x - prawdopodobie stwo, e osoba w
wieku x prze yje co najmniej k dalszych lat
q x k - prawdopodobie stwo, e osoba w
wieku x k umrze w ci gu roku
Pr K x k kpx qx k
prawdopodobie stwo, e osoba w wieku x
umrze mi dzy x k, a x k 1 rokiem
dalszego ycia.
k 1
j 1
k
k 1 j 1
Pr K x
k Pr K x
k j
a jk
k
k
k 1
j 1
k j
k
a jk
Pr K x
Pr K x
k 1 j 1
j 1
kpx
tq x
k
j
k
j 1
Korzystaj c z wzoru na zamian kolejno ci
w sumowaniu
mamy
ex
czyli
ex
tqx k
ex
ciej
Przy zało eniu jednostajnego rozkładu
zgonów w ci gu roku, dla 0 t 1
zachodzi
oraz:
ex
1
2
W praktyce ubezpieczeniowej cz
jpx
u ywane jest e x .
Tablice trwania ycia
Tablice publikowane s w Polsce przez
Główny Urz d Statystyczny. Maj one
form tabel (wspólnych oraz osobno dla
m czyzn i osobno dla kobiet), w których
znajduj si dane:
x – wiek w latach i miesi cach,
l x – rednia liczba do ywaj cych wieku x
spo ród pocz tkowej liczby 100000
noworodków,
d x l x l x 1 – rednia liczba zgonów w
przedziale wieku od x do x 1
L x – rednia ogólna liczba prze ytych lat
pomi dzy wiekiem x i x 1 z pocz tkowej
grupy 100000 noworodków,
T x – rednia ogólna liczba prze ytych lat
powy ej wieku x dla pocz tkowej grupy
100000 noworodków,
e x – oczekiwana dalsza długo trwania
ycia dla osoby w wieku x.
Na podstawie tablic przyjmuje si
szacowane prawdopodobie stwa:
tpx
tpx
t
tqx
qx
ex
lx t
lx
tdx
lx
lx t
lx
1
lx
k 1
t
k
lx
t
lx
lx lx
lx
lx
lx
t
t 1
lx
t
lx
lx
t 1