1 SCENARIUSZ LEKCJI Z MATEMATYKI opracowała Hanna Szmyt
Transkrypt
1 SCENARIUSZ LEKCJI Z MATEMATYKI opracowała Hanna Szmyt
SCENARIUSZ LEKCJI Z MATEMATYKI opracowała Hanna Szmyt Temat: Zadania optymalizacyjne dotyczące funkcji kwadratowej. 1. Cele główne: • • pokazanie zastosowań własności funkcji kwadratowe w zadaniach optymalizacyjnych, utrwalenie wiadomości z zakresu funkcji kwadratowej. 2. Cele szczegółowe Po lekcji uczeń : • potrafi podać opis matematyczny danej sytuacji w postaci funkcji, • potrafi wyznaczyć dziedzinę otrzymanej funkcji, • obliczy wartość najmniejszą bądź najmniejszą otrzymanej funkcji, • formułuje i uzasadnia wnioski dla rozpatrywanego problemu. 3. Metody i formy pracy: praca indywidualna przy pomocy kart pracy, dyskusja kierowana. 4. Środki dydaktyczne: karty pracy, foliogramy, rzutnik pracy. 5. Przebieg lekcji: • przypomnienie wiadomości dotyczących własności funkcji kwadratowej, • rozdanie kart pracy (załącznik1 oraz załącznik 2), • porównywanie i analiza wyników, • wyświetlenie foliogramu z modelem wyników (foliogram1oraz foliogram 2), • zadanie pracy domowej, • podsumowanie i ocena pracy uczniów. 1 KARTA PRACY NR 1 – załącznik 1 Zadanie 1. Suma długości boku trójkąta i wysokości opuszczonej na ten bok wynosi 100 cm. Ile cm powinien mieć bok trójkąta, a ile wysokość , aby pole tego trójkąta było największe. 1. Sporządź rysunek wraz z oznaczeniami. Niech x będzie długością boku, zaś y długością wysokości opuszczonej na ten bok. 2. Napisz wzór funkcji pola trójkąta w zaleŜności od x oraz y. P (x, y ) =..................................................................................................................................................... 3. Korzystając z warunków zadania napisz równanie w zaleŜności od wprowadzonych zmiennych. .................................................................................................................................................................... 4. Z otrzymanego równania wyznacz zmienną y. .................................................................................................................................................................... 5. Wstaw zmienną y do wzoru na pole trójkąta, otrzymując w ten sposób funkcję P jednej zmiennej x. Wzór funkcji P zapisz w postaci sumy jednomianów. .................................................................................................................................................................... 6. Wyznacz warunki na zmienne. ( Czy długość boku moŜe być liczbą niedodatnią ). .................................................................................................................................................................... 7. Zapisz warunki za pomocą jednej zmiennej. .................................................................................................................................................................... 8. RozwiąŜ otrzymany układ nierówności i zapisz dziedzinę funkcji P. .................................................................................................................................................................... 9. PoniewaŜ wykresem funkcji P w zbiorze ℜ jest parabola zwrócona ramionami ..............................., więc funkcja osiąga wartość .................................dla x=..................................................................... . 10. Sprawdź, czy ten argument naleŜy do dziedziny funkcji P .................................................................................................................................................................... 11. Wyznacz wartość drugiej zmiennej ( Patrz punkt 4) ................................................................................................................................................................... 12. Uzupełnij odpowiedź. Pole tego trójkąta będzie największe, jeśli długość boku trójkąta i wysokości opuszczonej na ten bok ..................................................... i wynosić będą po.................. . 2 KARTA PRACY NR 2 – załącznik 2 Zadanie1. RóŜnica dwóch liczb rzeczywistych wynosi 6. Jak wybrać te liczby, aby suma ich kwadratów była najmniejsza ? 