Wykład 2. Linie pierwiastkowe

Transkrypt

1
2
Dynamiczne układy liniowe, których transmitancję w układzie sprzężenia zwrotnego (patrz rysunek 1) można wyrazić następującą zależnością:
Wykład 2. Linie pierwiastkowe
Metoda linii pierwiastkowych została opracowana przez W. Evansa w roku 1948 i
1950. Technika ta umożliwia badanie wpływu zmian wartości określonego parametru
na dynamikę układu regulacji poprzez obserwowanie zmian rozkładu biegunów
transmitancji układu zamkniętego w funkcji tego parametru. Korzysta się z istnienia
ścisłej zależności między rozmieszczeniem zer i biegunów transmitancji układu zamkniętego a charakterem przebiegów przejściowych w układzie sterowania.
regulator
obiekt regulacji
,
(2.1)
oznacza transmitancję układu otwartego; jest transmitancją
układu zamkniętego; współczynnik 0, ∞ nazywany czasami parametrem linii
jest wzmocnieniem układu otwartego; jest transmitancją obiektu.
Zmiany wartości parametru wzmocnienia powodują przemieszczanie się miejsc
zerowych (pierwiastków) mianownika transmitancji układu zamkniętego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej tworząc wykresy linii pierwiastkowych.
Należy zaznaczyć, że metoda stosowana w odniesieniu do współczynnika wzmocnienia układu otwartego jest najczęściej rozpatrywanym przypadkiem, ale jest to
technika ogólna i można ją stosować do badania wpływu zmian dowolnego innego parametru. Bieguny układu zamkniętego określa równanie charakterystyczne:
1 0,
(2.2)
0.
(2.3)
np. czujnik pomiarowy
1
Rysunek 1. Układ kontroli ze sprzężeniem zwrotnym i sterownikiem w postaci członu
proporcjonalnego (statycznego).
Paweł Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
3
4
Linie pierwiastkowe to parametryczny wykres miejsc geometrycznych (zmian położeń) biegunów układu zamkniętego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej s w funkcji
parametru. Równanie (2.3) jest równaniem linii pierwiastkowych względem parametru .
Określenie zmian położenia pierwiastków równania charakterystycznego układu
zamkniętego przy zmianie (teoretyczne od zera do nieskończoności), umożliwia badanie zmian dynamiki układu regulacji i pomaga w wyborze właściwych wartości parametrów regulatora.
Metodę tę można stosować do syntezy układów regulacji.
przy czym ) , )* , … , )+ są zerami transmitancji, , , ,* , … , ,- są biegunami transmitancji ( czyli pierwiastkami równania charakterystycznego układu otwartego), . / 0.
Z równania (2.4), kiedy 1 0, transmitancja musi dążyć do nieskończoności, aby zachodziła zależność (1. Oznacza to, że zmienna przekształcenia
Laplace’a musi dążyć do biegunów transmitancji układu otwartego, zatem linie
pierwiastkowe (miejsca geometryczne pierwiastków) rozpoczynają się w biegunach
układu otwartego. Ponadto, pojawi się osobna gałąź wykresu dla każdego bieguna. Na
podstawie równania (2.4) widać także, że gdy 1 ∞ równość (1 może być
spełniona tylko wtedy, gdy dąży do zera, czyli dąży do zer funkcji . W konsekwencji, . gałęzi linii pierwiastkowych kończy się w . punktach będących zerami
transmitancji układu otwartego.
Inny sposób interpretacji równania charakterystycznego opiera się na obserwacji,
że jeśli kąt fazowy jest równy – 3 (i jego dowolna nieparzysta krotność) to (1, tzn. wtedy, gdy całkowite wzmocnienie jest równe 1. Zapisujemy to jak niżej:
arg ( ) arg ( )* 7 arg ( )+ ( arg ( , ( arg ( ,* ( 7 ( arg ( ,- 29 13,
(2.5)
2.1. Reguły sporządzania linii pierwiastkowych
Metodę tę można stosować, jeśli transmitancję można zapisać jako iloraz wielomianów, a więc gdy równanie (2.2) przyjmuje postać
! ! …! !&" !&# …!&% (1,
"
#
'
(2.4)
5
6
9 jest dowolną dodatnią liczbą całkowitą.
