x Ameryki

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8
Wycena papierów wartościowych
W ujęciu probabilistycznym cena akcji w
momencie t jest zmienną losową P t o
pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie
prawdopodobieństwa, a zatem i stopa
zwrotu (zwrot) R t z inwestycji w akcję na
okres t − 1, t (kupno w momencie t − 1,
sprzedaŜ w momencie t) jest zmienną
losową
P t − p t−1 + D t−1,t
,
p t−1
tzn. moŜe przyjąć pewne wartości
r t,1 , . . . , r t,m z pewnym (zwykle nieznanym)
prawdopodobieństwem:
Rt =
PR t = r t,1  = p 1 , . . . , PR t = r t,m  = p m .
”Ryzyko” σR t  dla akcji to odchylenie
standardowe zmiennej losowej R t :
σR t  =
VarR t  =
ER t − ER t  2  .
Uwaga. Do obliczeń przyjmuje się
”empiryczną wartość oczekiwaną” (=
średnia arytmetyczna rzeczywistych stóp
zwrotu r t−n dla akcji w minionych okresach
t − n − 1, t − n, n = 1, 2, . . . , m :
m
1
r̄ t = m
∑ r t−n ,
n=1
oraz ”empiryczne odchylenie standardowe”:
m
σ̄ =
”Zwrot” tj. wartość oczekiwana ER t  stopy
zwrotu:
ER t  = r t,1 p 1 +. . . +r t,m p m .
1
m−1
∑r t−n − r̄ t  2
.
n=1
Kontrakt terminowy (Futures) to papier
wartościowy zobowiązujący jedną ze stron
do zakupu (pozycja długa - long), a drugą
do sprzedaŜy (pozycja krótka - short)
bazowego papieru wartościowego lub
towaru po ustalonej cenie X w ustalonym
okresie T, T + Δ .
PoniewaŜ
fT = ST − X
W chwili t < T :
portfel A : kontrakt (f t ) plus kwota
dająca X po czasie T − t  (Xe −δT−t )
portfel B : papier bazowy (S t )
100
80
60
40
20
0
-20
20 40 60 80 100
s 120 140 160 180 200
-40
-60
-80
w chwili T : portfele A i B dają papier
bazowy, więc
V A T = V B T = S T  V A t = V B t
 f t + Xe −δT−t = S t
-100
to wartość teoretyczna f t kontraktu
terminowego (dla pozycji długiej) w
momencie t ≤ T :
f t = S t − Xe −δT−t .
gdzie:
S t - rzeczywista cena bazowego
papieru (towaru) w momencie t ,
δ - siła oprocentowania (= nominalna
stopa procentowa do kapitalizacji
ciągłej) dla lokat bezpiecznych (np.
obligacji rządowych).
4. Opcja kupna (call) to papier wartościowy
dający prawo (ale nie obowiązek) do
zakupu bazowego papieru wartościowego
(towaru) po ustalonej cenie X w ustalonym
momencie T (opcja europejska), albo do
ustalonego momentu T (opcja
amerykańska).
Wartość teoretyczna c T - dla europejskiej,
C T - dla amerykańskiej opcji kupna w
momencie T :
c T = C T = S T − X  + = maxS T − X, 0 .
maxS − 100, 0
d
Φd =
100
80
60
d=
40
20
0
20
40
60
80
100
S 120 140 160 180 200
Wartość teoretyczna c t - dla europejskiej,
C t - dla amerykańskiej opcji kupna akcji w
momencie t < T
c t > f t = S t − Xe −δT−t .
(wg modelu Blacka - Scholesa):
c t = C t = cS t , t = S t Φd − Xe −δT−t Φd − σ T − t ,
gdzie:
σ - odchylenie standardowe stopy
zwrotu R t dla akcji,
Φ - dystrybuanta rozkładu normalnego
N0; 1 :
ln
St
X
1
2Π
+ δ +
∫e
2
− x2
dx ,
−∞
σ2
2
T − t
σ T−t
.
Uwaga. Mamy zawsze
c t > S t − Xe −δT−t .
5. Opcja sprzedaŜy (put) to papier
wartościowy dający prawo (ale nie
obowiązek) do zakupu bazowego papieru
wartościowego (towaru) po ustalonej cenie
X w ustalonym momencie T (opcja
europejska), albo do ustalonego momentu
T (opcja amerykańska).
