LINIE PIERWIASTKOWE JAKO PODSTAWA ANALIZY UKŠADÓW
Transkrypt
LINIE PIERWIASTKOWE JAKO PODSTAWA ANALIZY UKŠADÓW
1 LINIE PIERWIASTKOWE JAKO PODSTAWA ANALIZY UKADÓW STEROWANIA • Mamy schemat sterowania (regulacji) w ukªadzie zamkni¦tym (rys. 1). Rysunek 1: Podstawowy schemat strukturalny ukªadu sterowania. • Zakªada si¦, »e wzmocnienie czªonu statycznego k ∈ [0, ∞). • Cz¦±¢ dynamiczna G̃0(s) ukªadu sterowania obejmuje: sterowany obiekt oraz dynamiczne 'fragmenty' regulatora (sterownika). 2 • Transmitancja ukªadu otwartego G0(s) = k · G̃0(s). • Transmitancja ukªadu zamkni¦tego G(s) ≡ C(s) G0(s) = R(s) 1 + G0(s) k · G̃0(s) = . 1 + k · G̃0(s) • Ukªad zamkni¦ty jest stabilny w sensie BIBO, gdy wszystkie bieguny transmitancji G(s) le»¡ w lewej otwartej póªpªaszczy¹nie zespolonej. • ¡da si¦ zatem, aby zera mianownika funkcji G(s) czyli zera wyra»enia 1 + k · G̃0(s) posiadaªy ujemne cz¦±ci rzeczywiste. 3 Reguªy wykre±lania linii pierwiastkowych • Zapiszmy G̃0(s) w postaci czynnikowej Qm N (s) j=1 (s − zj ) G̃0(s) = = Qn D(s) j=1 (s − pj ) z wyró»nionymi zerami {zj }m j=1 oraz biegunami {pj }nj=1. Zakªada si¦, »e G̃0(s) jako wªa±ciwa funkcja wymierna o sko«czonych stopniach licznika i mianownika, odpowiednio m = deg(N (s)) n = deg(D(s)), m≤n jest modelem minimalnym (bez uproszcze« w parach 'zero-biegun'). • Denicja. Linie pierwiastkowe to miejsce geometryczne zer wyra»enia 1 + k · G̃0(s) dla k ∈ [0, ∞). ¥ 4 • Z formalnego punktu widzenia linie pierwiastkowe mo»na zatem traktowa¢ jako zbiór funkcji {[0, ∞) 3 k 7→ sj ∈ C}nj=1 gdzie sj = sj (k), j = 1, . . . , n, jest j tym pierwiastkiem równania D(s) + k · N (s) = 0. • Mo»na te» patrze¢ na linie pierwiastkowe jako na pewien odpowiednio 'uporz¡dkowany' ('skierowany' przez k ∈ [0, ∞)) podzbiór LP(N, D) ⊂ C pªaszczyzny zespolonej: s = s(k) ∈ LP(N, D) m ∃k∈[0,∞) D(s) + k · N (s) = 0. 5 • Podane ni»ej praktyczne wskazania (reguªy) wykre±lana linii pierwiastkowych wynikaj¡ bezpo±rednio z równania charakterystycznego 1 + k · G̃0(s) = 0 które dla danego k ∈ [0, ∞) musi speªnia¢ liczba zespolona s ∈ C , aby by¢ pierwiastkiem (miejscem zerowym) mianownika transmitancji G(s). Równanie to zapisa¢ mo»na w postaci dwóch warunków: warunku amplitudowego k · |G̃0(s)| = 1, warunku fazowego arg G̃0(s) = r·180◦, r = ±1, 3, . . . . Jak si¦ rychªo oka»e, podstawowe znaczenie posiada tu warunek fazowy. 6 Reguªy kre±lenia linii pierwiastkowych (1) Linie pierwiastkowe s¡ symetryczne wzgl¦dem osi rzeczywistej pªaszczyzny zespolonej. (2) Linie pierwiastkowe zaczynaj¡ si¦ (dla k = 0) w biegunach transmitancji G̃0(s), za± ko«cz¡ si¦ (dla k → ∞) w zerach tej transmitancji G̃0(s), wª¡czaj¡c zera w niesko«czono±ci. (3) Linie pierwiastkowe posiadaj¡ asymptoty o nast¦puj¡cych wªasno±ciach: asymptoty, w liczbie α, s¡ póªprostymi wychodz¡cymi z punktu σα (centroid) na osi rzeczywistej, α = n − m, centroid