Automatyka - laboratoria

Automatyka
Lab 1
Teoria mnogości i algebra logiki
Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu
Automatyka - laboratoria
Harmonogram zajęć
Układy przełączające:
Układy sterujące:
1. Algebra logiki
- Wprowadzenie
4. Elementy układów sterujących
- Transformata Laplace’a
2. Funkcje logiczne
- minimalizacja funkcji
5. Odwrotna transformata
Laplace’a
3. Bramki logiczne
- rysowanie układów
6. Transmitancja operatorowa
7. Sprawdzian
4. Sprawdzian
Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu
Automatyka - laboratoria
Przydatne linki do algebry logiki
1. http://www.ii.uni.wroc.pl/~kiero/01b.pdf
2. http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=TC_Modu%C5%82_2
3. http://edu.pjwstk.edu.pl/wyklady/swb/scb/SWBwyklad2i.pdf
Literatura
1.
„Układy cyfrowe”. Barry Wilkinson, Warszawa : Wydawnictwa
Komunikacji i Łączności, 2000 r.
2.
„Podstawy automatyki” .
Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu
Automatyka - laboratoria
Zaliczenie przedmiotu
1.
Średnia ocen z:
- sprawdzianu z algebry logiki
- sprawdzianu z układów sterujących
2. Aktywność na zajęciach.
3. Obecności.
Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu
Automatyka - laboratoria
Historia teorii mnogości
• Teoria mnogości to inaczej nauka o zbiorach i ich
własnościach;
• Zapoczątkowana przez greckich matematyków i filozofów
w starożytności;
• Rozwinięta w XIX w. przez niemieckiego matematyka
Georga Cantora w 1874 r;
Podstawowe działania na zbiorach to:
• SUMA
• ILOCZYN
• RÓŻNICA
Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu
Automatyka - laboratoria
SUMA
Sumą dwóch zbiorów nazywamy zbiór wszystkich elementów
ze zbioru A oraz wszystkich elementów ze zbioru B
a zapisujemy to działanie w ten sposób:
∪
Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu
Automatyka - laboratoria
ILOCZYN
Iloczynem dwóch zbiorów nazywamy część wspólną zbioru A i
zbioru B
a zapisujemy to działanie w ten sposób:
∩
Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu
Automatyka - laboratoria
RÓŻNICA
Różnicą dwóch zbiorów nazywamy zbiór, którego elementy
należą do zbioru A i nie należą do zbioru B
a zapisujemy to działanie w ten sposób:
∖
Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu
Automatyka - laboratoria
Związek teorii mnogości i algebry logiki
•
•
Podstawy algebry logiki zapoczątkował George Boole
Algebrę logiki nazywa się także algebrą Boole’a
Boole zauważył związek pomiędzy operacjami na zbiorach a
logiką zdań, gdzie występowała prawda oraz fałsz.
Boole przyjął, że odpowiedź w zdaniu logicznym prawda lub
fałsz posiadać może tylko po jednej wartości (prawda = 1 ,
fałsz = 0) więc za pomocą tylko tych dwóch wartości można
wyrazić działania algebraiczne, które mają związek z teorią
zbiorów i logiką.
Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu
Automatyka - laboratoria
Sposoby zapisu operacji algebry logiki
SUMA to działanie, które można zastąpić słowem LUB (np. A
LUB B) a ILOCZYN literą I (np. A I B) a różnica to nic innego jak
iloczyn ze znakiem negacji. Znak negacji w algebrze logiki
zapisujemy jako „daszek” nad literą: np. a lub A
Czyli:
SUMA = ALTERNATYWA = LUB = OR = ∪ = V = +
ILOCZYN = KONIUNKCJA = I = AND = ∩ = ⋀ = * = ∙
RÓŻNICA
"="
ILOCZYN NEGACJI = ~ =
=A=a
Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu
Automatyka - laboratoria
Algebra logiki w układach przełączających stykowych
ILOCZYN / AND
SUMA / OR
a1
a2
a1
a2
x
x
Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu
Automatyka - laboratoria
Podstawowe twierdzenia algebry logiki:
a+0=a
a*0=0
a+1=1
a*1=a
ogólne własności
stałych
a+a=a
a*a=a
Idempotentność
a+a=1
a∗a=0
komplementarność
a+a*b=a
a * (a + b) = a
pochłanianie
a+a∗b=a+b
a ∗ a + b = a∗ b
(a + b) ∗ (a + b) = a
a ∗ b + a∗ b = a
sklejanie
(a + b) = a ∗ b
(a ∗ b) = a + b
prawa de Morgan'a
a * b + a * c = a * (b + c)
(a + b) * (a + c) = a + b * c
prawa
dystrybucji
Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu
Automatyka - laboratoria
Algebra logiki w układach bezstykowych – AND, OR
Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu
Automatyka - laboratoria
Algebra logiki w układach bezstykowych – NAND, NOR
Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu
Automatyka - laboratoria
Algebra logiki w układach bezstykowych – XOR, NOT
Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu
Automatyka - laboratoria
Minimalizacja funkcji logicznych
Ϝ = a(a + ab + bc) =
=a∗a+a∗a∗b+a∗b∗c=
= 0 + a ∗ b + a ∗ b ∗ c = a ∗ b ∗ c + 1 = a∗b
Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu
Automatyka - laboratoria
Zastosowanie minimalizacji funkcji logicznych
Ϝ = a∗b∗c + a∗b∗c + a∗b∗c + a∗b∗c̅ + a∗b∗c
Ϝ=c+a∗b
Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu
Automatyka - laboratoria
Zadania do wykonania
1. Zminimalizować funkcje logiczne za pomocą wzorów
1. Ϝ = abc̅ + abc + abc + abc̅ + abc + abc̅
2. Ϝ = a(abc̅ + a + abc̅ )
3. Ϝ = abc + abc + abc + abc̅ + abc
Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu
Automatyka - laboratoria
Dziękuję za uwagę
Plik z prezentacją można pobrać ze strony:
www.microbot.com.pl/am/t2/lab01.pdf
Akademia Morska w Szczecinie - Wydział Inżynieryjno-Ekonomiczny Transportu