Wartość teoretyczna p T - dla europejskiej,
P T - dla amerykańskiej opcji sprzedaŜy w
momencie T :
p T = P T = maxX − S T , 0 .
W chwili t < T :
portfel A : opcja kupna (c t ) plus kwota
dająca X po czasie T − t  (Xe −δT−t )
portfel B : opcja sprzedaŜy (p t ) plus
papier bazowy (S t )
100
80
60
40
20
0
20
40
60
80
100
S 120 140 160 180 200
w chwili T : portfele A i B mają wartości:
Wartość teoretyczna p t dla europejskiej
opcji sprzedaŜy akcji w momencie t < T
spełnia warunek parytetu ”kupno sprzedaŜ”:
p t + S t = c t + Xe −δT−t ,
stąd
p t = S t Φd − 1 − Xe −δT−t Φd − σ T − t  − 1
= −S t Φ−d + Xe −δT−t Φ−d + σ T − t  .
V A T =
V B T =
ST
gdy S T > X
X + 0 gdy S T ≤ X
S T + 0 gdy S T > X
X
gdy S T ≤ X
V A T = V B T
 V A t = V B t  c t + Xe −δT−t = p t + S t
Wyjaśnienie warunku:
Ct = ct
Wyjaśnienie warunku:
p t + S t = c t + Xe −δT−t ,
W chwili t < T :
portfel A : opcja kupna (C t ) plus kwota
dająca X po czasie T − t  (Xe −δT−t )
w chwili T : portfele A w przypadku realizacji
opcji w momencie t ma w momencie t
wartość:
V rA t = S t − X + Xe −δT−t
a w przypadku niezrealizowania opcji
V nA t = C t + Xe −δT−t
czyli więcej niŜ maksymalny zysk X, w
przypadku przetrzymania opcji do momentu
T.
Wartość teoretyczna futures (dla pozycji
długiej) w zaleŜności od momentu t oraz
ceny S (przy X = 100, T = 1, dla δ = 0. 9
oraz dla δ = 0 :
W chwili T :
V rA T = S T − Xe δT−t + X < S T
a w przypadku niezrealizowania opcji
V nA t = C T + X = maxS T − X, 0 + X = maxS T , X.
Uwaga. Dla amerykańskiej opcji sprzedaŜy
akcji moŜna podać tylko oszacowanie
wartości teoretycznej P t :
P t + S t > C t + Xe −δT−t
P t > C t + Xe −δT−t − S t .
Jeśli S t < X − X e −δT−t , to wykonanie
opcji amerykańskiej w momencie t < T daje
w momencie T wartość X − S t e δT−t > X,
1
0.8
150 0.6
t
100 0.4
0.2
50
0
-50
50
S
100
150
200
-100
f t = S − 100 exp−0. 91 − t
ft
Wartość teoretyczna futures (dla pozycji
długiej) w zaleŜności od ceny S (przy
X = 100, T = 1, δ = 0. 9 dla t = 0. 25, t = 0. 5
t = 0. 75, t = 0. 95 :
100
80
60
40
20
150
0
100
0.2
0.4
t
0.6
0.8
1
-20
50
0
20
40
60
80
100
S
120
140
160
180
200
-50
-100
Cena teoretyczna opcji call w zaleŜności od
momentu t oraz ceny S (przy
X = 100, T = 1, dla δ = 0. 3, σ = 0. 4 oraz dla
δ = 0, σ = 0 :
Wartość teoretyczna futures (dla pozycji
długiej) w zaleŜności od momentu t (przy
X = 100, T = 1, δ = 0. 9, dla S = 75, 100,
125, 150 :
100
1
0.8
0.6
t
50 0.4
0.2
0
50
S
100
150
200
Cena teoretyczna opcji call w zaleŜności od
ceny S (przy X = 100, T = 1,
δ = 0. 3, σ = 0. 4 dla t = 0. 25, t = 0. 5
t = 0. 75, t = 0. 95 :
70
60
50
40
30
20
10
120
0
100
80
60
40
20
0
20
40
60
80
100
S
120
140
160
180
200
Cena teoretyczna opcji call w zaleŜności od
momentu t (przy
X = 100, T = 1, δ = 0. 3, σ = 0. 4 dla S = 75,
100, 125, 150 :
0.2
0.4
t
0.6
0.8
1