ROZK LADY I PROCESY ZWI AZANE ZE S LAB A STABILNOSCI A.

ROZKÃLADY I PROCESY ZWIAZANE
ZE SÃLABA, STABILNOŚCIA.
,
,
BARBARA H. JASIULIS
Streszczenie. Niech P (P+ ) oznacza zbiór miar probabilistycznych określonych odpowiednio na B(R)(B([0, ∞)). K.Urbanik zdefiniowaÃl splot uogólniony jako Ãlaczne,
przemienne
,
P+ wartościowe dziaÃlania binarne ¤ na P+ 2 , które jest ciagÃ
l
e
ze
wzgl
edu
na
każda, zmi,
,
enna, z osobna. Sploty uogólnione zachowuja, sie, liniowo i przenosza, skalowania Ta (a > 0)
na liniowych kombinacjach wypukÃlych. Elementem neutralnym tak określonej algebry
jest δ0 . Ponadto kluczowym aksjomatem splotów uogónionych jest istnienie ciagu
do,
datnich staÃlych normujacych
(c
)
oraz
miary
ν
∈
P
\{0}
takich,
że
n
n
+
,
Tcn δ1¤n ⇒ ν.
Podczas odczytu zostana, zdefiniowane sploty uogólnione na P 2 . Jedynym aksjomatem
z definicji K. Urbanika budzacym
watpliwości
dla splotów uogólnionych na P 2 jest
,
,
powyższy, bed
analogiem prawa wielkich liczb. Uzyskamy odpowiedź na pytanie
,
, acy
jak ten warunek zastapić
oraz kiedy jest speÃlniony. Jako przykÃlad splotów tego typu
,
podamy sÃlabe sploty uogólnione wprowadzone w 2006 r przez J. Misiewicz. Definicja
wywodzi sie, z pojecia
rozkÃladów sÃlabo stabilnych.
,
Powiemy, że µ ∈ P(E), gdzie E jest ośrodkowa, rzeczywista, przestrzenia, Banacha, jest
sÃlabo stabilny jeśli
∀
a, b ∈ R
∃ λ∈P
Ta µ ∗ Tb µ = λ ◦ µ
lub równoważnie
∀ λ1 , λ 2 ∈ P
∃
λ∈P
λ1 ◦ µ ∗ λ2 ◦ µ = λ ◦ µ.
Wtedy sÃlabym splotem uogólnionym λ1 i λ2 wzgledem
µ (ozn. λ1 ⊕µ λ2 ) nazywamy
,
½
λ
jeśli µ jest niesymetryczna,
λ1 ⊕µ λ2 =
|λ| jeśli µ jest symetryczna.
gdzie |λ| rozumiemy jako symetryzacje, λ. Badanie rozkÃladów sÃlabo stabilnych jest ważne
ze wzgledu
na to, że tylko one pojawiaja, sie, jako punkty ekstremalne dla rodzin rozkÃladów
,
pseudo-izotropowych we wszystkich zbadanych jak dotad
, przypadkach. W przypadku
quasi-normy typu l1 otrzymujemy rozkÃlady Cambanisa, Keenera i Simonsa. Dla rodziny
rozkÃladów pseudo-izotropowych z quasi-norma, typu l2 pojawiaja, sie, rozkÃlady jednostajne na sferze w Rn zwiazane
ze sferycznym bÃladzeniem
losowym Kingmana.
,
,
Zdefiniowana zostanie nieskończona podzielność miar probabilistycznych wzgledem
sÃla,
bych splotów uogólnionych. Ponadto udowodnimy, że funkcje charakterystyczne rozkÃladów
nieskończenie podzielnych wzgledem
sÃlabego splotu maja, reprezentacje, analogiczńa, do
,
reprezentacji Lévy’ego -Khintchine’a. Naturalnym staje sie, definiowanie procesów addytywnych w sÃlabym sensie tj. w sensie ⊕µ , gdzie µ jest rozkÃladem sÃlabo stabilnym.