1. Wprowadź oznaczenia. Niech x będzie większą liczbą, y mniejszą liczbą oraz napisz równanie wynikające z warunków zadania. .................................................................................................................................................................... 2. Z otrzymanego równania wyznacz zmienną y. .................................................................................................................................................................... 3. Napisz wzór funkcji sumy kwadratów zmiennych x oraz y. S (x, y ) = ...................................................................................................................................................... . 4. Wstaw zmienną y do wzoru funkcji S, otrzymując w ten sposób funkcję jednej zmiennej x. Wzór funkcji S zapisz w postaci sumy jednomianów. .................................................................................................................................................................... 5. Uzupełnij zdanie. Funkcja S jest funkcją ................................................................................................................................ 6. Wykresem funkcji kwadratowej S jest parabola zwrócona ramionami............... ................................., więc funkcja osiąga wartość ................................................dla x=............................................................ 7. Wyznacz wartość drugiej zmiennej (patrz punkt nr 2) .................................................................................................................................................................... 8. Podaj odpowiedź. .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... 3 MODEL WYNIKÓW DLA KARTY NR 1 – foliogram 1 Zadanie 1. Suma długości boku trójkąta i wysokości opuszczonej na ten bok wynosi 100 cm. Ile cm powinien mieć bok trójkąta, a ile wysokość , aby pole tego trójkąta było największe? 1. Sporządź rysunek wraz z oznaczeniami. Niech x będzie długością boku, zaś y długością wysokości opuszczonej na ten bok. y x 2. Napisz wzór funkcji pola trójkąta w zaleŜności od x oraz y. P (x, y ) = 1 xy 2 3. Korzystając z warunków zadania napisz równanie w zaleŜności od wprowadzonych zmiennych. x + y = 100 4. Z otrzymanego równania wyznacz zmienną y. y = 100 − x 5. Wstaw zmienną y do wzoru na pole trójkąta, otrzymując w ten sposób funkcję P jednej zmiennej x. Wzór funkcji P zapisz w postaci sumy jednomianów. P(x ) = 1 1 1 x(100 − x ) = 50 x − x 2 = − x 2 + 50 x 2 2 2 6. Wyznacz warunki na zmienne. ( Czy długość boku moŜe być liczbą niedodatnią ). x〉 0 ∧ y 〉 0 7. Zapisz warunki za pomocą jednej zmiennej. x〉 0 ∧ 100 − x〈 0 8. RozwiąŜ otrzymany układ nierówności i zapisz dziedzinę funkcji P. x〉 0 ∧ 100 − x〈 0 ⇒ x〉 0 ∧ x〈100 ⇒ x ∈ (0,100 ) ⇒ D p = (0,100 ) 9. PoniewaŜ wykresem funkcji P w zbiorze ℜ jest parabola zwrócona ramionami do dołu, więc funkcja osiąga wartość największą dla x= −b = 2a 4 − 50 − 50 = = 50 −1 1 2⋅− 2 10. Sprawdź, czy ten argument naleŜy do dziedziny funkcji P x = 50 ∈ D p 11. Wyznacz wartość drugiej zmiennej ( Patrz punkt 4) y = 100 − x ⇒ y = 50 12. Uzupełnij odpowiedź. Pole tego trójkąta będzie największe, jeśli długość boku trójkąta i wysokości opuszczonej na ten bok będą takie same i wynosić będą po 50 cm . 5 MODEL WYNIKÓW DLA KARTY NR 2 – foliogram 2 Zadanie1. RóŜnica dwóch liczb rzeczywistych wynosi 6. Jak wybrać te liczby, aby suma ich kwadratów była najmniejsza ? 1. Wprowadź oznaczenia. Niech x będzie większą liczbą, y mniejszą liczbą oraz napisz równanie wynikające z warunków zadania. x− y =6 2. Z otrzymanego równania wyznacz zmienną y. y = x−6 3. Napisz wzór funkcji sumy kwadratów zmiennych x oraz y. S (x, y ) = x 2 + y 2 4. Wstaw zmienną y do wzoru funkcji S, otrzymując w ten sposób funkcję jednej zmiennej x. Wzór funkcji S zapisz w postaci sumy jednomianów. S ( x ) = x 2 + (x − 6 ) = x 2 + x 2 − 12 x + 6 = 2 x 2 − 12 x + 6 2 5. Uzupełnij zdanie. Funkcja S jest funkcją kwadratową. 6. Wykresem funkcji kwadratowej S jest parabola zwrócona ramionami do góry, więc funkcja osiąga wartość najmniejszą dla x= − b 12 12 = = =3 2a 2 ⋅ 2 4 7. Wyznacz wartość drugiej zmiennej (patrz punkt nr 2) y = x − 6 = 3 − 6 = −3 8. Podaj odpowiedź. Aby suma kwadratów szukanych liczb była najmniejsza, to większa z tych liczb powinna wynosić 3, zaś mniejsza –3. 6