dany jest wzorem Pn σα = j=1 pj − α Pm j=1 zj , 7 k¡ty mi¦dzy asymptotami a osi¡ rzeczywist¡ r · 180◦ ϕr = , α r = ±1, 3, . . . . (4) Linie pierwiastkowe na osi rzeczywistej mog¡ le»e¢ tylko na lewo od nieparzystej liczby punktów kontrolnych (rzeczywistych biegunów i zer transmitancji G̃0(s)), licz¡c od punktu o najwi¦kszej warto±ci. (5) Punkty wspólne gaª¦zi linii pierwiastkowych (punkty spotkania oraz punkty rozej±cia linii pierwiastkowych) co odpowiada wielokrotnym pierwiastkom równania charakterystycznego ukªadu zamkni¦tego o transmitancji G(s) nale»¡ do zbioru rozwi¡za« równania N (s)D0(s) − N 0(s)D(s) = 0 8 gdzie D0(s) oraz N 0(s) oznaczaj¡ pochodne odpowiednich wielomianów. (6) K¡t odej±cia ϑdi linii pierwiastkowej od danego bieguna pi transmitancji G̃0(s) okre±lony jest wzorem ϑdi = X j ϑzj − X j,j6=i ϑpj + r · 180◦, r = ±1, ±3, . . . gdzie ϑpj (ϑzj ) reprezentuje argument wektora poprowadzonego od bieguna pj (zera zj ) do bieguna pi tej transmitancji, i ∈ 1, . . . , n. (7) K¡t doj±cia ϑai linii pierwiastkowej do danego zera zi transmitancji G̃0(s) okre±lony jest wzorem ϑai = X j X ϑpj − j,j6=i ϑzj + r · 180◦, r = ±1, ±3, . . . gdzie ϑpj (ϑzj ) reprezentuje argument wektora poprowadzonego od bieguna 9 pj (zera zj ) do zera zi tej transmitancji, i ∈ 1, . . . , m. Komentarz (a) Warunek podany w regule (5), to znaczy równanie N (s)D0(s) − N 0(s) D(s) = 0, jest warunkiem koniecznym na to, aby dana liczba zespolona s ∈ C byªa pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu charakterystycznego rozwa»anego ukªadu zamkni¦tego. Nie jest to jednak warunek wystarczaj¡cy, co oznacza, i» w±ród rozwi¡za« podanego równania mog¡ wyst¦powa¢ liczby, które nie s¡ pierwiastkami wielokrotnymi wielomianu charakterystycznego badanego ukªadu. (b) W przypadku, w którym zachodzi Qm j=1 (s − zj ) G̃0(s) = (−1) · Qn j=1 (s − pj ) 10 nale»y odpowiednio zmodykowa¢ stosowne reguªy kre±lenia linii pierwiastkowych, uwzgl¦dniaj¡c wyst¦puj¡ce tu 'dodatkowe' przesuni¦cie fazy: (30) Linie pierwiastkowe posiadaj¡ a- symptoty o nast¦puj¡cych wªasno±ciach: ... k¡ty mi¦dzy asymptotami a osi¡ rzeczywist¡ r · 180◦ , ϕr = α r = ±0, 2, . . . . (40) Linie pierwiastkowe na osi rzeczywistej mog¡ le»e¢ tylko na prawo od nieparzystej liczby punktów kontrolnych (rzeczywistych biegunów i zer transmitancji G̃0(s)), licz¡c od punktu o najwi¦kszej warto±ci). 11 (60) K¡t odej±cia ϑdi linii pierwiast- kowej od danego bieguna pi transmitancji G̃0(s) wyznaczony jest wzorem ϑdi = X j X ϑzj − j,j6=i ϑpj + r · 180◦, r = ±0, ±2, . . . gdzie ϑpj (ϑzj ) reprezentuje argument wektora poprowadzonego od bieguna pj (zera zj ) do bieguna pi tej transmitancji, i ∈ 1, . . . , n. (70) K¡t doj±cia ϑai linii pierwiastko- wej do danego zera zi transmitancji G̃0(s) wyznaczony jest wzorem ϑai = X j X ϑpj − j,j6=i ϑzj + r · 180◦, r = ±0, ±2, . . . gdzie ϑpj (ϑzj ) reprezentuje argu- ment wektora poprowadzonego od bieguna pj (zera zj ) do zera zi tej transmitancji, i ∈ 1, . . . , m. 12 (c) Na rys. 2 dano geometryczn¡ interpretacj¦ 'fazowego przyczynku' ϑ = arg(s − s0), s, s0 ∈ C. Rysunek 2: Konwencja obowi¡zuj¡ca przy wyznaczaniu k¡ta ϑ = arg(s−s0 ). 