Siła działająca na przewodnik z prądem Jak wiadomo, siła
Transkrypt
Siła działająca na przewodnik z prądem Jak wiadomo, siła
Siła działająca na przewodnik z prądem Jak wiadomo, siła działająca na ładunek poruszający się z prędkością w polu elektromagnetycznym to: ale warto znać wzór w sytuacji, gdy nie ma pola , a ładunek płynie w przewodniku. Prąd w przewodniku to z definicji Prędkość ładunku w przewodniku to (też z definicji): ( to „mały” element długości przewodnika) Jak się to podstawi do wzoru na siłę działającą na ten mały element, wyjdzie: Czyli siła działająca na cały przewodnik to: Całka wygląda trudno, ale można założyć, że: - prąd nie zależy od tego, w którym fragmencie przewodu jesteśmy, wtedy - Kąt między przewodnikiem a polem jest stały, pole też jest stałe, wtedy - Kąt jest równy 90 stopni, wtedy (szkolny wzór) Jeśli np. na olimpiadzie pojawi się prąd, który płynie nie w liniowym przewodzie, tylko np. po powierzchni, nie ma się co załamywać – rozumowanie jest bardzo podobne: Załóżmy, że mamy powierzchnię, naładowaną z gęstością , poruszającą się z prędkością . Wtedy „mały” element tej powierzchni zawiera ładunek , czyli siła działająca na tę małą powierzchnię to: Zauważ, że nieważne, czy to powierzchnia się porusza, czy tylko ładunek w niej zawarty. Można zdefiniować „prąd powierzchniowy” Jak on ma się do prądu ? To po prostu prąd płynący przez pewien pasek o szerokości : (a kierunek jest taki jak kierunek przepływu prądu). Wtedy czyli po wycałkowaniu Analogicznie jak mam objętościową gęstość ładunku , poruszającą się z prędkością , to siła działająca na mały element objętości to itd. Na zajęciach chciałem pokazać, dlaczego indukcyjność wzajemna pętli 1 względem pętli 2 jest równa indukcyjności pętli 2 względem pętli 1. Okazało się to trudniejsze niż myślałem: w Resnicku nie ma dowodu (patrz strona 277, trzeci tom), a w innych książkach dowód jest dość skomplikowany. Na szczęście jest… Twierdzenie o wzajemności W dowolnym, liniowym obwodzie prąd I płynący w gałęzi A związany z napięciem E w gałęzi B jest taki sam, jaki byłby prąd w gałęzi B związany z napięciem E w gałęzi A. Teraz czas na omówienie twierdzenia słowo po słowie: liniowy oznacza, że wszystko spełnia „rozszerzone” prawo Ohma (tzn wszystko daje się sprowadzić do cewek, kondensatorów i oporników) – takie rzeczy jak diody czy tranzystory odpadają. Gałąź obwodu to po prostu fragment bez rozgałęzień. Prąd „związany” z napięciem oznacza, że jest spowodowany wyłącznie tym napięciem (albo odwrotnie, że napięcie E to siła elektromotoryczna wywołana wyłącznie przepływem prądu I). To ważne w przypadku, gdy jest wiele źródeł prądu i napięcia: wtedy w danej gałęzi obwodu płynie prąd „pochodzący” z wielu źródeł – my rozpatrujemy tylko część związaną z napięciem E (tzn gdyby usunąć napięcie E, ta część prądu by zniknęła). Analogicznie napięcie „związane” z prądem I to ta część napięcia w gałęzi, która zniknęłaby, gdyby usunąć prąd I. Gdy mamy tylko jedno źródło prądu/napięcia, nie musimy pamiętać, o którą „część” prądu/napięcia chodzi. Teraz kluczowe: co to znaczy „jest taki sam”? Załóżmy, że prąd I w gałęzi A wywołuje w gałęzi B siłę elektromotoryczną