Jeśli na przykład rozważymy bardzo duże wartości (odpowiadające w rzeczywistości bardzo dużej częstotliwości :), to równanie charakterystyczne przyjmie postać
Reguła 4. Linie pierwiastkowe na osi rzeczywistej. Oś rzeczywista jest częścią linii
pierwiastkowej, jeśli suma liczby biegunów i liczby zer na prawo od danego punktu na
osi jest nieparzysta. Tutaj >-krotny biegun lub zero należy liczyć > razy, a bieguny lub
zera zespolone sprzężone należy pominąć.
Reguła 5. Asymptoty. Wykres ma 0 ( . asymptot, do których dąży tyle samo linii
pierwiastkowych, gdy jest bardzo duże. Asymptoty wychodzą ze środka ciężkości
zer i biegunów transmitancji układu otwartego, przy czym środek ciężkości ?@ określa
się jako
';%
(1.
(2.6)
Na podstawie równania (2.6), dla dużych wartości linie pierwiastkowe dążą do
*<=
. Podobnie można wykazać, że tych 0 ( .
asymptot nachylonych pod kątami
-!+
asymptot wychodzi ze środka ciężkości zer i biegunów, co podano niżej w regule 5.
?@ 2.2. Reguły kreślenia linii pierwiastkowych
%
∑'
BC" &B !∑DC" D
-!+
.
(2.7)
Asymptoty rozchodzą się symetrycznie do osi rzeczywistej (oś rzeczywista też może
*=
być asymptotą), tworząc między sobą kąty
.
Reguła 1. Liczba linii pierwiastkowych czyli gałęzi wykresu jest równa liczbie biegunów
0.
Reguła 2. Początki gałęzi. Linie pierwiastkowe (gałęzie wykresu) rozpoczynają się w 0
biegunach dla 0, biegun >-krotny jest początkiem 0 gałęzi linii pierwiastkowych.
Reguła 3. Końce gałęzi. Gdy 1 ∞, to . spośród 0 gałęzi linii pierwiastkowych skończy się w . zerach transmitancji układu otwartego, a 0 ( . dąży do nieskończoności wzdłuż asymptot. W zerze >-krotnym kończy się > gałęzi linii pierwiastkowych.
Reguła 6. Punkty rozwidlenia. Jeśli oś rzeczywista między dwoma sąsiednimi biegunami jest częścią linii pierwiastkowej, to dwie gałęzie linii pierwiastkowej odchodzą od
osi rzeczywistej w punkcie rozwidlenia
-!+
∑-HG
E !&B
∑+
FG
E !D
,
(2.8)
7
8
przy czym linie pierwiastkowe odchodzą od osi rzeczywistej pod kątem prostym.
Reguła 7. Punkty dojścia. Jeśli oś rzeczywista między dwoma sąsiednimi zerami jest
częścią linii pierwiastkowej, to dwie linie pierwiastkowe dochodzą do osi rzeczywistej
w punkcie I spełniającym równanie (2.8). Linie pierwiastkowe dochodzą do osi rzeczywistej pod kątem prostym.
Reguła 8. Kąty wyjścia. Dla biegunów pojedynczych na osi rzeczywistej kąty wyjścia linii pierwiastkowych z biegunów są równe 0, albo 3. Dla bieguna >-krotnego kąty wyjścia > linii pierwiastkowych wynoszą
Czasem wygodnie jest wyobrażać sobie linie pierwiastkowe jako drogę dodatnio
naładowanej cząstki w polu elektrostatycznym, przyjmując, że linie pierwiastkowe są
odpychane od biegunów, a przyciągane do zer.
P (oraz odpowiadającą jej częstotliwość pracy układu), przy
Wartość krytyczną której linie pierwiastkowe przejdą przez oś urojoną wyznacza się przyrównując do ze-
J< K29 13 ∑-HG arg,I ( ,H ∑+
FG arg,I ( )F M,
I
HLI
(2.9)
przy czym: 9 0,1, … , > ( 1, ,I jest biegunem >-krotnym.
Reguła 9. Kąty dojścia. Dla zer pojedynczych na osi rzeczywistej kąty dojścia linii pierwiastkowych są równe 0 albo 3. Dla zera >-krotnego kąty dojścia > linii pierwiastkowych wynoszą
J< N29 13 ∑-HG arg)I ( ,H ∑+
FG arg)I ( )F O.