13 PRZYKAD 1 • Transmitancja otwartego ukªadu sterowania z jednostkowym ujemnym sprz¦»eniem zwrotnym dana jest wzorem G0(s) = k · G̃0(s) 1 , = k· s(2 + s)(5 + s) k ≥ 0. • Podaj obraz linii pierwiastkowych sto- sownego ukªadu zamkni¦tego. Okre±l krytyczne wzmocnienie k , przy którym ukªad ten znajduje si¦ 'na granicy stabilno±ci' oraz podaj odpowiadaj¡c¡ temu pulsacj¦ drga« nietªumionych. Rozwi¡zanie uzyskujemy w rutynowym post¦powaniu. ? Niech m b¦dzie liczb¡ sko«czonych zer transmitancji ukªadu otwartego G0(s), za± n oznacza liczb¦ jej biegunów. Mamy zatem: m = 0 oraz n = 3. 14 ? Biegunami G0(s) s¡ liczby: p2 = −2 oraz p3 = 0. p1 = −5, ? Liczba asymptot, do których d¡»¡ linie pierwiastkowe α = n − m = 3. ? K¡ty mi¦dzy asymptotami maj¡ warto±¢ 2 · 180◦/α = 120◦. ? K¡ty mi¦dzy asymptotami a osi¡ rzeczywist¡ s¡ równe: ±60◦ oraz 180◦. ? Odci¦ta σa punktu na osi rzeczywistej, z którego wychodz¡ asymptoty (centroid) Pn σa = i=1 pi n = −2.333. 15 ? Wspóln¡ cz¦±¢ linii pierwiastkowych oraz osi rzeczywistej stanowi prawostronnie domkni¦ta póªprosta le»¡ca na lewo od bieguna p1 oraz domkni¦ty odcinek pomi¦dzy biegunami p2 i p3 (−∞, −5]) ∪ [−2, 0] . ? Wynika st¡d, i» punkt 'odej±cia' linii pierwiastkowych od osi rzeczywistej powinien nale»e¢ do odcinka [p2, p3] = [−2, 0]. Wspóªrz¦dn¡ tego punktu wyznaczymy w oparciu o równanie charakterystyczne ukªadu zamkni¦tego, obliczaj¡c maksymaln¡ warto±¢ parametru k (wzmocnienia), dla której bieguny ukªadu zamkni¦tego s¡ rzeczywiste. Wielomian charakterystyczny W (s) ukªadu zamkni¦tego ma posta¢ W (s) = k + 10s + 7s2 + s3. Zaªó»my, i» s ∈ C jest pierwiastkiem tego wielomianu. Odpowiednie rów- 16 nanie charakterystyczne W (s) = 0 interpretowa¢ mo»na jako zapis uwikªanego odwzorowania s → k(s) ∈ C przyporz¡dkowuj¡cego danemu pierwiastkowi s tak¡ warto±¢ k(s), dla której zachodzi W (s, k(s)) = 0. Ró»niczkuj¡c to odwzorowanie, mamy ∂W (s,k(s)) dk(s) ∂s = −10−14s−3s2. = − ∂W (s,k(s)) ds ∂k(s) Przyrównuj¡c powy»sz¡ pochodn¡ do zera (warunek konieczny!), otrzymujemy równanie kwadratowe 10 + 14s + 3s2 = 0 o nast¦puj¡cych pierwiastkach: s1 = −0.8804 oraz s2 = −3.7863. 17 Jak widzimy, tylko pierwszy z nich wyznacza szukany punkt odej±cia sd = s1 . Zachodzi bowiem s1 ∈ [p2, p3]. Identyczny wynik uzyskamy, rozwi¡zuj¡c równanie (warunek konieczny!) N (s)D0(s) − N 0(s)D(s) = 0 w którym: N (s) = 1 D(s) = s(2 + s)(5 + s). ? Podstawiaj¡c s = sd w równaniu W (s, k(s)) = 0, otrzymujemy odpowiadaj¡c¡ temu punktowi warto±¢ kd wzmocnienia k kd = 4.0607. 