Zostanie podana konstrukcja bÃladzenia
losowego wzgledem
splotu Kendalla, który jako
,
,
jedyny ma jednoznaczne przedstawienie w postaci kombinacji liniowej wypukÃlej dwóch
miar. Splot Kingmana, który jest zwiazany
z bÃladzeniem
sferycznym, znajduje zas,
,
tosowania w interferencji światÃla monochromatycznego.
Key words: rozkÃlady sÃlabo stabilne, sploty uogólnione, sÃlabe sploty uogólnione,
sploty Kendalla, sploty Kingmana, sÃlabe procesy Lévy’ego, sÃlabe bÃladzenia
losowe
,
Institute of Mathematics University of WrocÃlaw, pl. Grunwaldzki 2/4, 50-384 WrocÃlaw, Poland,
e-mail: [email protected] .
1
2
BARBARA H. JASIULIS
Literatura
1. Bohnenblust, F., An axiomatic characterization of Lp -spaces, Duke Math. Journ. 6(3)(1940),
627–640.
2. Cambanis, S.,Keener, R., Simons, G.On α− symmetric distributions. J. Multiv. Anal., 13(1983),
213–233.
3. Jasiulis, B. H.Limit property for regular and weak generalized convolutions, accepted for publication in Journ. of Theor. Probab.
4. Jasiulis, B. H. and Misiewicz, J. K.On the connections between weakly stable and pseudoisotropic distributions. Statistics & Probability Letters. 78(16)(2008), 2751–2755.
5. Kendall, D.G. Foundations of a Theory of Random Sets. In: Harding, E.F., Kendall, D.G., Willey
(eds.),(1974), 322–376.
6. Kingman, J. F. C. Random Walks with Spherical Symmetry, Acta Math. 109(1)(1963), 11–53.
7. Kucharczak, J., Urbanik, K. Quasi-Stable functions. Bulletin of Polish Academy of Sciences,
Mathematics 22(3)(1974), 263–268.
8. Kucharczak, J., Urbanik, K. Transformations preserving Weak Stability. Bulletin of Polish Academy of Sciences, Mathematics 34(7-8)(1986), 475–486.
9. Mazurkiewicz, G. Weakly stable vectors and magic distribution of C. Cambanis, R. Keener and
G. Simons., Applied Math. Sciences, 1(20)(2007), 975–996.
10. Misiewicz, J. K., Oleszkiewicz K., Urbanik K. Classes of measures closed under mixing and
convolution. Weak stability., Studia Math. 167(3)(2005), 195–213.
11. Misiewicz, J. K.Weak stability and generalized weak convolution for random vectors and stochastic
processes, in IMS Lecture Notes-Monoghaph Series Dynamics & Stochastics, Vol. 48(2006), 109–118.
12. Misiewicz, J. K. Sub-stable and pseudo-isotropic processes. Connections with the geometry of subspaces of Lα -spaces. Dissertationes Mathematicae CCCLVIII, (1996).
13. Urbanik, K. A characterization of Gaussian measures. Studia Math., 77(1983), 59–68.
14. Urbanik, K. A counterexample on generalized convolutions. Colloquium Math. 54(1)(1987), 143–
147.
15. Urbanik, K. Analytical methods in probability theory. In Transactions of the tenth Praque Conference on Information Theory, Statistical decision functions, Random Processes., (1988), 151–169.
16. Urbanik, K.Anti-irreducible probability measures. Probab. and Math. Statist., 14(1)(1993), 89–113.
17. K. Urbanik, K. Generalized convolutions I-V.Studia Math., 23(1964), 217–245, 45(1973), 57–70,
80(1984), 167–189, 83(1986), 57–95, 91(1988), 153–178.
18. Urbanik, K. Remarks on B-stable Probability Distributions. Bulletin of Polish Academy of Sciences,
Mathematics, 24(9)(1976), 783–787.
19. Vol’kovich, V. On Symmetric Stochastic Convolutions. Journ. of Theoretical Probability,
5(3)(1992), 417–430.
20. Vol’kovich, V. Multidimensional B-stable distributions and some generalized convolutions. Stability Problems of Stochastic models. Proceedings of VNIICI Seminar, M., (1984), 40–53, in Russian.