I
FLI
(2.10)
ra mianownik transmitancji widmowej układu zamkniętego Q: R FS
R FS
:
(2.11)
Q: Q: Q: 0,
co będzie spełnione, jeśli TUV Q:W 0 i X.V Q:W 0.
Linie pierwiastkowe mogą w całości zawierać się w lewej półpłaszczyźnie zespolonej, co świadczy o stabilności układu w całym zakresie zmian parametru , ale mogą
też przechodzić do prawej półpłaszczyzny stanowiąc o niestabilności układu, która pojawia się dla pewnej wartości parametru. Wartość tego parametru można wyznaczyć
np. za pomocą algebraicznego kryterium stabilności Routha-Hurwitza.
Powyższe reguły nie wyczerpują wszystkich, jakimi należy kierować się przy wyznaczaniu linii pierwiastkowych. Inne w razie potrzeby omówione zostaną na zajęciach ćwiczeniowych.
9
10
pierwiastkowe, ale rozpoczynające się w biegunie podwójnym ,I . Na obu rysunkach
2a i 2b linie pierwiastkowe zbiegają do zer w nieskończoności.
2.3. Przykłady
2.3.1 Układy drugiego rzędu YZ[ \ i YZ] \.
abV\W
2.3.2 Transmitancja układu zamkniętego Y\ abV\W
f\g
\\h\i
Rozmieszczenie zer i biegunów danej transmitancji pokazano na rysunku 3.
e
(,
cdV\W
(,*
cdV\W
( e
a)
b)
Rysunek 2. a) ^ j
_
,
&" &# b) ` _
.
&E #
11
! ! …! linii pierwiastkowych, mianowicie (2.4) i (2.5): !&" !&# …!&% (1, które moż
"
#
'
"
#
'
u
(2.12)
oraz l>v ( ) l>v ( )* 7 l>v ( )+ ( l>v ( , ( l>v (
,2−…−l>v(−,0)=29+13, które można zapisać w postaci
w() = ∑+
FG wx − )F y − ∑HG w( − ,H ) = (29 + 1)3 .
(2.13)
Wybierzmy dowolny punkt = −2 + Q2 leżący na płaszczyźnie zespolonej. Powiemy, że punkt należy do linii pierwiastkowej, jeśli spełnia równania (2.12) – dla
modułu liczby zespolonej i (2.13) - dla kąta fazowego:
|" |
|" e||" *||" z|
=
_
=
^
`{@{|
=
√~
, stąd dla =
√{*{√

√~
punkt może należeć do
jednej z linii pierwiastkowych. Sprawdźmy następnie, czy spełniony jest drugi warunek
w() = w( + 1) − w( + 0) − w( + 2) − w( + 4) = (29 + 1)3. Obliczając
kąty, jakie tworzą odcinki a, b, c, d z osią rzeczywistą otrzymamy: q − j − j* −
jp = (29 + 1)3, 9 = 0, 1, 2, …, stąd 116.57° − 135° − 90° − 45° = −143.33°
(29 + 1)3 dla każdego 9. Punkt nie należy do jakiejkolwiek linii pierwiastkowej.
a)
j arg ( e cdV\W
b)
l
j*
jp
(4
Q2
m
n
(2
q
(1
j
cdV\W
0
Rysunek 3. a) odejmowanie wektorów (wyznaczania kąta fazowego j); b) dowolny punkt na płaszczyźnie zespolonej w odniesieniu do zera i biegunów
transmitancji z przykładu 2.3.2.
Przyjrzyjmy się dwóm podstawowym równaniom stanowiących podstawę techniki
! ! …! o
0
Dla przypadku z rysunku 2a układ dany transmitancją ^ będzie stabilny w
zakresie wartości wzmocnienia odpowiadającego części linii pierwiastkowej (poprowadzonej od bieguna ,* ) znajdującej się w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej . Oscylacje pojawiają się wtedy, gdy linie pierwiastkowe opuszczają oś rzeczywistą TUVW. Rysunek 2b odpowiadający układowi ` też przedstawia dwie linie
na zapisać w postaci |Gs| t!&" !&# …!&% t ,
e
abV\W
(2 Q2
abV\W
(,I