18 ? Krytyczn¡ warto±¢ k̄ wzmocnienia k , przy której ukªad zamkni¦ty osi¡- ga 'granic¦ stabilno±ci', obliczymy na podstawie równania charakterystycznego W (s) = 0, kªad¡c s = jω . W ten sposób uzyskujemy równanie k̄ − 7ωn2 + jωn(10 − ωn2 ) = 0 (1) w którym ωn oznacza odpowiedni¡ pulsacj¦ drga« nietªumionych. Przyrównuj¡c do zera urojon¡ cz¦±¢ wyra»enia po lewej stronie tego równania, mamy √ ωn = 10 rad · s−1. Nast¦pnie, po podstawieniu pulsacji ωn we wzorze (1), otrzymujemy równanie, z którego wyznaczamy kryty- czn¡ warto±¢ wzmocnienia k̄ = 70. 19 Rysunek 3: Przykªad 1: linie pierwiastkowe. Dyskusja: rady dla projektanta Jak zmiana (wzrost) wzmocnienia k wpªywa na podstawowe cechy ukªadu zamkni¦tego? ? Stabilno±¢: gro¹ba destabilizacji. ? Dokªadno±¢: ustalone uchyby malej¡. ? Szybko±¢: po pocz¡tkowym wzro±cie szybko±ci (dominuj¡cy biegun ukªadu oddala si¦ od zera) czas ustalania procesów przej±ciowych wydªu»a si¦ (oscylacje!) 20 PRZYKAD 2 • Operatorowa transmitancja otwartego ukªadu sterowania z jednostkowym ujemnym sprz¦»eniem zwrotnym i k ≥ 0 N (s) G0(s) = k · G̃0(s) = k · D(s) 1 = k· . (1 + s)(2 + s)(10 + s) • Wyznacz przebieg linii pierwiastkowych stosownego ukªadu zamkni¦tego, okre±l krytyczne wzmocnienie k = k̄ ukªadu na 'granicy stabilno±ci' oraz podaj odpowiadaj¡c¡ temu wzmocnieniu pulsacj¦ drga« nietªumionych. W rozwa»anym przypadku mamy: m = 0 oraz n = 3 p1 = −10, p2 = −2 oraz p3 = −1 (bieguny ukªadu otwartego). 21 Mo»na si¦ zatem spodziewa¢ analogicznego obrazu linii pierwiastkowych jak w Przykªadzie 1. Post¦puj¡c tedy wedªug przyj¦tego tam schematu, stwierdzamy, »e: ? Linie pierwiastkowe d¡»¡ ku trzem asymptotom (α = n − m = 3) o k¡tach: ±60◦ oraz 180◦. ? Punktem wspólnym owych asymptot jest centroid σa = −1 − 2 − 10 = −4.333. 3 ? Wspólna cz¦±¢ linii pierwiastkowych oraz rzeczywistej osi pªaszczyzny zespolonej obejmuje zatem póªprost¡ na lewo od punktu p1 oraz domkni¦ty odcinek pomi¦dzy punktami p2 i p3. 22 ? Punkt odej±cia linii pierwiastkowych od osi rzeczywistej wyznaczymy z równania N (s)D0(s) − N 0(s)D(s) = 0 które w tym przypadku ma posta¢ 32 + 26s + 3s2 = 0. Spo±ród dwóch rozwi¡za« tego równania: s1 = −1.4853 oraz s2 = −7.1813 jako punkt odej±cia wybieramy punkt sd = s1 zachodzi bowiem s1 ∈ [p2, p3]. 23 ? Krytyczn¡ warto±¢ k̄ parametru k obliczamy, posªuguj¡c si¦ kryterium Routha. Na podstawie równania charakterystycznego ukªadu zamkni¦tego 20 + k + 32s + 13s2 + s3 = 0, otrzymujemy tablic¦ Routha: s3 1 32 s2 13 20 + k s1 396−k 13 0 s 20 + k . Ukªad zamkni¦ty jest stabilny przy −20 < k < 396. Krytyczna warto±¢ wzmocnienia (k ≥ 0), dla której ukªad zamkni¦ty znajduje si¦ na 'granicy stabilno±ci' wynosi zatem k̄ = 396. 