E. Wtedy, gdyby prąd I nie płynął w gałęzi A, tylko w gałęzi B, to wtedy w gałęzi A pojawiłaby się dodatkowa siła elektromotoryczna E. Tak samo gdy w gałęzi A jest napięcie E, wywołujące w gałęzi B prąd I, to po wyłączeniu tego napięcia (wtedy prąd płynący w gałęzi B zmniejszy się o I) i włączeniu go w gałęzi B, w gałęzi A popłynie dodatkowy prąd I. Na koniec dwie uwagi: trzeba pamiętać, aby zachować „biegunowość”, tzn. zamieniając prąd z napięciem ich „kierunek” powinien być po zmianie taki sam (obrazek). Poza tym taka „zamiana” mówi nam coś tylko o wzajemnym wpływie gałęzi A i B – cała reszta układu po takiej zamianie pewnie zmieni swoje prądy/napięcia. Aha, i twierdzenie jest prawdziwe tylko w 3 przypadkach: 1) prąd stały 2) prąd wykładniczo zanikający 3) prąd sinusoidalnie zmienny (czyli wszystkie „policzalne”) gałąź A gałąź B Reszta układu gałąź A gałąź B Reszta układu Obrazek ogólny: Widać, że jak źródło E w gałęzi A „pcha” w górę, wywołując w gałęzi B prąd I płynący w dół, to po zamianie prąd I w gałęzi A będzie płynął w górę (w tę samą stronę, co wcześniej E), a napięcie w gałęzi B będzie w dół. Konkretny przykład, kiedy tw. o wzajemności się przydaje: A tutaj NIE WOLNO zamieniać, bo dioda nie jest liniowa: Teraz czas wykorzystać to twierdzenie w praktyce! Indukcyjność wzajemna Mamy 2 pętle (albo cewki, nieważne), które będą odpowiadać gałęziom A i B. W jednej (powiedzmy A) płynie prąd I, wywołujący w drugiej (B) siłę elektromotoryczną E. Z prawa Faradaya mamy: Teraz przypomnę definicję indukcyjności: strumień pola magnetycznego jest proporcjonalny do prądu. Indukcyjność to współczynnik proporcjonalności między strumieniem a prądem: My będziemy się zajmować indukcyjnością wzajemną, czyli gdy strumień w pętli A pochodzi od prądu w pętli B, zapisujemy , i odwrotnie, gdy prąd płynie w pętli A: Indukcyjność nie zależy od czasu, więc łącząc prawo Faradaya z definicją indukcyjności wzajemnej dostajemy: Ten wzór jest zawsze prawdziwy, niezależnie od tego, jak prąd I zmienia się w czasie. Dlatego rozważmy przypadek szczególny: prąd wykładniczo zanikający! Wtedy można zastosować tw. o wzajemności! Policzmy pochodną: zatem pochodna: Widzimy, że dla wykładniczego zaniku Czyli w tym przypadku: faktycznie zależy (i to liniowo, czyli tak jak funkcja liniowa) od prądu, a nie od pochodnej prądu! Skoro napięcie w pętli B zależy od prądu płynącego w pętli A, to zgodnie z tw. o wzajemności jest ono równe napięciu w pętli A, gdy prąd płynie w pętli B! Ale napięcie także można policzyć z prawa Faradaya i definicji indukcji wzajemnej: I teraz przyrównuję to do Mnożę stronami przez : I tego właśnie mieliśmy dowieść, hurra, fanfary! PS. dowiedliśmy tego tylko dla wykładniczego zaniku. Ale skądinąd wiemy, że współczynnik indukcyjności wzajemnej nie zależy od sposobu, w jaki I zmienia się w czasie, więc skoro dla wykładniczego zaniku, to zawsze będą równe. Bibliografia https://mysite.du.edu/~jcalvert/tech/reciproc.htm http://www.elearning08.republika.pl/prezentacja/Prezentacja6.pps http://siwon.cba.pl/ois/w3.pdf http://scienceworld.wolfram.com/physics/Inductance.html R.K. Verma, Text Book Of Magnetism, strona 35 „Podstawy Elektrodynamiki” Griffithsa