24 ? Pulsacj¦ draga« nietªumionych (jest to pulsacja odci¦cia charakterystyki fazowej transmitancji otwartego ukªadu sterowania) √ ωn = 4 2 = 5.6569 rad · s−1 wyznaczamy w oparciu o pomocniczy wielomian 20 + k̄ + 13s2 (wspóªczynniki tego wielomianu odczytujemy z drugiego wiersza tablicy Routha). ? Sprawd¹my jeszcze warunek amplitudowy dla punktu s = jωn 1 = 396 = k̄. G̃0(jωn) 25 •MATLABowe polecenia. >> licz=1; % licznik transmitancji; >> mian=conv(conv([1 1],[1 2]),[1 10]); % mianownik transmitancji, utworzony poprzez mno»enie odpowiednich dwumianów; >> mian mian = 1 13 32 20 >> rlocus(licz,mian); % kre±lanie linii pierwiastkowych odpowiadaj¡cych ukªadowi sterowania obiektem o zadanej transmitancji (licznik/mianownik) przy zastosowaniu jednostkowego sprz¦»enia zwrotnego; >> axis([-15 15 -15 15]); % skalowanie wykresu; Rysunek 4: Przykªad 2: linie pierwiastkowe. 26 >> [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(licz,mian); % wyznaczanie zapasów (marginesów) stabilno±ci ukªadu o zadanej transmitancji otwartej p¦tli sterowania (licznik/mianownik); >> Gm Gm = 396.0000 % zapas wzmocnienia (warto±¢ bezwzgl¦dna); >> Wcg Wcg = 5.6569 % pulsacja odci¦cia charakterystyki fazowej transmitancji otwartego ukªadu sterowania (rad/sek); >> routh(mian) % wyznaczanie tablicy Routha; s3 Row: 1 32 s2 Row: 13 20 s1 Row: 3.0462e+001 0 s0 Row: 20 First column is: s3 1 s2 13 s1 30.46 s0 20 Number of sign changes in the rst column is 0 % test stabilno±ci wypadª pomy±lnie; The computed roots of D(s) are: -1.0000e+001, -2.0000e+000, -1.0000e+000 . 27 Metoda linii pierwiastkowych: ograniczenia statycznej korekcji • Zbadamy obraz linii pierwiastkowych dla pewnych prostych transmitancji G̃0(s). • Rozwa»ymy mo»liwo±¢ stabilizacji zamkni¦tego ukªadu sterowania poprzez dobór parametru k ≥ 0. Rysunek 5: G̃0 (s) = 1 s+1 : ukªad stabilny dla k ≥ 0. Rysunek 6: G̃0 (s) = 1 s−1 : ukªad stabilny dla k > 1. 28 Rysunek 7: G̃0 (s) = Rysunek 8: G̃0 (s) = −1 s+1 : −1 s−1 : ukªad stabilny dla k < 1. ukªad niestabilny dla k ≥ 0. Rysunek 9: G̃0 (s) = 1s : ukªad stabilny dla k ≥ 0. Rysunek 10: G̃0 (s) = −1 s : ukªad niestabilny dla k ≥ 0. 29 Rysunek 11: G̃0 (s) = 1 : s2 ukªad niestabilny dla k ≥ 0. Rysunek 12: G̃0 (s) = −1 : s2 ukªad niestabilny dla k ≥ 0. Rysunek 13: G̃0 (s) = 1 : s3 ukªad niestabilny dla k ≥ 0. Rysunek 14: G̃0 (s) = −1 : s3 ukªad niestabilny dla k ≥ 0. 30 Rysunek 15: G̃0 (s) = s+1 s+2 : ukªad stabilny dla k ≥ 0. Rysunek 16: G̃0 (s) = − s+1 s+2 : ukªad stabilny dla k < 1 lub k > 2. Rysunek 17: G̃0 (s) = s+2 s+1 : ukªad stabilny dla k ≥ 0. Rysunek 18: G̃0 (s) = − s+1 s+2 : ukªad stabilny dla k < 1 2 lub k > 1. 31 Rysunek 19: G̃0 (s) = 1 : s2 −1 ukªad niestabilny dla k ≥ 0. Rysunek 20: G̃0 (s) = −1 : s2 −1 ukªad niestabilny dla k ≥ 0. • Co powiesz o dobrej okre±lono±ci ukªadów z rys. 16 i 18? • Jak widzimy, w niektórych przypad- kach, stosuj¡c statyczny czªon korekcyjny o wzmocnieniu k ≥ 0, nie mo»na ustabilizowa¢ ukªadu zamkni¦tego. • W jaki sposób mo»na wtedy uzyska¢ sta- bilizacj¦ tego ukªadu, si¦gaj¡c po odpowiedni korektor dynamiczny? piotrJsuchomski